2022年初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的 1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之

2、间的关系教学过程1. 圆周长：r2C圆面积：2rS2. 圆的面积 C与半径 R 之间存在关系R2C，即 360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧长就是360R2。 n的圆心角所对的弧长是180Rn180RnlP120 *这里的 180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是 R的圆中，因为 360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS， 所以圆心角为n的扇形面积是：R21360RnS2l扇形（n 也是 1的倍数，无单位）

3、5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段 SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载顶点。锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线 SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥

4、的轴， 圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。 另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122 6. 圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；（2）圆锥的母线长都相等 7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为l，弧长为 c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：180ncl同

5、时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为 c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载llrc21S圆侧面圆锥的全面积为：2rrl圆柱侧面积：rh2。例：在中， 120的圆心角所对的弧长为cm80，那么 O的半径为 _cm 。答案： 120 解： 由弧长公式：180Rnl得：cm12012080180n180Rl例：若扇形的圆心角为120，弧长为cm10，则扇形半径为_ ，扇形面积为_。答

6、案： 15；25例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2 倍，这个扇形的中心角为_。答案： 90例：已知扇形的周长为28cm ，面积为 49cm2，则它的半径为_cm 。答案： 7 例：两个同心圆被两条半径截得的10AB，6CD，又 AC=12 ，求阴影部分面积。解： 设 OC=r ，则 OA=r+12 ， O=n10180)12r (nABl6180rnCDl18r60nOC=18 ，OA=OC+AC=30 CODAOBSSS扇扇阴OC21OA21CDABll精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

7、 - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1862130102196例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解： 正方形边长为a 2aS正，222a81)2a(21R21S半圆两个空白处半圆正方形SS2S2222a41aa812aS两个空白处222a21a2S2S个空白四个空白处22222aa21)a21a2(aSSS四个空白处正阴叶的总面积为22aa21 *也可看作四个半圆面积减去正方形面积2222aa21a)2a(214SS4S正半阴例：已知 AB 、CD为 O的两条弦，如果AB=8 ，CD

8、=6 ，AB的度数与CD的度数的和为180，那么圆中的阴影部分的总面积为？解： 将弓形 CD旋转至 B，使 D、B重合 如图， C点处于 E点ABE的度数为 180 ABE=90 又 AB=8 ，BE=CD=6 由勾股定理1068AE22半径51021OA242256821521SSS2ABE半圆阴AE是 O的直径 ABE=90 又 AB=8 ，BE=CD=6 由勾股定理1068AE22半径51021OA242256821521SSS2ABE半圆阴精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共

9、 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例：在 AOB中， O=90 ， OA=OB=4cm，以 O为圆心， OA为半径画AB，以 AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。解： OA=4cm ， O=90 cm4360490S2AOB扇形cm24AB)cm(8S2AOB，)cm(42)22(S22半圆)cm)(84(SSS2AOBAOBAmB扇形弓形则阴影部分的面积为：)cm(8)84(4SSS2AmB弓形半圆阴影例：、m是边长均大于2 的三角形，四边形、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以 1 为半径画弧与两邻边相交，得到3 条弧， 4 条弧，（1）图中 3 条

10、弧的弧长的和为_ 图中 4 条弧的弧长的和为_ （2）求图m中 n 条弧的弧长的和（用n 表示）解： （1）， 2（2）解法 1：n 边形内角和为： （n2）180前 n 条弧的弧长的和为：)2n(21360180)2n(个以某定点为圆心，以1 为半径的圆周长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载n 条弧的弧长的和为：)2n()2n(2112解法 2：设各个扇形的圆心角依次为n21,则180)2n(n21n 条弧长的

11、和为：118011801180n21)2n(180)2n(180)(180n21例：如图，在RtABC中，已知 BCA=90 ， BAC=30 ， AC=6m ，把 ABC以点 B为中心逆时针旋转，使点 C旋转到 AB边的延长线上的点C 处，那么 AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？分析： 在 RtACB中， C=90， BAC=30 ， AB=6 60CBA,3AB21BC33BCABAC22法一：23933321CABC21SBCA123606120360rnS22BAA扇33603120S2BCC扇形9SSSSSACBBCCBCABAA扇扇阴影法二：以 B为圆心， BC为半径画弧精品资

12、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载交 AB 于 D，AB于 D有ACBBCASS，CBDBDCSS扇扇931236031203606120SSS22BDDABA扇扇阴例：如图， 已知 RtABC的斜边 AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线 AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？解：)cm(12513BC22以直线 AC为轴旋转一周所得的圆锥如图

13、所示，它的表面积为：)cm(300131212SSS22侧底表以直线 AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1252113CD211360CDACCDBCCDSSS下上13102017136051360121360例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为_。答案： 6 例：若圆锥的轴截面是

14、一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_。答案： 2例：已知圆锥的底面半径为40cm ，母线长为90cm ，则它的侧面展开图的圆心角为_。答案： 160例：若圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则侧面展开图的圆心角是_。答案： 180例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm ，母线长 50cm 。（1）画出它的展开图；（2）计算这个展开图的圆心角及面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解： （1）烟囱

15、帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）设扇形的半径为l，弧长为 c，圆心角为，则l=50cm ，cm80clc180180cl5080180=288（度）)cm(62805040rS2l扇形例：一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。解： 设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得r2c,22cl即r2, r222ll在 RtSOA中，22210rl由此求得)cm(3320),cm(3310rl故所求圆锥的侧面积为l rS圆侧面)cm(3200332033102精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

16、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20 个底面积为2m9，高为 3.5m，外围高 4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解：3r,r9,rS22h1=4，5rhl221柱锥SSS3621155.33253rh2rl7203620S总答： 至少要720平方米的毛毡。【模拟试题】基础演练 1. 已知扇形的弧长为6cm ，圆心角为60，则扇形的面积为_。 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60，弓形弦长为a

17、，则这个弓形的面积是_。 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，34AB，32AD，BD AD ，以 BD为直径的 O交 AB于 E，交 CD于 F，则图中阴影部分的面积为_。 4. 如图， AB是 O1的直径， AO1是 O2的直径，弦MN/AB，且 MN与 O2相切于 C点，若 O1的半径为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2，则 O1B、BN、CN 、CO1所围成的阴影部分的面积是_。 5. 如图， AB

18、C为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m ，为了美化环境，计划在住宅区周围5m内， （虚线以内， ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为_。 6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的cm6AB，cm10CD， O与AB，CD都相切，则图中阴影部分的面积为_。综合测试 7. 如图， OA是 O的半径， AB是以 OA为直径的 O 的弦， O B 的延长线交 O于点 C，且 OA=4 ，OAB=45 ，则由AB，AC和线段 BC所围成的图形面积是_。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页

19、，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120， AB 长为 30cm ，贴纸部分BD长为 20cm ，贴纸部分的面积为（） A. 2cm3800B. 2cm3500 C. 2cm800D. 2cm500 9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4， AOB=120 ，则阴影部分的面积为（） A. 4B. 2C. 34D. 10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么， B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

20、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 A. 23B. 34C. 4 D. 232 11. （2004湖北黄冈）如图，要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面，问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？探究升级 12. （2004新疆）在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km ，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到 B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，

21、说明哪条路线较短。（1）的路线：线段CDAC线段 DB （2）的路线：线段EFAE线段 FB （其中 E、F 为切点）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 参考答案 1. 2cm27 2. 2a)436( 3. 33215 4. 12312 5. 2m)40025( 6. 2cm60 7. )3235( 8. A 9. B 10. B 11. 截法如图所示B O4O3O O1O2A 根据圆的对称性可知： O1，O

22、3都在 O的直径 AB上，设所截出的凳面的直径为r 则 O1O2=r，O2O3=r，r2OO31又r50)BOAO(ABOO313150r )12(, r50r2)cm(7.20) 12(50r 12. 由题意可知图答（1）路径：)km(42.51101010DBCDABS1图答（ 2）路径：如图连接OE 、OF ，连结 CD 由题意可知A、C、D、B共线，且经过O点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载E为切点，

23、 OE AE 在 RtOAE中，AO=2EO A=30 ， AOE=60 同理 BOF=60 310232030cosOAAE同理310BF3101801060EF,60EOF)km(11.45310310310FBEFAES2由计算可知图（ 2）路线较短。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -