2022年冀教版九级上《第章解直角三角形》单元测试含答案解析 .pdf

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1、第 26 章 解直角三角形一、选择题1tan60的值等于（）A1 BCD2 2如图，在 ABC中，C=90 ， AB=13 ，BC=5 ，则 sinA 的值是（）ABCD3如图，已知45 A90，则下列各式成立的是（）AsinA=cosA BsinA cosA CsinA tanA DsinA cosA 4如图， AB为斜坡， D是斜坡 AB上一点，斜坡AB的坡度为i ，坡角为， AC BM于点 C，下列式子：i=AC： AB ；i= （ AC DE ）： EC ；i=tan =；AC=i ?BC，其中正确的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个5菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所

2、示AOC=45 ，OC=，则点 B的坐标为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - - A（，1）B（1，）C（ +1 ，1） D（ 1， +1 ）6如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5cosBC5sin D7堤的横断面如图堤高BC是 5 米，迎水斜坡AB的长时 13 米，那么斜坡AB的坡度是（）A1：3 B1：2.6 C1：2.4 D1：2 8王师傅在楼顶上的

3、点A处测得楼前一棵树CD的顶端 C的俯角为60，又知水平距离BD=10m ，楼高 AB=24m ，则树高 CD为（）A（2410）m B（ 24）m C（245）m D9m 9某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮 P的北偏东30方向，且相距20 海里客轮以 60 海里 / 小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达 B处，那么tan ABP= （）AB2 CD10身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m 100m 95m 90m 线与地面夹角3045456

4、0A甲B乙C丙D丁11 如图，在等腰 RtABC中，C=90 ，AC=6 ， D是 AC上一点，若 tan DBA= ， 则 AD的长为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - - A2 BCD1 12如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，热气球C的高度 CD为 100米，点 A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200 米B200米C220米D米二、填空题13如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为1

5、8cm ，深为 30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度 i=1 ：5，则 AC的长度是cm14如图，在高出海平面100 米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC= 米15如图所示，一水库迎水坡AB的坡度 i=1 ：，则该坡的坡角a= 度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 16在 ABC中，A， B都是锐角， 且满足 |

6、sinA |+（cosB）2=0，则 C的度数为17将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是18如图，正方形ABCD 的边长为 2，过点 A作 AE AC ，AE=1 ，连接 BE ，则 tanE= 三、解答题（共66 分）19根据下列条件解直角三角形：（1）在 RtABC中，C=90 ， b=4，c=8；（2）在 RtABC中，C=90 ，A=60 ，SABC=1220如图，在 ABC中，C=90 ， sinA=，D为 AC上一点， BDC=45 ， DC=6 ，求 AB的长21如图，在 RtABC中，C=90 ， D是 BC的中点， DE AB于 E，tanB=，且 AE=6 ，求 DE的

7、长22如图所示，一条自西向东的观光大道l 上有 A、B两个景点， A、B相距 2km ，在 A处测得另一景点 C位于点 A的北偏东 60方向， 在 B处测得景点C位于景点B的北偏东45方向， 求景点 C到观光大道 l 的距离（结果精确到0.1km）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 23某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底B到山顶 A的坡角是30，斜坡AB长为 100 米根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i=

8、1 ：5（假定 A，D两点处于同一直线上）为了减少工程量，若AD 20 米，则直接开挖修建公路；若AD 20 米，就要重新设计问这段公路是否需要重新设计？24水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD 如图所示，已知迎水坡面AB的长为 16 米，B=60 ，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形 ABED ，CE的长为 8 米（1）已知需加固的大坝长为150 米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度25如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A 、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东

9、37方向 C处， B岛在南偏东66方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72 海里， A岛上维修船的速度为每小时20 海里， B岛上维修船的速度为每小时28.8 海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据： cos37 0.8 ，sin37 0.6 ，sin66 0.9 ，cos66 0.4 ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 26如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边

10、的方向划过来，此时，测得小船 C的俯角是 FDC=30 ，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5 米， BG=1米， BG平行于 AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4 ： 3， 坡长 AB=10米，求小船 C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 第 26 章 解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题1tan60的值等于（）A1 BCD2 【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据记忆的特殊

11、角的三角函数值即可得出答案【解答】解： tan60=故选 C【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容2如图，在 ABC中，C=90 ， AB=13 ，BC=5 ，则 sinA 的值是（）ABCD【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA 为 A的对边比上斜边，求出即可【解答】解：在ABC中，C=90 ， AB=13 ，BC=5 ，sinA=故选 A【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3如图，已知45 A90，则下列各式成

12、立的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - - AsinA=cosA BsinA cosA CsinA tanA DsinA cosA 【考点】锐角三角函数的增减性【分析】根据题意比较AC和 BC的大小，根据锐角三角函数的概念写出A的 3 个三角函数，比较得到答案【解答】解： 45A90，AC BC ，sinA=，cosA=，tanA=，cosAsinA tanA ，故选： B【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和性质，根据锐角三角

13、函数的概念比较各个三角函数的增减性是解题的关键4如图， AB为斜坡， D是斜坡 AB上一点，斜坡AB的坡度为i ，坡角为， AC BM于点 C，下列式子：i=AC： AB ；i= （ AC DE ）： EC ；i=tan =；AC=i ?BC，其中正确的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【分析】根据坡度的定义i=tan =解答即可【解答】解： AC BM于点 C，DE BC于 E，i=tan =，AC=i?BC ，DE=i?BE，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

14、- - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - - AC DE=i?BCi ?BE=CE ?i ，i=，正确，故选 C【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键5菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示AOC=45 ，OC=，则点 B的坐标为（）A（，1）B（1，）C（ +1 ，1） D（ 1， +1 ）【考点】坐标与图形性质；菱形的性质【专题】数形结合【分析】根据菱形的性质，作CD x 轴，先求 C点坐标，然后求得点B的坐标【解答】解：作CD x 轴于点 D，四边形 OABC 是菱形， OC=，OA=OC=，又AOC=45

15、 OCD为等腰直角三角形，OC=，OD=CD=OCsin COD=OCsin45 =1，则点 C的坐标为（ 1，1），又BC=OA=，B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1 ，则点 B的坐标为（+1，1）故选： C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强6如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5c

16、osBC5sin D【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【专题】压轴题【分析】利用所给的角的余弦值求解即可【解答】解：BC=5米， CBA= AB=故选： B【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用7堤的横断面如图堤高BC是 5 米，迎水斜坡AB的长时 13 米，那么斜坡AB的坡度是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - - A1：3 B1：2.6 C1：2.4 D1：2 【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【分析

17、】坡度 =垂直距离水平距离【解答】解：由勾股定理得：AC=12米则斜坡 AB的坡度 =BC ：AC=5 ：12=1： 2.4 故选 C【点评】此题主要考查学生对坡度的理解及运用8王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端 C的俯角为60，又知水平距离BD=10m ，楼高 AB=24m ，则树高 CD为（）A（2410）m B（ 24）m C（245）m D9m 【考点】解直角三角形的应用- 仰角俯角问题【分析】过C作 AB的垂线，构造矩形和直角三角形运用三角函数求AE然后求解【解答】解：作CE AB于 E，则 BD=CE 由俯角为 60，可知 FAC=60 ，ACE=60 BD=10m ，

18、EC=10m 在 RtAEC中，AE=10m BE=AB AE= （2410）m CD= （2410）m 故选 A【点评】考查利用锐角三角形函数求物体的高度以及俯角的定义精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 9某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮 P的北偏东30方向，且相距20 海里客轮以 60 海里 / 小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达 B处，那么tan ABP= （）AB2 CD【考点】解直角三角形的应用- 方向角

19、问题【分析】根据题意作出图形后知道北偏东30与北偏西60成直角，利用正切的定义求值即可【解答】解：灯塔A位于客轮 P的北偏东 30方向，且相距20 海里PA=20 客轮以 60 海里 / 小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达 B处，APB=90 BP=60=40 tan ABP=故选 A【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据实际问题整理出直角三角形并利用正切的定义求值10身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m 100m 95m 90m 线与

20、地面夹角30454560A甲B乙C丙D丁【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【专题】计算题【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 【解答】解：如图，甲中， AC=140m ，C=30 ， AB=140 sin30 =70m ；乙中， DF=100m ，D=45 ， DE=100 sin45 =50 70.71m；丙中， GI=95m ，I=45， GH

21、=95 sin45 =67.18m；丁中， JL=90m ，L=60， JK=90sin60 =4577.9m可见 JK 最大，故选D【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值11 如图，在等腰 RtABC中，C=90 ，AC=6 ， D是 AC上一点，若 tan DBA= ， 则 AD的长为（）A2 BCD1 【考点】解直角三角形；等腰直角三角形【分析】作DE AB于 E，先根据腰直角三角形的性质得到AB=AC=6，A=45 ，设AE=x，则DE=x ，AD=x，在 RtBED中，利用 DBE的正切得到BE=5x，

22、然后由AE+BE=AB 可计算出x=，再利用 AD=x 进行计算【解答】解：作DE AB于 E，如图，C=90 ， AC=BC=6 ，ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，A=45 ，在 RtADE中，设 AE=x ，则 DE=x ，AD=x ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 在 RtBED中，tan DBE=，BE=5x，x+5x=6，解得 x=，AD=2故选 A【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求

23、未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性质12如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45，热气球C的高度 CD为 100米，点 A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200 米B200米C220米D米【考点】解直角三角形的应用- 仰角俯角问题【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45， BD=CD=100 米，再在 RtACD中求出 AD的长，据此即可求出AB的长【解答】解：在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45，BD=CD=100 米，在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30，AC=2 100=200 米，AD=100米，AB=AD+BD=1

24、00+100=100（1+）米，故选 D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形二、填空题13如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为 30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度 i=1 ：5，则 AC的长度是cm【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【分

25、析】首先过点B作 BD AC于 D，根据题意即可求得AD与 BD的长，然后由斜坡BC的坡度 i=1 ：5，求得 CD的长，继而求得答案【解答】解：过点B作 BD AC于 D，根据题意得： AD=2 30=60（cm），BD=18 3=54（cm），斜坡 BC的坡度 i=1 ：5，BD ：CD=1 ：5，CD=5BD=5 54=270（cm），AC=CD AD=270 60=210（cm）AC的长度是 210cm故答案为： 210【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法14如图，在高出海平面100 米的悬崖顶A处，观测海

26、平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC= 米精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 【考点】解直角三角形的应用- 仰角俯角问题【分析】根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为45，利用得出AC=BC ，即可得出答案【解答】解：在高出海平面100 米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，船与观测者之间的水平距离BC=AC=100 米故答案为： 100 米【点评】此题主要考查了解直角三角

27、形的应用，根据已知得出AC=BC是解决问题的关键15如图所示，一水库迎水坡AB的坡度 i=1 ：，则该坡的坡角a= 度【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【分析】坡角的正切值即为坡度，由此可求得a 的度数【解答】解：由题意，设坡角，tana=i=，故坡角 a=30故答案为： 30【点评】此题需要注意的是：坡度（即坡比）等于坡角的正切值；不要混淆概念16在 ABC中，A， B都是锐角， 且满足 |sinA |+（cosB）2=0，则 C的度数为【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【分析】由非负数的性质可知：sinA=，cosB=，从而可求得A， B的度数，

28、然后由三角形的内角和定理可求得C的度数【解答】解：|sinA |+ （cosB）2=0，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - - sinA=，cosB=A=45 ，B=30 由三角形的内角和是180可知 C=180 3045=105故答案为： 105【点评】本题主要考查的是特殊锐角三角函数值、三角形的内角和定理、非负数的性质的应用，求得A， B的度数是解题的关键17将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是【考点】相似三角形的判定与性质【

29、分析】由 BAC= ACD=90 ，可得AB CD ，即可证得 ABE DCE ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出 AB与 CD ，即可求得答案【解答】解：BAC= ACD=90 ，AB CD ，ABE DCE ，在 RtACB中B=45 ，AB=AC ，在 RtACD中，D=30 ，CD=AC ，=故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 2

30、7 页 - - - - - - - - - - 18如图，正方形ABCD 的边长为 2，过点 A作 AE AC ，AE=1 ，连接 BE ，则 tanE= 【考点】正方形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】 延长 CA使 AF=AE ，连接 BF，过 B点作 BG AC ，垂足为 G ，根据题干条件证明BAF BAE ，得出 E=F，然后在 RtBGF中，求出 tanF 的值，进而求出tanE 的值【解答】解：延长CA使 AF=AE ，连接 BF ，过 B点作 BG AC ，垂足为G ，四边形 ABCD 是正方形，CAB=45 ，BAF=135 ，AE AC ，BAE=

31、135，BAF=BAE ，在 BAF和BAE中，BAF BAE （SAS ），E=F，四边形 ABCD 是正方形， BG AC ，G是 AC的中点，BG=AG=2 ，在 RtBGF中，tanF=，即 tanE=故答案为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 【点评】本题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，此题能正确作出辅助线也是解答关键所在，此题是一道不错的中考试题三、解答题（共66 分）19根据下

32、列条件解直角三角形：（1）在 RtABC中，C=90 ， b=4，c=8；（2）在 RtABC中，C=90 ，A=60 ，SABC=12【考点】解直角三角形【分析】（ 1）可先求得 B，进而可求出A的度数，利用勾股定理再求得a 即可；（2）先求得 B，再根据边之间的关系可用a 和 b表示出面积，从而求得a、b，再求得 c 即可【解答】解：（1）sinB=，B=30 ，A=90 B=60 a=4（2）由 A+B=90 ，得 B=30 SABC=12，ab=12，ab=24又tan A=tan 60 =，a=b，b2=24，b=2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

33、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - - c=2b=4，a=6【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值及勾股定理，掌握含30、60角的直角三角形的性质是解题的关键20如图，在 ABC中，C=90 ， sinA=，D为 AC上一点， BDC=45 ， DC=6 ，求 AB的长【考点】解直角三角形【专题】计算题【分析】由已知得BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6 ，又因为已知A的正弦值，即可求出AB的长【解答】解： C=90 ，BDC=45 BC=CD=6 又sinA=AB=6 =15【点评】直角三角

34、形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用21如图，在 RtABC中，C=90 ， D是 BC的中点， DE AB于 E，tanB=，且 AE=6 ，求 DE的长【考点】解直角三角形【分析】设CD=x ，分别用 x 表示 AB ，BE的长，即可求得x 的值，根据tanB=即可解题【解答】解：设CD=x ，则 BC=2x ，tanB=，AC=x ，AB=x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - - BD=x ，BE=x，AE=AB BE ，x=

35、6，BD=2，DE=BD=2 【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的计算，考查了三角函数值在直角三角形中的运用，本题中求得 BD的长是解题的关键22如图所示，一条自西向东的观光大道l 上有 A、B两个景点， A、B相距 2km ，在 A处测得另一景点 C位于点 A的北偏东 60方向， 在 B处测得景点C位于景点B的北偏东45方向， 求景点 C到观光大道 l 的距离（结果精确到0.1km）【考点】解直角三角形的应用- 方向角问题【分析】过点C作 CD l 于点 D，设 CD=xkm 先解直角ACD ，得出 AD=CD=xkm，再解直角BCD ，得出 BD=CD=xkm ，然后根据AD BD=A

36、B ，列出关于x 的方程，解方程即可【解答】解：如图，过点C作 CD l 于点 D，设 CD=x km 在ACD中， ADC=90 ，CAD=30 ，AD=CD=x km在BCD中， BDC=90 ，CBD=45 ，BD=CD=x km AD BD=AB ，xx=2，x=+12.7 （km）故景点 C到观光大道l 的距离约为2.7km精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 【点评】本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构

37、造直角三角形是解题的关键23某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底B到山顶 A的坡角是30，斜坡AB长为 100 米根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i=1 ：5（假定 A，D两点处于同一直线上）为了减少工程量，若AD 20 米，则直接开挖修建公路；若AD 20 米，就要重新设计问这段公路是否需要重新设计？【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【分析】将原题抽象为关于直角三角形ABC和直角三角形DBC的问题进行解答，求出AC的长，再求出 AD的长，算出其差，即可判断AD是否大于 20 米，然后再作判断【解答】解：在RtABC中， AB=100米，则 AC=100 =5

38、0 米，BC=AB ?cos30=100=50米，又因为 BD的坡度是 1：5，则=，解得 DC=10米，于是有 AD=AC DC=50 103220，需要重新设计【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，将原问题转化为解直角三角形的问题是解答此类问题的基本思路精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 24水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD 如图所示，已知迎水坡面AB的长为 16 米，B

39、=60 ，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形 ABED ，CE的长为 8 米（1）已知需加固的大坝长为150 米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度【考点】解直角三角形的应用- 坡度坡角问题【分析】（ 1）分别过 A、D作下底的垂线，设垂足为F、 G 在 RtABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以 CE为底， DG为高即可求出CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积；（2）在 RtCDG 中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长； RtDEG中，根据DG 、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE

40、的坡比【解答】解：（1）分别过 A、D作 AFBC ，DG BC ，垂点分别为F、G ，如图所示在 RtABF中， AB=16米，B=60 ，sinB=，在矩形 AFGD 中， AF=16=8（米）， DG=8米SDCE=CE DG= 88=32（平方米）需要填方： 15032=4800（立方米）；（2）在直角三角形DGC 中， DC=16米，GC=24 米，GE=GC+CE=32 米，坡度 i=DG：GE=8：32=：4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 27 页 - - -

41、- - - - - - - 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力解题的关键是牢记坡度是竖直高度与水平宽度的比值25如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A 、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37方向 C处， B岛在南偏东66方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72 海里， A岛上维修船的速度为每小时20 海里， B岛上维修船的速度为每小时28.8 海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据： cos37 0.8 ，sin37 0.6 ，sin66 0.9 ，cos66 0.4 ）【

42、考点】解直角三角形的应用- 方向角问题【分析】作AD BC的延长线于点D，先解 RtADB ，求出 AD ，BD，再解 Rt ADC ，求出 AC ，CD ，则BC=BD CD 然后分别求出A岛、B岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船【解答】解：作AD BC的延长线于点D在 RtADB中，AD=AB ?cosBAD=72 cos66=72 0.4=28.8 （海里），BD=AB ?sin BAD=72 sin66 =72 0.9=64.8 （海里）在 RtADC中，（海里），CD=AC ?sin CAD=36 sin37 =36 0.6=21.6 （海里）BC=BD CD=64.

43、821.6=43.2 （海里）A岛上维修船需要时间（小时）B岛上维修船需要时间（小时）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - - tAtB，调度中心应该派遣B岛上的维修船【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出BD与 CD的值是解题的关键26如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C的俯角是 FDC=30 ，若兰兰的眼睛与地

44、面的距离是1.5 米， BG=1米， BG平行于 AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4 ： 3， 坡长 AB=10米，求小船 C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）【考点】解直角三角形的应用- 仰角俯角问题【专题】压轴题【分析】把AB和 CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点 D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度 CH AE=EH 即为 AC长度【解答】解：过点B作 BE AC于点 E，延长 DG交 CA于点 H，得 RtABE和矩形 BEHG ，BE=8 ，AE=6 DG=1.5，BG=1 ，DH=DG+GH=1.5+8=9.5 ，AH

45、=AE+EH=6+1=7在 RtCDH中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 27 页 - - - - - - - - - - C=FDC=30 ， DH=9.5，tan30=，CH=9.5又CH=CA+7 ，即 9.5=CA+7 ，CA 9.435 9.4 （米）答：CA的长约是 9.4 米【点评】构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - - -