2022年双曲线及其标准方程 .pdf

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1、2.3 双曲线23.1 双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、 日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此， 这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行 教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点课时分配本节内容分两课时完成第 1 课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推

2、导过程推导双曲线的标准方程；第2 课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题第 1 课时教学目标知识与技能使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程过程与方法在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣重点难点教学重点：双曲线的定义和双

3、曲线的标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导. 教学过程复习引入1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2. 椭圆的标准方程(1) 焦点在 x 轴x2a2y2b21，(ab0) ；(2) 焦点在 y 轴y2a2x2b21，(ab0) 3a、b、c 之间有何种关系？a2c2b2. 探究新

4、知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) (B) 活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支下面请同学们思考以下问题：设问：定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？( 几何画板演示当常数等于|F1F2| 及常数大于 |F1F2| 时的点的轨迹，帮助学生理解) 请学生回答： 1. 不能指出必须“在平面内”2到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即|MF1| |

5、MF2| 2a. 3应小于两定点间距离且大于零当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹活动设计： 小组讨论， 实验演示， 通过提出问题， 让学生讨论问题，并尝试解决问题 让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力感受曲线， 解读演示得到的图形是双曲线 (一部分 ) 提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流学情预测： 学生的回答可能不全面、不准确， 我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善活动成果：师生共

6、同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数( 小于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距( 在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2| 且大于零 ) 下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页

7、- - - - - - - - - - 活动结果：建系、设点、列式、化简( 学生回答，教师板书) 提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计： 学生先独立思考， 类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导( 推导过程以焦点在x 轴上为例 ) 学生板演，先请学生评讲，教师再评讲以线段 F1F2的中点为原点，直线F1F2为 x 轴，建立直角坐标系设P(x，y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c0) ，那么，焦点F1，F2的坐标分别是 ( c,0) ， (c,0) ，又设点 P与 F1，F2的距离的差

8、的绝对值等于常数2a. 则有：xc2y2xc2y22a，移项，得xc2y2xc2y22a，两边平方，得xc2y2|a cax|. 式再两边平方并整理得(c2a2)x2a2 y2a2(c2a2) ，( )根据双曲线的定义ca，c2 a20，设 b2c2a2，代入上式，得x2a2y2b21. 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标是F1( c,0) 、F2(c,0) 学情预测：一般情况下，得到方程( ) 后，学生会类比椭圆设b2c2a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A1，A2，同学们都知道a，c

9、 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a，c 的线段吗？学情预测：估计得出c|F1F2|2|OF1| |OF2| ，a|A1A2|2|OA1| |OA2| 应当不会有问题提出问题：你能在y 轴上找一点B，使得 |OB| b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B1，B2，则|B2A1| |B2A2| c|B1A1| |B1A2|. 这样，因为B2OA2为直角三角形，且|B2A2| c，|OA2| a，所以， c2a2|OB2|2. 因此，方程( ) 中的 c2a2有明显的几何意义提出问题：如果以F1，F2所在直线为y 轴，线段 F1F2的垂直平分线为x 轴

10、，建立直角坐标系，焦点是F1(0 ，c) ，F2(0 ，c) ，双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x2a2y2b2 1 中的 x、y 互换，得到它的方程为y2a2x2b21，这也是双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两个教师应指出：我们所得的两个方程x2a2y2b21 和y2a2x2b21(a0 ，b0) 都是双曲线的标准方程提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许活动结果：看x2，y2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上练习：写出以下双曲线的焦点坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

11、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 1.x216y291 2.x29y216 1 F(5,0)3.y216x291 4.y29x2161 F(0 ，5)理解新知1观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：(1) 双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；(2) 双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；(3) 双曲线标准方程中三个参数a，b，c 的关系： c2a2b2(a0 ， b0)；(4) 双曲线焦点的位置由标准方程中x2，y2的系数的正负确定；

12、(5) 求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a，b 的值2在归纳总结的基础上填下表. 标准方程x2a2y2b21(a0 ，b0) y2a2x2b21(a0 ，b0) 图形a，b，c 的关系c2a2b2c2a2b2焦点坐标( c,0)(0 ，c)焦点位置在 x 轴上在 y 轴上3. 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？椭圆双曲线定义|MF1| |MF2| 2a |MF1| |MF2| 2a 方程x2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0) x2a2y2b21(a0 ，b0) y2a2x2b21(a0 ，b0) 焦点F(c,0)F(0，c)F(c,0)F(0，c)a，

13、b，c的关系ab0，a2b2c2a0，b0，但 a 不一定大于b，a2b2c2运用新知例题研讨，变式精析1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c 的值x24y221，x22y221, x24y22 1，4y29x236. 思路 分析： 双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上， y2项的分母是a2. 解： 是双曲线， a2，b2，c6；是双曲线， a2，b2，c2；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

14、 - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 是双曲线， a2，b2，c6；是双曲线， a3，b2，c13. 2 已知双曲线的焦点为F1( 5,0) ，F2(5,0) ，双曲线上一点P 到 F1、F2的距离的差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程思路 分析： 巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a，c. 用待定系数法求出双曲线的标准方程解： 双曲线的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(a0 ，b0)根据题意知2a6,2c 10，a3，c5 b2523216. 所求双曲线的标准方程为x29y2161. 点评： 焦点定位， a、b、c 三者知二定形

15、变练演编提出问题：请解答下列问题：1已知双曲线x216y291，你可以得到哪些结论？( 把你能得到的结论都写出来) 2已知 a2，c4，则你可以得到双曲线的哪些结论？( 把你能得到的结论都写出来) 3已知 a4，_，可以求得双曲线的标准方程为y216x291，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果然后，全班交流学情预测： 1.a 4，b3，c5，两焦点坐标为( 5,0) ，(5,0) 2b23，双曲线的标准方程为x24y2121 或y24x2121 等3b3，且焦点在y 轴上；或 c5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为(0,5)(答案很多 ) 设计意图：

16、设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深达标检测1求 a4，b3，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程2求 a25，经过点 (2 ， 5) ，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程3证明椭圆9x225y2225 与双曲线 x215y215 的焦点相同4若方程 x2sin y2cos 1表示焦点在y 轴上的双曲线， 则角 所在象限是 ( ) A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限5设双曲线x216y291 上的点 P

17、到点(5,0)的距离为15，则 P点到 ( 5,0) 的距离是( ) A7 B23 C5 或 23 D7 或 23 答案： 1.x216y291；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2.y220 x2161；39x225y2225x225y291F(4,0) ，x215y215x215y21F(4,0) ；4D x2sin y2cos1 表示焦点在y 轴上的双曲线sin 0 在第四象限，所以选D. 5D |d 15| 2a8 d7 或

18、 23. 课堂小结知识整理，形成系统( 由学生归纳，教师完善) (1) 双曲线的定义 ( 与椭圆的区别 ) (2) 标准方程 ( 两种形式 ) (3) 焦点位置的判断( 与椭圆的区别 ) (4)a 、b、 c 的关系 ( 与椭圆的区别 ) 让学生对本节课进行总结目的是帮助他们认清这节课的知识结构，培养他们的归纳总结能力 . 作业布置教材习题 2.3 A组第 1 题，第 2(1) 题补充练习基础练习1填空题：(1) x252y2321，则 a_ ，b_ ；(2)x242y2621，则 a_ ，b_ ；(3)x29y241，则 a_ ，b_ . 2求下列椭圆的焦点坐标：x29y241；16x27y

19、2112. 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，13) ，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为 24，求双曲线的标准方程解： 因为焦点坐标为F1(0 ， 13) ，所以 c13. 又双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24，所以 2a24，即 a12. 所以 b2c2a216914425. 所以所求双曲线的标准方程为y2144x2251. 设计说明精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 1在“双曲线的标准方程”的引入与推导

20、中，充分利用几何画板演示，并运用“实验观察类比证明应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程； 也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点2在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究， 构建新知识， 真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想备课资料备选例题：1椭圆x29y2m1 与双曲线x2my21 有相同的焦点，求m的值分析： 由双曲线方程

21、可以看出焦点在x 轴上这样在椭圆和双曲线中各自的a、b 值可以定下来了再分别求c，列出等式可解得m值解： 双曲线x2my21 的焦点在 x 轴上，所以cm 1，椭圆的焦点也在x 轴上，所以c9m ，依题意有m 19m ，解得 m 4. 点评： 对于椭圆与双曲线这对“情侣圆锥曲线”，从简单的题目入手，慢慢提升学生的综合能力2动点 P到点 M(1,0) 的距离减去到点N(1,0) 的距离为2，则点 P的轨迹是 ( ) A双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线答案： D 点评： 对双曲线的定义巩固提升( 设计者：刘薇) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -