2022年《离散数学》试题及答案 .pdf

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1、一、填空题1 设集合 A,B ，其中 A1,2,3, B= 1,2, 则 A - B 3 ; (A) - (B)3,1,3,2,3,1,2,3 . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 | (A A)| = 22n. 3. 设集合 A = a, b, B = 1, 2, 则从 A 到 B 的所有映射是1= (a,1), (b,1), 2= (a,2), (b,2),3= ( a,1), (b,2), 4= (a,2), (b,1), 其中双射的是3, 4 . 4. 已知命题公式G(PQ)R，则 G 的主析取范式是(PQR) 5.设 G 是完全二叉树， G 有 7 个点，其中4 个叶点，则

2、G 的总度数为12，分枝点数为3. 6 设 A、B 为两个集合 , A= 1,2,4, B = 3,4, 则从 AB4 ; AB1,2,3,4; AB1,2 . 7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性. 8. 设命题公式G(P(Q R)， 则使公式 G 为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合 A1,2,3,4, A 上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R2 = (2,1),(3,2),(4,3), 则R1R2 =(1,3),(2,2),(3,1) , R2R1 = (2,4)

3、,(3,3),(4,2) _R12 =(2,2),(3,3). 10. 设有限集 A, B ，|A| = m, |B| = n, 则| | (A B)| = nm2. 11 设 A,B,R 是三个集合， 其中 R 是实数集，A = x | -1 x1, xR, B = x | 0 x 2, xR,则 A-B = -1=x0 , B-A = x | 1 x 6 (D)下午有会吗？5 设 I 是如下一个解释：Da,b, 0101b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(aaP则在解释 I 下取真值为1 的公式是 ( D ). (A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x

4、) (D)x yP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设 G、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词， G xP(x), H xP(x),则一阶逻辑公式GH是( C ). (A) 恒真的(B) 恒假的(C)可满足的(D)前束范式 . 8设命题公式G(PQ)，HP(QP)，则 G 与 H 的关系是 ( A )。(A)GH (B)HG (C)G H (D)以上都不是 . 9设 A, B 为集合，当 ( D

5、 )时 ABB. (A)A B (B)AB (C)BA (D)A B. 10 设集合 A = 1,2,3,4, A上的关系 R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则 R 具有 ( B )。(A) 自反性(B)传递性(C)对称性(D)以上答案都不对11下列关于集合的表示中正确的为( B )。(A)aa,b,c (B)aa,b,c (C)a,b,c (D)a,ba,b,c 12 命题xG(x) 取真值 1 的充分必要条件是( A ). (A) 对任意 x，G(x)都取真值1. (B)有一个 x0，使 G(x0)取真值 1. (C)有某些 x，使 G(x0)取真值 1. (D)以上答案

6、都不对. 13. 设 G 是连通平面图，有5 个顶点， 6 个面，则 G 的边数是 ( A). (A) 9 条(B) 5 条(C) 6 条(D) 11 条. 14. 设 G 是 5 个顶点的完全图，则从G 中删去 ( A )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4. 15. 设图 G 的相邻矩阵为0110110101110110010111110，则 G 的顶点数与边数分别为( D ). (A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8. 1 2 3 4 5 6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

7、 - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 三、计算证明题1.设集合 A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 ，R 为整除关系。(1) 画出半序集 (A,R) 的哈斯图；(2) 写出 A 的子集 B = 3,6,9,12 的上界，下界，最小上界，最大下界；(3) 写出 A 的最大元，最小元，极大元，极小元。解： （1）124836129（2） B 无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3 （3） A 无最大元，最小元是1，极大元 8, 12, 9; 极小元是1 2.设集合 A1, 2, 3, 4 ，A 上的关系 R(

8、x,y) | x, yA 且 x y, 求(1) 画出 R 的关系图；(2) 写出 R 的关系矩阵 . 解： （1）1234（2）1000110011101111RM3.设 R 是实数集合，, , 是 R 上的三个映射，(x) = x+3, (x) = 2x, (x) x/4,试求复合映射? ，? , ? , ? ， ? ? . 解：(1) ? ( (x) (x)+32x+32x+3. (2) ? ( (x)(x)+3 (x+3)+3 x+6, (3) ? ( (x)(x)+3 x/4+3, (4) ? ( (x) (x)/42x/4 = x/2,(5) ? ? ?( ? )? +32x/4+

9、3 x/2+3. 4. 设 I 是如下一个解释：D = 2, 3, a b f (2) f (3) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3) 3 2 3 2 0 0 1 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b); (2)x y P (y, x). 解：(1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3) P(2, f (2) = P(3

10、, 2)P(2, 3) = 1 0 = 0. (2) x y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3) = (01)(01) = 11 = 1. 5. 设集合 A1, 2, 4, 6, 8, 12 ， R 为 A 上整除关系。(1) 画出半序集 (A,R) 的哈斯图；(2) 写出 A 的最大元，最小元，极大元，极小元；(3) 写出 A 的子集 B = 4, 6, 8, 12 的上界，下界，最小上界，最大下界. 解： (1) (2)无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1. (3) B 无上界

11、，无最小上界。下界1, 2; 最大下界 2.6. 设命题公式G = (P Q)(Q(PR), 求 G 的主析取范式。解：G = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(QP)(QR) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQ R) = m3m4m5m6m7 = (3, 4

12、, 5, 6, 7). 7. (9 分)设一阶逻辑公式：G = (xP(x) yQ(y)xR(x)，把 G 化成前束范式. 解：G = (xP(x) yQ(y)xR(x) = (xP(x) yQ(y)xR(x) = (xP(x)yQ(y)xR(x) = ( x P(x)y Q(y)zR(z) = x yz(P(x)Q(y)R(z) 9. 设 R 是集合 A = a, b, c, d. R是 A 上的二元关系 , R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (1) 求出 r(R), s(R), t(R) ；(2) 画出 r(R), s(R), t(R) 的关系图 . 解： （

13、1）r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c), t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图 : 11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (PQ)( PQR) (2) H = (P (QR)(Q(PR) 解：G(PQ)( PQR) bacdr(R)bacds(R)bacdt(R)精

14、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (PQR)(PQR)( PQR) m6m7m3 (3, 6, 7) H = (P(QR)(Q( PR) (PQ)(QR)( PQR) (PQR)(PQR)( PQR) (P QR)(PQR) (PQR)( PQR)(PQR) m6m3m7 G,H 的主析取范式相同，所以G = H. 13. 设 R 和 S是集合 Aa, b, c, d 上的关系，其中R( a, a),(a, c),(b, c),(c

15、, d), S( a, b),(b, c),(b, d),(d, d). (1) 试写出 R 和 S的关系矩阵；(2) 计算 R?S, RS, R1, S1?R1. 解：(1)0000100001000101RM1000000011000010SM(2)R?S( a, b),(c, d), RS( a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1( a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1?R1( b, a),(d, c). 四、证明题1. 利用形式演绎法证明：PQ, RS, PR蕴涵 Q S。解：(1) PRP (2)

16、RPQ(1) (3) PQ P (4) RQQ(2)(3) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (5) QRQ(4) (6) RSP (7) QSQ(5)(6) (8) QS Q(7) 2. 设 A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(BC). 解：(A-B)-C =CBA)()()()(CBACBACBA3. (本题 10 分)利用形式演绎法证明：AB, CB, CD 蕴涵 AD。解：(1) A D(附加) (2) A

17、B P (3) B Q(1)(2) (4) CB P (5) BC Q(4) (6) C Q(3)(5) (7) CD P (8) D Q(6)(7) (9) AD D(1)(8) 所以 AB, CB, CD 蕴涵 AD.4. (本题 10 分)A, B 为两个任意集合，求证：A(AB) = (A B)B . 解：4.A(AB) = A(A B) A(A B) (A A) (AB) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (AB) (A

18、 B) AB 而 (AB)B = (A B)B = (A B)(BB) = (A B)= AB 所以： A(AB) = (A B)B. 参考答案一、填空题1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2.22n.3.1= ( a,1), (b,1), 2= ( a,2), (b,2),3= ( a,1), (b,2), 4= ( a,2), (b,1); 3, 4.4.(PQR).5.12, 3. 6.4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 7.自反性；对称性；传递性.8.(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).9.(1,3),(2,2),(3,1); (2,4),(

19、3,3),(4,2); (2,2),(3,3).10. 2m n.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 11. x | -1 x 0, xR; x | 1 x 2, xR; x | 0 x1, x R. 12. 12; 6.13. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).14.x(P(x)Q(x).15. 21.16. (R(a)R(b)(S(a)S(b).17.

20、 (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、选择题1.C. 2. D. 3. B. 4. B. 5.D. 6. C. 7. C. 8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D 三、计算证明题1. (1) (2) B 无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A 无最大元，最小元是1，极大元 8, 12, 90+; 极小元是1. 2.R = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (1) (2)1000110011

21、101111RM3. (1) ? ( (x) (x)+3 2x+3 2x+3. (2) ? ( (x)(x)+3 (x+3)+3 x+6, (3) ? ( (x)(x)+3 x/4+3, (4) ? ( (x) (x)/42x/4 = x/2,1248361291234精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (5) ? ? ?( ? )? +32x/4+3 x/2+3. 4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3

22、, f (3)P(2, f (2) = P(3, 2)P(2, 3) = 1 0 = 0. (2) x y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3) = (01)(01) = 11 = 1. 5. (1) (2) 无 最 大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1. (3) B 无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2. 6. G = (PQ)(Q( PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(QP)(QR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQ

23、R)(PQR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQ R) = m3m4m5m6m7 = (3, 4, 5, 6, 7). 7. G = (xP(x) yQ(y)xR(x) = (xP(x) yQ(y)xR(x) = (xP(x)yQ(y)xR(x) = ( x P(x)y Q(y)zR(z) = x yz(P(x)Q(y)R(z) 9. (1) r(R) RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), 2416812精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

24、纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c), t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2)关系图 : 11. G(PQ)(PQR) (PQR)(PQR)( PQR) m6m7m3 (3, 6, 7) H = (P(QR)(Q( PR) (PQ)(QR)( PQR) (PQR)(PQR)( PQR) (P QR)(PQR) (PQR

25、)( PQR)(PQR) m6m3m7 (3, 6, 7) G,H 的主析取范式相同，所以G = H. 13. (1)0000100001000101RM1000000011000010SM(2)R?S( a, b),(c, d), RS( a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1( a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1?R1( b, a),(d, c). 四 证明题1. 证明： PQ, RS, PR蕴涵 QS(1) PRP bacdr(R)bacds(R)bacdt(R)精品资料 - - - 欢迎下载 - -

26、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - (2) RPQ(1) (3) PQ P (4) RQQ(2)(3) (5) QRQ(4) (6) RSP (7) QSQ(5)(6) (8) QS Q(7) 2. 证明： (A-B)-C = (A B)C = A(BC) = A(BC) = A-(B C) 3. 证明： AB, CB, CD 蕴涵 AD (1) A D(附加) (2) AB P (3) B Q(1)(2) (4) CB P (5) BC Q(4) (6) C Q(3

27、)(5) (7) CD P (8) D Q(6)(7) (9) AD D(1)(8) 所以 A B, CB, CD 蕴涵 AD. 5.证明： A(AB) = A(A B) A(A B) (A A) (AB) (AB) (A B) AB 而 (AB)B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - = (A B)B = (A B)(BB) = (A B)= AB 所以： A(AB) = (A B)B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -