2022年向量正余弦定理知识点 .pdf

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1、第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）零向量：长度为0的向量叫零向量 , 记作： 0零向量的方向是任意的单位向量：长度等于1个单位的向量 ( 与AB共线的单位向量是|ABAB) ；平行向量（共线向量） ： ：方向相同或相反的非零向量a、 b 叫做平行向量，记作： a b，规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性（因为有0 ) ；三点ABC、 、共线AB

2、AC、共线；相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量有传递性相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。下列命题： （1）若ab，则ab。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同， 终点相同。 （3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。 （4）若A BCD是平行四边形， 则ABDC。 （5）若,abbc，则ac。 （6）若/ , / /a bb c，则/ac。其中正确的是 _ （答： （4） （5） ）2. 向量的表示方法 ：（1）几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b， c等

3、；（3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y ，称, x y 为向量 a的坐标， a, x y 叫做向量 a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 三角形不等式：ababab （几何意义：两边之和

4、大于第三边，两边之差小于第三边）运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc；00aaa 坐标运算：设11,axy ，22,bxy，则1212,abxxyy4、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 （注意：此处减向量与被减向量的起点相同）坐标运算：设11,axy ，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy，则),(1212yyxxBA5、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量，记作aaa ；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa ；abab坐标运算：设,ax

5、y ，则,ax yxy 6、向量共线定理：向量0a a与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b共线7、平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee （不共baCabCC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有

6、向量的一组基底例： （1）若(1,1),ab(1, 1),( 1,2)c，则c_ （答：1322ab） ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1 , 2)ee B. 12( 1,2),(5,7)ee C. 12(3,5),(6,10)ee D.1213(2, 3),(,)24ee（答： B） ；8、分点坐标公式： 设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy9、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a，b ，作,OAa OBb ，AOB0称为向量 a，b 的夹角，当0 时，

7、a，b同向，当时， a，b反向，当2时， a， b垂直。（2）平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a，b ，它们的夹角为，我们把数量|cosab叫做 a 与b的数量积（或内积），记作： ab ，即 ab cosa b规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数， 不是向量。（3）平面向量的数量积的性质：设a和b 都是非零向量，其夹角为则0aba b当a与 b 同向时，a ba b；当a与 b 反向时，a ba b；22a aaa或 aa a a ba b（4）运算律： a bb a；aba bab；abca cb c（5）坐标运算： 设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则

8、1212a bx xy y 若,ax y ，则222axy，或22axy（6）向量垂直的充要条件 ：0| |aba babab12120 x xy y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 设a、 b 都是非零向量，11,ax y，22,bxy，是a与b 的夹角，则121222221122cosx xy ya ba bxyxy10、b 在 a上的投影 为| |cosb，它是一个实数，但不一定大于0。11、平移公式 ：如果点( , )P x

9、 y按向量,ah k 平移至(,)P xy，则xxhyyk；曲线( , )0f x y按向量,ah k平移得曲线(,)0f xh yk. 12、重心问题 ：0PAPBPCP 为ABC的重心；重心坐标公式： 在ABC中，若112233,A x yB xyC xy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 正余弦定理1、正弦定理： 在C中， a 、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，

10、则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理： 在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、 余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、 设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C

11、；若222abc，则90C7、射影定理：coscos,coscos,coscosabCcB baCcA caBbA 8 、解三角形常用三角关系式：CBA; CBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBA9、判断三角形形状的方法：化边为角；化角为边注： （1）判断一个三角形为等腰三角形时，要进一步讨论它是否可能是等边三角形或者等腰直角三角形（2）在ABC中，由BA2sin2sin不一定有BA因为BA2sin2sin22222BABABABA或或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -