2022年北师大版12.5数学归纳法名师精编单元测试 .pdf

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1、名校名师推荐1 1用数学归纳法证明不等式1121412n112764(nN*)成立，其初始值至少应取( ) A7 B8 C9 D10 解析： 选 B.1121412n1112n11212764，整理得2n128，解得 n7，所以初始值至少应取 8. 2已知 f(n)122232 (2n)2，则 f(k1)与 f(k)的关系是 ( ) Af(k1)f(k) (2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k) (2k1)2解析： 选 A.f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2 f(k)(2k1)2(2k2)2. 3当 n 为

2、正奇数时，求证xnyn被 xy 整除，当第二步假设n2k 1 时命题为真，进而需验证 n_，命题为真解析： 当 n 为正奇数时，求证xnyn被 xy 整除，用数学归纳法证明时，第二步假设n2k1 时命题为真，进而需要验证n2k1 时命题为真答案： 2k1 4设平面内有n 条直线 (n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数， 则 f(4)_； 当 n4 时，f(n) _(用n 表示 )解析 ：f(3)2，f(4)f(3)323，f(5)f(4)4234， f(6)f(5)52 345，猜想 f(n)234(n1)（n1）（ n2）2(

3、n 4)答案： 5 12(n1)(n2) 5求证： (n1)(n2) (nn)2n135 (2n1)(nN*)证明： (1)当 n1 时，等式左边2，右边 2，故等式成立；(2)假设当 nk(kN*，k1)时等式成立，即(k1)(k2) (kk)2k 135(2k1)，那么当 nk1 时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐2 左边 (k1 1)(k12) (k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k 13

4、5(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1 时等式也成立由(1)(2) 可知，对所有nN*等式成立6设实数 c0, 整数 p1，证明：当x1 且 x0 时， (1x)p1px. 证明： 用数学归纳法证明当 p2时， (1x)212xx212x，原不等式成立假设当 pk(k2，kN*)时，不等式 ( 1x)k1kx 成立则当 pk1 时， (1x)k1(1x)(1x)k(1x) (1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当 pk1 时，原不等式也成立综合 可得，当 x1，x0 时，对一切整数p1，不等式 (1x)p1px 均成立7已知点 Pn(an，bn)满足

5、an1anbn1，bn1bn14a2n(nN*)且点 P1的坐标为 (1， 1)(1)求过点 P1， P2的直线 l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点 Pn都在 (1)中的直线l 上解： (1)由 P1的坐标为 (1，1)知 a11，b11.所以 b2b114a2113，a2a1b213.所以点 P2的坐标为13，13.所以直线 l 的方程为 2xy1.(2)证明： 当 n1 时，2a1b121(1)1 成立假设 nk(kN*，k1)时， 2akbk1 成立，则 2ak1bk12akbk1bk1bk14a2k(2ak1)bk12ak12ak12ak1，所以当 nk1 时，命题也

6、成立由 知，对 nN*，都有 2anbn1，即点 Pn都在直线 l 上1已知数列 xn 满足 x112，且 xn1xn2xn(nN*)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐3 (1)用数学归纳法证明：0 xn0，即 xk10.又因为 xk112（xk1）2xk0，所以 0 xk11.综合 可知 0 xn1.(2)由 xn1xn2xn可得1xn12xnxn2xn1，即 an12an1，所以 an11 2(an1)令 bnan1

7、，则 bn12bn，又 b1a111x111，所以 bn是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，即 bn2n1，所以 an2n11. 2将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14， 15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，试猜测 S1S3S5 S2n1的结果，并用数学归纳法证明解： 由题意知，当n1 时， S1114；当 n2 时， S1S31624；当 n3 时， S1

8、S3S58134；当 n4 时， S1S3S5S725644.猜想： S1S3S5S2n1n4.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐4 下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时， S1114，等式成立(2)假设当 nk(kN*，k1)时等式成立，即S1S3S5 S2k1k4，那么，当nk1 时，S1S3S5S2k1S2k1k4 (2k2k 1) (2k2 k2) (2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36

9、k24k1(k1)4，这就是说，当nk1 时，等式也成立根据 (1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5 S2n1n4都成立3设数列 an 各项均为正数，且满足an1ana2n. (1)求证：对一切n2，都有 an1n2；(2)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，证明对一切n2，都有 S2nSn10，解得 0a11.当 n2 时， a3a2a2214(a212)214，不等式成立，假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立，即ak1k 2，则当 nk1 时，ak1aka2k14(ak12)2141k2122k1（k2）20，则 f (x)1x11（x1）2x（x1）20，故 f(x)

10、在(0， )上是增函数，则f(x)f(0)0，即 ln(x1)xx1，令 x1n1，代入上式，得1n2ln( n2)ln(n1)对一切 n2 都成立，S2nSn1anan1an2 a2n1n21n31n4 12n2ln(n2) ln(n 1)ln(n3)ln(n2)ln(2n2)ln(2n1)ln(2n2)ln(n1)ln 2.所以对一切n2，都有 S2nSn1ln2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -