2022年《高等数学》应用实例 .pdf

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1、蚂蚁文库 高等数学应用18 例一、椅子能在不平的地面上放稳吗？二、磁盘的最大存储量三、有趣的Fibonacci 数列四、分形几何中的Koch 雪花五、工人上班何时效率最高？六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明e是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案一、椅子能在不平的地面上放稳吗？要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设：（1）椅子的四条腿长度相等，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线是一个正方形；（2）地面是一个连续曲面，没有象台阶那样

2、的情况；（3）地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D 能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图） ，再以原点为中心旋转椅子，用 表示旋转的角度，并引入函数f()表示 A、C 两腿与地面的距离之和，函数g() 表示 B、 D 两腿与地面的距离之和,且不妨假设f()、g()都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何，有 f()g()=0。于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在0，使 f(0)=g(0)=0？回答是肯定的，下面是其证明。不妨假设开始时f(0)0,g(0)=0 ，现将椅子旋转900(/2)

3、，对角线AC 与 BD 互换，由f(0)0,g(0)=0 可知 f(/2)=0,g(/2)0。令 h()= f()-g()，则 h(0)0，而 h(/2)0，根据连续函数的介值定理知，必存在0(00/2) ，使f(0)-g(0)=0。最后，因为f(0)g(0)=0，所以 f(0)=g(0)=0。这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。思考：若椅子的四脚的连线是一个长方形，如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

4、- - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 二、磁盘的最大存储量计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区，磁道指不同半径构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单位，存储一位，称为bit。为了保障分辨率，磁道的宽度必须大于t，每 bit 所占用的磁道长度不小于b，为了检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的 bit 数。现有一张半径为R 的磁盘，存储区是半径介于r 和 R 之间的环形区域，试确定 r，使磁盘具有最大的存储量。解：由题知，存储量=磁道数

5、每磁道的bit 数，另磁道数最多可达trR，由于每磁道具有相同的bit 数，所以为获得最大的存储量，最内的一条磁道必须装满，即每条磁道上的 bit 数可达到br2。于是，总存储量)(22)(rRrrrRrBbtbt为求 B(r) 的最大值，计算)2(2)( rRrBbt得驻点2Rr故当2Rr时磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为422maxRBbt。三、有趣的Fibonacci 数列有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后也每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且无死亡，试问一年后共有小兔几对

6、？这是意大利数学家Fibonacci 在 1202 年所著 “算法之书” 中的一个题目。 通过简单的推算，我们不难得到每月末的兔子队数为：1、1、2、3、5、 8、13、21、34、55、 89、144、233，即一年末共有兔子233 队。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci 数列，其中的每一项称为 Fibonacci 数。若记,.,8, 5, 3, 2, 1, 1543210FFFFFF, 则此数列满足递推关系：,.)2, 1, 0(12nFFFnnn其通项公式为：)251()251(5111nnnF这最先是由法国数学家Binet（比内）求出的。Fibona

7、cci 数列与自然、社会生活中的许精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 多现象都密切相关，比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、树的分支等都与Fibonacci数列有关。为此，美国还专门出版了一份Fibonacci 数列季刊，以登载它在应用上的新发现及有关理论。思考：有一条n 阶楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问登上去共有几种走法？（答案：nF种）四、分形几何中的Koch 雪花所谓 Koch 雪花，它其实是一种通过递归方式

8、生成的几何图形。设有单位边长的正三角形，如图，则其周长为31P，面积为431A。现将每条边三等分，以每条边中间一段为边向外做正三角形，如图， 则每条边生成的四条新边的长度之和是原来每条边的长度的34倍，同时，生成三个新的三角形，每个的面积为原三角形面积的91，故总周长1234PP，总面积11231AAA，依次进行下去，并注意到（ 1）每一条边生成四条新边，边长变为原来的31； （2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，面积是以生成前的边为正三角形的面积的91，故得到：12233434PPP，1223)91(43AAA13343434PPP，1334)91(443AAA，1113434PPP

9、nnn，,.4,3 ,2941)94(1(31)91(43.)91(43913)91(431111212111121nAAAAAAAAAnnnnnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 于是532lim,limnnnnAP五、工人上班何时效率最高？对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8：00 开设工作，在 t 小时之后，生产出ttttQ129)(23个晶体管收音机，问：在早上几点钟这个工人工作效

10、率最高？解：求这个工人几点钟工作效率最高，就是问早上几点钟这个工人的生产效率取到最大值。那么， 现在首先的问题是生产效率如何表示？根据题目的假设，产量是 Q(t)，故生产率就是产量的变化率，即生产率函数12183)( )(2tttQtR假定上午班是从早上8：00 到中午 12：00，则问题就转化为求函数R(t) 在区间tt0上的最大值，由0186)(ttR得函数的驻点t=3，即在当t=3 时工作效率最高，此时时间是上午11：00。六、石油的消耗量近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07，1970 年初，消耗率大约为每年161 亿桶。设 R(t) 表示从 1970 年

11、起第 t 年的石油消耗率， 则tetR07. 0161)(（亿桶）。试用此式估计从1970 年到 1990 年间石油消耗的总量。解：设 T(t)表示从 1970 年间石油消耗的总量，即求T(20) 。由于 T(t) 是石油消耗的总量，所以)( tT就是石油消耗率R(t) ，即)()( tRtT于是cecedtedttRtTttt07. 007.007. 0230007.0161161)()(因 T(0)=0 ，故 c=-2300 得)1(2 3 0 0)(07.0tetT从 1970 年间石油消耗的总量为：7027)1(2300)20(2007.0eT（亿桶）。七、捕鱼成本的计算在鱼塘中捕鱼时

12、，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。假设当鱼塘中有x 公斤鱼时， 每公斤的捕捞成本是x102000元，已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问从鱼塘中捕捞6000 公斤鱼需花费多少成本？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 解：根据题意，当塘中鱼量为x 时，捕捞成本函数为)0(102000)(xxxc假设塘中现有鱼量为A，需要捕捞的鱼量为T。当我们已经捕捞了x 公斤鱼之后

13、，塘中的鱼量为 A-x ，此时再捕捞x公斤鱼所需要的成本为xxAxxACC)(102000)(因此，捕捞T 公斤鱼所需成本为)(1010ln2000)(1020000TAAdxxACT将已知数据A=10000kg, T=6000kg代入，可计算出总捕捞成本为59.1829401010010ln2000C（元）八、飞出火星火星的半径是6860 千米，其表面的重力加速度是3.92 米/秒2，若在火星上发射一枚火箭，试问要用怎样的处速度才能摆脱火星的引力？解：设火星的半径为R，质量为M，火箭的质量为m，根据万有引力定律，当火箭离开火星表面距离为x 时，它所受的引力为2)(xRkMmf当 x=0 时，

14、 f=mg ，因而gRkM2所以22)(xRgmRf当火箭上升距离为dx 时，它克服火星引力所做的功为dxxRgmRfdxdW22)(这就是功的“元素” ，故当火箭从火星表面x=0 处达到高度x=h 时它克服火星引力所做的总功为：)11()(2022hRRgmRdxxRgmRWh当h时，RgmW，所以初速度0v必须使动能Rgmmv2021，火箭才能脱离火星引力。由此得gRv20，而 g=392cm/s2, R=3430 105cm 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 -

15、- - - - - - - - - 蚂蚁文库 故)/(1 8 6.5103430392250skmv注：众所周知，脱离地球引力所需要的速度为11.2km/s，由此看来，如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游应当比从地球上飞去容易得多。九、萃取问题现有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶剂分3 次萃取来回收醋酸，问：如何分配苯量， 才能使从水溶液中萃取出的醋酸最多？解：设苯的总体积为V，水溶液的体积为a，溶液中醋酸的初始浓度为0 x，并且我们假定每次萃取时都遵守下列定律：iikxy（i=1,2,3 ）（1）式中k为常数，iixy ,分别表示第i 次萃取时苯中的醋酸浓度和水溶液中的醋

16、酸浓度。现将苯的总体积V分成321,VVV三份。对第一次萃取做醋酸的平衡计算，即：醋酸总量=苯中的醋酸量+水溶液中的醋酸量，由醋酸的物料平衡计算，得：1110axyVax（2）将（ 1）代入（ 2）有：kVaaxx101（3）同理，对第二、三次萃取分别有：kVaaxx212（4）kVaaxx323（5）由（ 3） （4） （5）式得：)()(321033kVakVakVaxax（6）为了在苯一定量时萃取出的醋酸量最多，3x应为极小值，则只须考虑（6）分母的极大值，为此， 设)()(),(321321kVakVakVaVVVf，问题转化为求),(321VVVf在条件VVVV321下的极值问题。由

17、 Lagrange 乘数法，设：)()()(),(321321321VVVVkVakVakVaVVVF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 由00)(0)(0)(321213132321VVVVFkVakVakFkVakVakFkVakVakFVVV解得：3321VVVV不难验证，这时f取得最大值，从而3x取得最小值。也不难看出，这个结果是一般性的， 即为了使萃取出的物质最多，无论将溶剂分成多少份，每次都应该采用等量的溶剂。

18、十、最优化的产出水平假设某厂生产两种产品，在生产过程中，两种产品的产量21,xx是不相关的，但两种产品在生产技术上是相关的，这样，总成本C为产量21, xx的函数：),(21xxCC，且两种产 品 的 边 际 成 本 （ 总 成 本 的 偏 导 ） 也 是21, xx的 函 数 ：),(21111xxCxCC，),(21222xxCxCC，经济学中一般总认为产出和销售是一致的，从而总收益R也是21,xx的函数：),(21xxRR。现在的问题是如何确定每种产品的产量，以使厂家获得最大的利润？厂家的利润函数),(),(2121xxCxxRCRL，由极值的必要条件有：002222211111CRxC

19、xRxLCRxCxRxL2211,CRCR这里，21,RR称为边际收益（总收益的偏导）。上式说明：厂家要获得最大利润，每种产品的产出水平应使得其边际收益等于边际成本。如：一工厂生产两种产品，其总成本函数52222121xxxxC，两种产品的需求函数分别为1126px，224110px，其中21, pp分别为两种产品的价格。为使工厂获得最大利润，试确定两种产品的产出水平。解：工厂的总收益函数222121221144026xxxxxpxpR，由2211xCxRxCxR有：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

20、- -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 2122112284022226xxxxxx，解之得：3, 521xx。故当两种产品的产量分别为5 和 3 时，工厂获利最大；最大利润120CRL。十一、蚂蚁逃跑问题一长方形的金属板，假定其四个顶点的坐标分别为（1，1） ， （5，1） ， （1，3） ， （5，3） ，在（0，0）处置一火焰，其使金属板受热，且假定板上任意点处的温度与该点到原点的距离成反比。现在（ 3，2）处有一蚂蚁，问这只蚂蚁沿何方向爬行才能最快到达较凉快的地方？解：板上任意点),(yx处的温度22),(yxkyxT，其中k是一个比例常数，温

21、度变化最快的方向实际就是梯度所指的方向，计算可得：jyxkyiyxkxgradT23222322)()(，jkikgradT2323132133)2 ,3(，其单位向量ji132133所指方向就是由热变冷最快的方向（其反方向是由冷变热最快） 。蚂蚁虽然不懂梯度，但根据它的感觉细胞的反馈信息，它将沿这个方向逃跑。注：借助微分方程的知识，我们还可求出蚂蚁的逃跑路线。十二、资金配置问题设某制造商的Cobb-Douglas 生产函数4143100),(yxyxf，其中yx,分别表示劳动力和资本，),(yxf表示产量；若劳动力和资本的单位成本分别为150 元和 250 元，现该制造商的总预算为5 万元，

22、问他要如何分配这笔钱来购买劳动力和资本，以使生产量最高？解：这实际是个求函数4143100),(yxyxf在条件50000250150yx下的最值问题；设)25015050000(100),(4143yxyxyxF，由02501505000002502501507543434141yxFyxyFyxxF有50,250 yx，即该制造商应该雇佣250 个劳动力而把其余资金作为资本投入可获得最大产量。十三、家庭教育基金问题从 1994 年开始，我国逐步实行大学收费制度，各银行也相应地开展了家庭教育基金储精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

23、- - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 蓄。一个小孩从出生开始，其父母每年向银行存入x元作为教育基金，若银行的年复利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式。假设小孩到18 岁进入大学时所需费用为3 万元，按年利率10%计算，问其父母每年需向银行存入多少元？解：设n年后教育基金总额为na，每年向银行存入x元，年复利率为r，则有递推关系：nkarxaxakk, 2, 1,)1(,10，即：)1)(211raaaakkkk=232)1)(raakk=101)1)(kraa代入10,aa有：1kkaakrx)1(，nk,2

24、,1，对nk,2, 1求和有：rrxrxaannkkn1)1 ()1(110现1 .0,18,3000018rna，代入有40.5861)1 (1nnrrax（元） 即父母每年至少应向银行存入586.40 元才能保证小孩在18 岁时有 3 万元的大学费用十四、分针与时针重合问题在下午 1 点到 2 点之间的什么时间，时钟的分针和时针恰好重合？解：从下午1 点开始，当分针走到1 时，时针走到1211；当分针走到1211时，时针又向前走到;1211211211；依此类推， 分针要追上时针需时：32121121121这是一个等比级数，其和为1111211121S（小时）5 分 27 秒 27即分针与

25、时针重合的时间为下午1 点过 5 分 27 秒 27十五、证明e是无理数解：利用反证法，假设khe，其中h、k为整数，借助xe的 Maclaurin 级数，令1x，我们有：)!2(1)!1(1!1! 21! 111kkke将上式两边乘!k，改写成下列形式：)2)(1(111)!1!21! 111( !kkkkhkk注意到上式的右边是正的，而左边是整数，故左边是正整数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 但：右边)2)(1(1

26、11kkk=)3)(2(121111kkkk2)1(111111kkk=)11(1111kk=k11不是正整数从而证明e只能是无理数十六、湖泊的污染问题某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V，流入湖泊内不含有A的水量为6V，留出湖泊的水量为3V，已知 1999 年底湖中A 的含量为05m，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000 年年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过Vm0，问至少需要经过多少年，湖泊中污染A 的含量降至0m以内？（注：设湖水中A 的浓度是均匀的）分析：本题实为建立湖中污染物含量m与时间t之间的函数关系。但无法直接得到，而需通过微分方程来求的，那么

27、，应寻找污染物的改变量dm与时间dt间隔之间的关系，从而建立微分方程。解：设从 2000 年初（令此时0t）开始，第t年湖中污染物A 的总含量为m，浓度为Vm，在在时间间隔,dttt内，排入湖中A 的量为dtmdtVVm6600，流出湖泊的水中 A 的量为dtmdtVVm33，因而在此时间间隔内湖中污染物A 的改变量为dtmmdm)36(0此为可分离变量的一阶微分方程，分离变量dtmmdm6120解的2031mCem。代入初始条件005mmt，得029mC于是)19(2310emm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

28、 - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 令0mm得3ln6t即至多需要经过3ln6t年，湖泊中污染物A 的含量降至0m以内。十七、减肥问题减肥的问题实际上是减少体重的问题，假定某人每天的饮食可以产生AJ 热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为BJ，用于锻炼所消耗的热量为CJkgd/，为简单计， 假定增加（或减少）体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为DJkg/，求此人体重随时间的变化规律。解： （1）建立微分方程与定解条件，设t时刻（单位：d（天）的体重为)(tw，根据热量平衡原理，在dt时间内人体热量的改变量=吸收的热量消耗的热量

29、，即dttCwBADdw)(记DCbDBAa,则得方程)(tbwadtdw设开始减肥时刻为0t，体重为0w，于是初值条件为00)(wtwt（2） 解微分方程，由分离变量法解得方程的通解为)()(btbtebaCetw代入初值条件可得特解为)()(0bawebatwbt（3）由上面的结论得如下结论：01由于,)(limbatwt因此，随着时间的增加体重将逐渐趋于常数ba，又CBAba，因此，只要节食，加强锻炼，调节新陈代谢，使体重达到你要所希望的体重是可能的。02若0a，即BA，则bteww0，这就是说，如果吃的越少。摄取的热量仅够维持新陈代谢的需要，因此,0)(limtwt时间长了。就有生命危

30、险！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 03若0b，即0C，则方程变为adtdw，解得0watw。因此,)(limtwt这个表明，如果只吃饭，不活动，不锻炼身体就会越来越胖，也是非常危险的！十八、冷却定律和破案按照 Newton 冷却定律，温度为T的物体在温度为)( ,00TTT的环境中冷却的速度和温度差成正比，你能用该定律确定张某是下面案子中的嫌疑犯吗？某公安局于晚上7 时 30分发现一具女尸体，当天晚上8 时 20

31、分法医测得尸体温度为C06.32，一小时后，试题被抬走的时候又测得尸体的温度为C04.31，假定室温在几个小时内均为C01.21，由案情分析得知张某为此案的主要嫌疑犯，但张某矢口否认，并有证人说：“下午张某一直在办公室，下午 5 时打了一个电话后才离开办公室”。从办公室到凶案现场步行需要5min,问张某是否能被排除在嫌疑犯之外？解： （1）建立微分方程与定解条件，设t时刻（单位：d（小时）的温度为)(tT，根冷却定律，dtTtTkdT)(0则得方程)(0TtTkdtdT设开始时刻为0t， （也就是第二次测量温度的时间）温度为C04 .31，于是初值条件为4.31)(0ttT（1）1t， （也就

32、是第一次测量温度的时间）温度为C06 .32，于是初值条件为6.32)(1ttT（2）（2） 解微分方程，由分离变量法解得方程的通解为cttTkk)1.21)(ln1（3）代入初值条件（1） 、 （2）可得：3.10ln5.11lnk（4）因为人体正常温度为36.5，假如女尸体在t 时刻时候死的。 则此时该受害者的体温应为36.5。即5.36)(tttT（5）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 代入方程（ 3）则有：ct

33、kk)1 .215 .36(ln1（6）则有（ 3） （4）（5）三个方程可以解出9 .3t即就是三小时零54 分钟。也就是在5 时 26 分左右死者受害的。所以张某不能排除在嫌疑犯之外。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -