2022年上海市上海中学高三数学专题复习拓展补充第四课空间平面与平面的位置关系 .pdf

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1、第四课空间平面与平面的位置关系【拓展补充 : 五法求二面角 】一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角SAM B中半平面ABM 上的一已知点（ B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F） ；在另一半平面ASM 内过该垂足（ F）作棱 AM 的垂线（如 GF） ，这两条垂线（ BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与

2、余弦定理解题。【例1】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点 M 在侧棱上，=60（I）证明： M 在侧棱的中点（II）求二面角的大小。SABCDABCDSDABCD2AD2DCSDSCABMSCSAMB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【练习 1】如图，已知四棱锥P-ABCD，底面 ABCD 为菱形， PA平面 ABCD ，60ABC,E，F分别是 BC, PC 的中点 .（）证明： AE PD; （）若 H 为 PD 上的动点，

3、 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角EAF C 的余弦值 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC -C 中半平面BFC 上的一已知点 B 作另一半平面FC1C 的垂线，得垂足O；再过该

4、垂足O 作棱 FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线 BO、射影 OP） 。再解直角三角形求二面角的度数。【例 2】 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD ，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F 分别是棱 AD 、AA 、AB 的中点。（1）证明：直线EE/平面 FCC；（2）求二面角B-FC-C 的余弦值。1E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

5、 - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【练习 2】如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形已知60,22,2,2, 3PABPDPAADAB（）证明AD平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角ABDP的大小精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称

6、为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决【例 3】 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为1 的菱形， BCD60 ，E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面PBE平面 PAB;（）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的平面PAD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略ABCEDP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

7、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【练习 3】已知斜三棱柱ABC A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1底面 ABC 。（1）求证： AC1BC；（2）求平面 AB1C1与平面ABC 所成的二面角（锐角）的大小。ACBB1C1A1L精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 四、射影面积法（cossSq=射影）

8、凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。【例 4】 如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACBo，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；ACBP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【练习 4】 如图 5， E 为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1

9、所成锐角的余弦值.A1D1B1C1EDBCA图 5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 五、向量法向量法 解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。【例 5】 （2017 年七宝中学）如图，在五面体ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，A

10、BAD ，M 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE=AD(I) 求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【练习 5】如图，在直三棱柱111ABCA B C中，平面ABC侧面11A ABB.（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面1A BC所成的角为,二面角1ABCA的大小为， 试判断与的大小关系，并予以证明.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -