2022年北师大版数学归纳法名师精编单元测试2 .pdf

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1、名校名师推荐1 一、基础达标1用数学归纳法证明等式123 (n3)n3 n42(nN )，验证n1 时，左边应取的项是() A1 B12 C123 D1234 答案D 解析等式左边的数是从1 加到 n3. 当 n1 时，n34，故此时左边的数为从1 加到 4. 2用数学归纳法证明“ 2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取() A2 B3 C5 D6 答案C 解析当 n 取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立，当 n5 时，253252126，第一个能使 2nn21 的 n 值为 5，故选 C. 3用数学归纳法证明不等式1121412n112764(

2、nN )成立，其初始值至少应取() A7 B8 C9 D10 答案B 解析左边 1121412n1112n112212n1，代入验证可知n 的最小值是 8. 4 用数学归纳法证明不等式1n11n212n1124(nN )的过程中，由 n 递推到 n 1 时，下列说法正确的是() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐2 A增加了一项12 k1B增加了两项12k1和12 k1C增加了 B 中的两项，但又减少了一项1k1D增加了

3、 A 中的一项，但又减少了一项1k1答案C 解析当 n 时，不等式左边为1k11k212k，当 n 1 时，不等式左边为1k21k312k12k112k2，故选 C. 5用数学归纳法证明“ n3(n1)3(n2)3(nN )能被 9 整除”，要利用归纳假设证 n 1 时的情况，只需展开答案( 3)3解析假设当 n 时， 原式能被 9整除， 即3( 1)3( 2)3能被 9整除 当n 1 时，( 1)3( 2)3( 3)3为了能用上面的归纳假设，只需将( 3)3展开，让其出现3即可6已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a11，Snn2an(nN )依次计算出 S1，S2，S3，S4后，可

4、猜想 Sn的表达式为答案Sn2nn1解析S11，S243，S33264，S485，猜想 Sn2nn1. 7已知正数数列 an( nN )中，前 n 项和为 Sn，且 2Snan1an，用数学归纳法证明： annn1. 证明(1)当 n1 时a1S112a11a1，a211(an0)，a11，又101，n1 时，结论成立(2)假设 n ( N )时，结论成立，即a kk1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐3 当 n 1

5、 时，a1S1S12ak11ak112ak1ak12ak11ak112kk11kk112ak11ak1ka2k12 ka110，解得 a1k1k(an0)，n 1时，结论成立由(1)(2)可知，对 nN 都有 an nn1. 二、能力提升8( 3， N )棱柱有 f( )个对角面，则( 1)棱柱的对角面个数f( 1)为() Af( ) 1 Bf( ) 1 Cf( )Df( ) 2 答案A 解析三棱柱有 0 个对角面，四棱柱有2 个对角面 020(31)；五棱柱有 5 个对角面 232(41)；六棱柱有9 个对角面 545(51)；.猜想：若棱柱有 f( )个对角面，则 ( 1)棱柱有 f( )

6、 1 个对角面9对于不等式n2nn1(nN )，某 学生的证明过程如下：当n1 时，12111，不等式成立假设n (nN )时，不等式成立，即k2k 1，则 n 1 时，k12 k1 k23k2121n2.假设n 时，不等式成立则当 n 1 时，应推证的目标不等式是答案1221321k21k121k22 121k3解析观察不等式中的分母变化知，1221321k21k121k22121k3. 11求证：1n11n213n56(n2，nN )证明(1)当 n2 时，左边1314151656，不等式成立(2)假设当 n ( 2， N )时命题成立，即1k11k213k56. 则当 n 1 时，1k1

7、 11k1 213k13k113k213 k11k11k213k13k113k213k31k15613k113k213k31k156313k31k156，所以当 n 1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN 均成立12已知数列 an 中，a123，其前 n 项和 Sn满足 anSn1Sn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解当 n2 时，anSnSn1Sn1Sn2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 -

8、 - - - - - - - - - 名校名师推荐5 Sn1Sn12(n2)则有： S1a123，S21S1234，S31S2245，S41S3256，由此猜想： Snn1n2(nN )用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，S123a1，猜想成立(2)假设 n ( N )猜想成立，即 S k1k2成立，那么 n 1 时，S11Sk21k1k22k2k3k1 1k1 2. 即 n 1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立三、探究与创新13已知递增等差数列 an满足： a11，且 a1，a2，a4成等比数列(1)求数列 an 的通项公式 an；(2)若不等式 112a1 1

9、12a2 112anm2an1对任意 nN ， 试猜想出实数 m的最小值，并证明解(1)设数列 an 公差为 d(d0)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐6 由题意可知 a1 a4a22，即 1(13d)(1d)2，解得 d1 或 d0(舍去)所以， an1(n1) 1n. (2)不等式等价于123456 2n12nm2n1，当 n1 时，m32；当 n2 时，m3 58；而323 58，所以猜想， m 的最小值为32

10、. 下面证不等式123456 2n12n322n1对任意 nN 恒成立下面用数学归纳法证明：证明(1)当 n1 时，1232312，成立(2)假设当 n 时，不等式，123456 2k12k322k1成立，当 n 1 时，123456 2k12k2k12k2322k12k12k2，只要证322k12k12k2322k3，只要证2k12k212k3，只要证2k1 2k32 2，只要证 428 3428 4，只要证 34，显然成立所以，对任意 nN ，不等式123456 2n12n322n1恒成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -