2022年北师大版数学归纳法名师精编单元测试4 .pdf

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1、名校名师推荐1 一、基础达标1某个命题与正整数有关，如果当n ( N )时，该命题成立，那么可推得n 1 时，该命题也成立现在已知当n5 时，该命题成立，那么可推导出() A当 n6 时命题不成立B当 n6 时命题成立C当 n4 时命题不成立D当 n4 时命题成立答案B 2一个与正整数n 有关的命题，当n2 时命题成立，且由n 时命题成立可以推得 n 2 时命题也成立，则() A该命题对于 n2 的自然数 n 都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与取值无关D以上答案都不对答案B 解析由 n 时命题成立可以推出n 2时命题也成立 且 n2，故对所有的正偶数都成立3在应用数学归纳法

2、证明凸n 边形的对角线为12n(n3)条时，第一步验证n 等于() A1 B2 C3 D0 答案C 解析因为是证凸 n 边形，所以应先验证三角形，故选C. 4若 f(n)1121312n1(nN )，则 n1 时 f(n)是() A1 B.13精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐2 C11213D以上答案均不正确答案C 5用数学归纳法证明1222 2n12n1(nN )的过程中，第二步假设当 n ( N )时等式成立，则当

3、n 1 时应得到答案1222 212 211 解析由 n 到 n 1 等式的左边增加了一项6已知 f(n)1n11n213n1(nN )，则 f( 1). 答案f( )13k13k113k21k17用数学归纳法证明113114115 11n22n2(nN )证明(1)当 n1 时，左边 11323，右边21223，等式成立(2)假设当 n ( 1， N )时等式成立，即11311411511k22k2，当 n 1 时，113114115 11k211k32k211k32 k2k2 k32k32k1 2，所以当 n 1 时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意 nN 等式都成立二、能力提升8 用

4、数学归纳法证明等式 (n1)(n2)(nn)2n 1 3 (2n1)(nN )， 从 到1 左端需要增乘的代数式为() A2 1 B2(2 1) C.2k1k1D.2k3k1答案B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐3 解析n 1 时，左端为 ( 2)( 3)( 1)( 1) ( 1) (2 2)( 1)( 2)( ) (2 1) 2，应增乘 2(2 1)9已知 f(n)1n1n11n21n2，则() Af(n)中共有

5、n 项，当 n2 时，f(2)1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)121314答案D 解析观察分母的首项为n，最后一项为 n2，公差为 1，项数为 n2n1. 10以下用数学归纳法证明“24 2nn2n(nN )”的过程中的错误为答案缺少步骤 (1)，没有递推的基础证明假设当 n ( N )时等式成立，即 242 2 ，那么 242 2( 1)2 2( 1)( 1)2( 1)，即当 n 1 时等式也成立因此对于任何nN 等式都成立11用数学归纳法证

6、明：12223242 (1)n1 n2(1)n1n n12. 证明(1)当 n1 时，左边 1，右边 (1)111221，结论成立(2)假设当 n 时，结论成立即 12223242(1)1 2(1)1k k12，那么当 n 1 时，12223242(1)1 2(1)( 1)2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐4 (1)1k k12(1) ( 1)2(1) ( 1)k2k22(1) k1 k22(1)11k1 k1 12.

7、 即 n 1 时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立12已知数列 an的第一项 a15 且 Sn1an(n2，nN )，Sn为数列 an的前 n项和(1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an的表达式；(2)用数学归纳法证明 an 的通项公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想 an5n152n2，n2，nN*. (2)证明当 n2 时，a252225，公式成立假设 n ( 2， N )时成立，即 a 522，当 n 1 时，由已知条件和假设有a1S a1a2a3a5510522. 55 12k11252152(1)2.

8、故 n 1 时公式也成立由可知，对 n2，nN ，有 an52n2. 所以数列 an 的通项公式为an5n152n2n2，nN*. 三、探究与创新13已知数列 an 的前 n 项和 Sn1nan(nN )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名校名师推荐5 (1)计算 a1，a2，a3，a4；(2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论解(1)计算得 a112；a216；a3112；a4120. (2)猜想 an1n n1.下面

9、用数学归纳法证明：当 n1 时，猜想显然成立假设 n ( N )时，猜想成立，即a 1k k1. 那么，当 n 1 时，S11( 1)a1，即 S a11( 1)a1. 又 S 1 a kk1，所以kk1a11( 1)a1，从而 a11k1 k21k1 k1 1. 即 n 1 时，猜想也成立故由和可知，猜想成立. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -