2022年千题百炼高中数学100个热点问题第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题 .pdf

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1、第 83 炼 特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设011222nnnnrnrrnnnnnnnabC aC abC abC abC b，令1ab，可得：012nnnnnCCC令1,1ab，可得：012301nnnnnnnCCCCC，即：02131nnnnnnnnCCCCCC（假设n为偶数），再结合可得：0213112nnnnnnnnnCCCCCC（2）

2、设201221nnnfxxaa xa xa x 令1x，则有：0122111nnaaaaf，即展开式系数和 令0 x，则有：02010naf，即常数项 令1x，设n为偶数，则有：01231211nnaaaaaf021311nnaaaaaaf，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由即可求出02naaa和131naaa的值二、典型例题：例 1：已知828012831xaa xa xa x，则1357aaaa的值为 _ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x指数幂为奇数，所以考虑令1,1xx，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357aaaa的值解：令1x可得：80182aaa精品资料 - - -

3、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 令1x可得：801284aaaa可得：881357242 aaaa8813571242aaaa答案：881242例2 ：已知921120121112111xxaaxaxax，则121aaa的值为（）A. 0B. 2C. 255D. 2思路： 本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x，得到01110aaa，只需再求出0a即可。令1x可得02a，所以12112aaa答案：

4、 B 例 3：设42340123422xaa xa xa xa x，则2202413aaaaa的值为（）A. 16B. 16C. 1D. 1思路：所求22024130123401234aaaaaaaaaaaaaaa，在 恒 等 式 中 令1x可 得 ：40123422aaaaa， 令1x时40123422aaaaa，所以442202413222216aaaaa答案： A 例4：若5234501234523xaa xa xa xa xa x，则012345aaaaaa等于（）A. 55B. 1C. 52D. 52思路： 虽然523x展开式的系数有正有负，但523x与523x对应系数的绝对值相同，

5、且523x均为正数。所以只需计算523x展开的系数和即可。令1x，可得系精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 数和为55，所以50123455aaaaaa答案： A例5：若2014201401201412xaa xax，则010202014aaaaaa_思路： 所求表达式可变形为：00120142013aaaa，从而只需求出0a和系数和即可 。 令0 x可 得 ：01a， 令1x可 得 ：0120141aaa， 所 以001201420

6、132014aaaa答案： 2014例6 ： 若2622020nnCCnN， 且20122nnnxaa xa xa x， 则0121nnaaaa等于（）A. 81B. 27C. 243D. 729思路：由2622020nnCC可得262nn或26220nn，解得4n，所求表达式只需令1x，可得44012412181aaaa答案： A 例7：若201322013012201321xaa xa xaxxR，则23201323201311112222aaaaaa（）A. 12013B. 12013C. 14026D. 14026思路：所求表达式中的项呈现2 的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令1

7、2x， 可得：22013012201310222aaaa，令0 x可得：01a，所以220131220131222aaa，所以所求表达式变形为：111111122aaa，而2012112013214026a xCxx，所以14026a，从而表达式的值为14026答案： D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 例8：已知201111nnnxxxaa xa x，若12129naaan，则n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6思路：在

8、恒等式中令1x可得系数和2012 2122221nnnaaa，与条件联系可考虑先求出0,na a，令0 x，可得0an，展开式中na为最高次项系数，所以1na，1121221nnaaan， 所 以12212 9nnn， 即123 2n，解得4n答案： B 例9：若5234501234523xaa xa xa xa xa x，则01232345aaaaaa的值是（）A. 10B. 20C. 233D. 233思路：观察所求式子中ia项的系数刚好与二项展开式中ia所在项的次数一致，可联想到幂函数求导：1nnxnx，从而设523fxx，恒等式两边求导再令1x可解得123452345aaaaa的值，再

9、在原恒等式中令0 x计算出0a即可解：设5234501234523fxxaa xa xa xa xa x4234123455 2322345fxxaa xa xa xa x令1x可得：12345102345aaaaa而在5234501234523xaa xa xa xa xa x中，令0 x可得：503243a0123452345233aaaaaa答案： D 例 10：若等式201422014012201421xaa xa xax对于一切实数x都成立，则0122014111232015aaaa（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

10、 - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - A. 14030B. 12015C. 22015D. 0思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积分。例如：22311122111,231nnnna xa xa xa xa xa xn，再利用赋值法令1x即可得到所求表达式的值解：201422014012201421xaa xa xax，两边同取不定积分可得：201523201501220141111214030232015xCa xa xa xax令1x可得：012201411114030232015Caa

11、aa令0 x可得：11040304030CC012201411112320152015aaaa答案： B 小 炼 有 话 说 ：（1）本题可与例9 作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。（2）在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找201421yx的原函数，要注意其原函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数 “C” ，再利用赋值法求出C的值即可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -