2022年初二数学上学期知识点和典型例题总结2 .pdf

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1、全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图， ABD ACE ，AB =AC ，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨 : AB=AC ，AB和 AC是对应边， A是公共角， A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析： AB和 AC是对应边， AD和 AE 、BD和 CE是对应边， A和A是对应角， B和C ，AEC和ADB是对应角 . 总结升华： 已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式 1】如图，

2、 ABC DBE . 问线段 AE和 CD相等吗？为什么？【答案】证明：由 ABC DBE ，得 AB=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD 。【变式 2】如右图，。求证： AE CF 【答案】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - AE CF 2、如图，已知 ABC DEF ，A=30， B=50 ，BF=2 ，求 DFE的度数与 EC的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知：DFE= ACB ，EC+CF=BF

3、+FC，所以只需求 ACB的度数与 BF的长即可。解析： 在ABC 中，ACB=180 - A-B，又A=30 ， B=50，所以 ACB=100 . 又因为 ABC DEF ，所以 ACB= DFE ，BC=EF （全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以 DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华： 全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示， ACD ECD ，CEF BEF ，ACB=90 . 求证：（ 1）CD AB ；（2）EF AC. 【答案】(1）因为 ACD ECD ，所以 ADC= EDC （全等三角形的对应角相等） . 因为

4、ADC+ EDC=180 ，所以ADC= EDC=90 . 所以 CD AB. (2）因为 CEF BEF, 所以 CFE= BFE （全等三角形的对应角相等） . 因为 CFE+ BFE=180 ，所以 CFE= BFE=90 . 因为 ACB=90 , 所以 ACB= BFE. 所以 EFAC. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 类型二：全等三角形的证明3、如图， AC BD ，DF CE ，ECB FDA ，求证： ADF

5、BCE 思路点拨 :欲证ADF BCE ，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC BD而得解析： AC BD(已知) AB-BD AB-AC(等式性质 ) 即 ADBC 在ADF与BCE中ADF BCE(SAS) 总结升华： 利用全等三角形证明线段 ( 角) 相等的一般方法和步骤如下：(1) 找到以待证角 (线段) 为内角 (边)的两个三角形，(2) 证明这两个三角形全等；(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角( 线段) 相等举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC ，AB DC ，求证： AD BC 【答案】 AB CD 34 在ABD 和CDB 中A

6、BD CDB(SAS) 12(全等三角形对应角相等 ) AD BC(内错角相等两直线平行 ) 【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FC AD于 C ，且 EB FC ，AB CD 求证 AFDE 【答案】 EB AD(已知) EBD 90(垂直定义 ) 同理可证 FCA 90EBD FCA AB CD ，BC BC AC AB+BC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - BC+CD BD 在ACF和DBE中ACF DBE(S A

7、S) AF DE(全等三角形对应边相等 ) 类型三：综合应用4、如图， AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD. 思路点拨 :要证 AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD ，即倍长中线。解析： 延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE 因为 AD为ABC 的中线，所以 BD=CD. 在ACD 和EBD中，所以 ACD EBD(SAS). 所以 BE=CA. 在ABE中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD. 总结升华： 通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三

8、：【变式 1】已知：如图，在RtABC中，AB=AC, BAC=90 , 1=2，CEBD的延长线于 E，求证： BD=2CE. 【答案】分别延长CE 、BA交于 F. 因为 BE CF,所以 BEF= BEC=90 . 在BEF和BEC中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 所以 BEF BEC(ASA). 所以 CE=FE= CF. 又因为 BAC=90 ,BECF. 所以 BAC= CAF=90 ， 1+BDA=90 ， 1+

9、BFC=90 . 所以 BDA= BFC. 在ABD 和ACF中，所以 ABD ACF(AAS) 所以 BD=CF. 所以 BD=2CE. 5、如图， AB CD ，BE DF ，BD，求证： (1)AECF ，(2)AECF ，(3) AFE CEF 思路点拨 : (1) 直接通过 ABE CDF而得， (2) 先证明 AEB CFD ，(3)由(1)(2) 可证明 AEF CFE而得，总之，欲证两边 (角)相等，找这两边 (角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1) 在ABE与CDF中ABE CDF(SAS) AE CF(全等三角形对应边相等 ) (2) AEB CFD( 全等三角形

10、对应角相等 ) AE CF(内错角相等，两直线平行) (3) 在AEF与CFE中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - AEF CFE(SAS) AFE CEF(全等三角形对应角相等 ) 总结升华： 在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图，在 ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF BD ，延长 AB边上的中线 CE到 G ，使 EG CE ，求证 AFAG

11、【答案】在 AGE 与BCE中AGE BCE(SAS) AG BC(全等三角形对应边相等 ) 在AFD与CBD 中AFD CBD(SAS) AF CB(全等三角形对应边相等 ) AF AG(等量代换 ) 6、如图 ABAC ，BD AC于 D，CE AB于 E，BD 、CE相交于 F求证： AF平分 BAC 思路点拨 :若能证得得 AD=AE ，由于 ADB 、AEC都是直角，可证得RtADF RtAEF ，而要证 AD=AE ，就应先考虑 RtABD 与 RtAEC ，由题意已知AB=AC ，BAC 是公共角，可证得RtABD RtACE 解析： 在 RtABD与 RtACE中精品资料 -

12、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - RtABD RtACE(AAS) AD=AE( 全等三角形对应边相等 ) 在 RtADF与 RtAEF中RtADF RtAEF(HL) DAF= EAF(全等三角形对应角相等 ) AF平分 BAC( 角平分线的定义 ) 总结升华： 条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知

13、：如图，在 ABC与ABC中 AB=A B，BC=B C，AD BC于 D，ADBC于 D且 AD=AD求证： ABC ABC 证明： 在 RtABD与 RtABD 中RtABD Rt ABD(HL) B=B( 全等三角形对应角相等 ) 在ABC 与ABC中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - ABC ABC(SAS) 【变式 2】已知，如图， AC 、BD相交于 O ，AC=BD ，CD 90 求证：OC=OD 【答案】 C= D=

14、90 ABD 、ACB为直角三角形在 RtABD和 RtABC中RtABD RtABC(HL) AD=BC 在AOD 和BOC 中AOD BOC(AAS) OD=OC7、ABC 中，AB=AC ，D是底边 BC上任意一点， DE AB ，DF AC ，CG AB垂足分别是 E、F、G. 试判断：猜测线段 DE、DF 、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析： 结论： DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DM CG于 M DE AB ，CG AB ，DM CG 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

15、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 四边形 EDMG 是矩形DE=GM DM/AB MDC= B AB=AC B=FCD MDC= FCD 而 DM CG ，DF AC DMC= CFD 在MDC 和FCD中MDC FCD （AAS ）MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：方法二（补短法）作CM ED交 ED的延长线于 M （证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“ D是底边 BC上任意一点”

16、改为“ D是底边 BC的延长线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 图（2）QCABEFP上任意一点”，此时图形如何？DE 、DF和 CG 会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（ 2）补短法（3）面积法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例 1下列几何图形中，1线段2角3直角三角

17、形4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1 个B2 个C 3 个D4 个2正 n边形有 _条对称轴，圆有 _条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例： 1、如图， RtABC ，C=90 , B=30,BC=8，D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接AP 、DP,则 AP+DP 的最小值是2、已知等边ABC ，E在 BC的延长线上， CF平分 DCE ，P为射线BC上一点， Q为CF上一点，连接AP、PQ.若 AP=PQ ，求证 APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_ 线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是_

18、 角平分线上的点到_相等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - EDCBA典例 1、如图， ABC中， A=90，BD为ABC平分线， DE BC ，E是 BC的中点，求C的度数。2、 如图， ABC中， AB=AC ，PB=PC ，连 AP并延长交 BC于 D，求证： AD垂直平分 BC 3、如图 ,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则EBC 的周长为（）A.16 厘米 B.18厘米 C.26厘

19、米 D.28厘米4、 如图， BAC=30 ， P 是 BAC平分线上一点，PM AC ，PD AC ，PD=28 , 则AM= 5、如图，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分线交 BC 于 D. 过 C点作CG AB于 G ，交 AD于 E. 过 D点作 DF AB于 F.下列结论：MDACPBCED= CDE ；AECSACSAEG AG ；ADF=2ECD ；DFBCEDSS；CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如图， ABC中，AB=AC=8 ，D在 BC上，过 D作 DE AB交 AC于 E，DF AC交 AB于

20、F，则四边形 AFDE的周长为 _ 。2、 如 图 ， ABC 中 ， BD、 CD 分 别 平 分 ABC 与 ACB， EF过D 且 EFBC ，若 AB = 7 ，BC = 8，AC = 6，则 AEF周长为 ( ) BDCAPCEBDAFEDABCF E D C B A G 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - FCDBEAA. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图 , 点 B、D、F 在 AN上,C、E

21、在 AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o, 则FEB=_ 度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_ 5、ABC中， DF 是 AB的垂直平分线，交BC于 D，EG是 AC的垂直平分线，交BC于E，若DAE=20 ，则 BAC等于6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在 ABC中， ACB=90 ，点 D、E 在直线 AB上，且 AD=AC ，BE=BC ，则DCE = 度. 8、如图：在 ABC中，AB=AC ，AD BC ， DEAB于点 E, DFAC于点 F。试说明 D

22、E=DF 。N M F E C D B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 9、如图 ,E 在ABC的 AC边的延长线上， D点在 AB边上， DE交 BC于点 F，DF=EF ，BD=CE. 求证： ABC是等腰三角形 . 考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各 _相等并且每一个角都等于_ 三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60的_三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_ 典例 1、下

23、列推理中，错误的是 ( ) A A B C， ABC是等边三角形 B ABAC ，且 B C， ABC 是等边三角形C A60， B60， ABC 是等边三角形 D AB AC， B60，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中，D是 AC的中点， E为 BC延长线上一点，且CE CD ，DMBC ，垂足为 M 。求证： M是 BE的中点。F E D C B A A B C D E M 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 乙

24、ODCBAFECBA考点七、 30所对的直角边是斜边的一半典例1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁 AB的中点，立柱BC 、DE垂直于横梁 AC ，AB=8m ，A=30，则 DE等于（）A1m B2m C3m D4m 2、如图： ADC中，A = 15 ，D=90 ， B在 AC的垂直平分线上，AB =34，则 CD = ( ) A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为 120，求桌面到地面的距离是多少？4、如图， AB=AC ，DE

25、AB于 E，DF AC于 F，BAC=120o，BC=6 ，则 DE+DF= 5、在ABC中，120ABACA，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E如果1DE，求BC的长实数例 1、（ 1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3）2 0 2 -0.01 2（2） 下列说法对不对？为什么？甲ABDCEDCBAFECBAD第 4 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 4 有一个平方根只有正数有平方根任何数都有平方根若 a 0

26、，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（ 1） （-3）2 和 0 2 有平方根，因为（-3 ）2 和 0 2 是非负数。 - 0.01 2没有平方根，因为 -0.01 2是负数。（2）只有对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。例 2、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例 3、设，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选 B 【变式 1】1）1.25 的算术平方根是 _；平方根是 _.2 ） -27 立方根是 _. 3 ）_，_，_. 【答案】 1）；.2 ）-3. 3 ），【变式 2

27、】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（ 1）（2）x=4 或 x=-2 （3）x=-4 例 4、判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是 -3 ；（2）的平方根是 15. （3）当 x=0 或 2 时，解析：（ 1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数. 故（2）表示 225 的算术平方根，即=15. 实际上，本题是求15 的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0 时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x0，所以当x=2 时， x=0.14169精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

28、 - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -