2022年南京大学和数学分析考研试题及解答 .pdf

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1、南京大学数学分析考研试题一 设( )f x为1R上的周期函数，且lim( )0 xf x，证明f恒为 0。二 设定义在2R上的二元函数( , )f x y关于x，y的偏导数均恒为零，证明f为常值函数。三 设( )nfx(1,2,.)n为nR上的一致连续函数，且lim( )( )nnfxf x，1xR，问：( )f x是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。四 是否存在0,1区间上的数列nx，使得该数列的极限点（即聚点）集为0,1，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。五 设( )f x为0,)上的非负连续函数，且0( )f x dx，问( )f

2、 x是否在0,)上有界? 若答案为“是” ，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。六 计算由函数211( )2fxx和22( )1fxx的图像在平面2R上所围成区域的面积。七 计算积分222(22)xxyyRedxdy。八 计算积分xyzdxdydz，其中为如下区域：3( , , ):0,0,0,x y zRxyzxyza，a为正常数。九 设0na(1,2,.)n，1nnkkSa，证明：级数21nnnaS是收敛的。十方 程2232327xyzx yz在(1, 2,1)附 近 决 定 了 隐 函 数( ,)zz x y， 求2(1,2 )zx y的值。十一求函数333( , , )f x y

3、zxyz在约束条件2xyz，22212xyz下的极值，并判断极值的类型。十二设10,1fC，且(0)(1)0ff，证明：1122001( )( )4f xdxfxdx。十三设( )f x为0,上的连续函数，且对任意正整数1n，均有0( )cos0f xnxdx，证明：f为常值函数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 南京大学数学分析考研试题解答一 证明设( )f x的周期为T，0T，则有()( )f xnTf x，由条件知，( )l

4、im()0nf xf xnT，结论得证。二 证明因为0fx，0fy，fx，fy在2R上连续，对任意2( , )x yR，有( , )(0,0)f x yf(,)(,)ffxyxxyyxy0，所以( ,)(0,0)f x yf，即( ,)f x y为常值函数。三 解( )f x未必为连续函数。反例：( )1nnnxfxx，( )nfx在1R上连续，又lim( )1nxfx，所以( )nfx在(,)上一致连续，0,11lim( )( ),121,1nxxfxf xxx，显然( )f x在(,)上不连续。四解（1）存在。取0,1中的有理数形成的点集nIr，则有0,1I。（2）不存在。假若存在nIx，

5、使得(0,1)I，由于I是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。五 未必有( )fx在0,)上有界，未必有lim( )0 xf x。六 解 显然两曲线的交点横坐标为123x，223x，2223231(1)2Sxxdx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 223032(1)2xdx3212()320 xx31222()2334 69。七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。由2xedx，222(22)xxyyRedxdy2

6、2()xyxdxeedy22()xyxedxedy2xedx。八 解xyzdxdydz000aa xax ydxdyxyzdz十 解22920 xxxz zyz，24920yyz zxz，218920yxxyxyzz zz zz。十一解333222()(2)(12)Lxyzxyzxyz2320Lxxx，2320Lyyy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2320Lzzz，2223()32 ()0 xyzxyz，3 123220，3

7、6340。十二证明00( )(0)( )( )xxf xfft dtft dt，1122200( )( )( )xxfxftdtxftdt，122200( )( )( )xf xxftdtxftdt，于是112222001 1( )( )( )2 2f xdxfxdx，11( )(1)( )( )xxf xfft dtft dt，1111222( )( )(1) ( )xxfxftdtxftdt，1220( )(1)( )f xxftdt，112221021 1( )( )( )2 2fxdxfxdx，故有111122222100021( )( )( )( )4f xdxf xdxf xdxf

8、xdx。十三证明 作函数( )F x，( )F x是周期为2的偶函数，当(0,)x时，( )( )F xf x，则( )F x在(,0)(0,)上连续，在,可积。012( )cos( )cos0naF xnxdxF xnxdx，(1,2,.)n002( )af x dx，1( )sin0nbF xnxdx，01(cossin)( )2nnnaanxbnxF x，001( )(cossin)22NNnnnaaSxanxbnx，( )NSx在2, L中收敛于( )F x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

9、- -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2lim( )( )0NNF xSxdx，20( )02aF xdx，200( )02af xdx，由( )fx在0,上连续，知20( )02af x，即得0( )2af x，( )f x在0,上为常值函数。南京大学数学分析考研试题1 开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。2 若级数1nna收敛，则是否有21nna收敛，是请证明；否请举反例。3 设,0a b，求limnnnnab。4 求2011lim()sinxxxx。5 若函数( )f x在0,1上可导，则( )fx是否一定有界，是请证明

10、；否请举反例。6 函数:fRR连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。7 函数( )f x在0,1上有二阶导数，(0)0f，(1)1f，( )0fx，求证：( )fxx，0,1x。8 函数( ,)f x y是一个2C函数，000(,)zxy，计算020020(, )1lim( , )(,)hB zhhf x y dxdyf xyh。9 计算xdydzydzdxzdxdy，其中是八分之一球面2222( , , ) : , ,0,x y zx y zxyzR，方向朝外。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

11、 - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 10 、已知( )fx是,上有界变差函数，求证：1,()nna bOn，其中,nna b是( )f x的傅里叶系数。南京大学数学分析考研试题解答1 解 尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的，但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于(0,1)中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列123.rrr，12( ,)r r中应没有有理数了，而12( ,)r r中仍有有理数122rr，矛盾。2 解 由级数1nna收敛，未必

12、退出21nna收敛。反例：设1( 1)nnan，显然1nna收敛，但21nna发散。3 解 设max , Ma b则有2nnnnMabM，lim2nnMM，由夹逼定理，知limnnnnabmax , Ma b。4 解2011lim()sinxxxx20sinlimsinxxxxx30sinlimxxxx20cos1lim3xxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 0sinlim6xxx16。5 解 由( )f x在0,1上可导，即(

13、 )fx在0,1上存在，但( )fx未必在0,1上有界。反例：221sin,(0,1( )0,0 xxf xxx，1()2( 1)nfnn，( )fx在0,1上无界。6 证明不妨设0 x是( )f x的唯一的极小值点，则存在0，当00 xx时，有0( )()f xf x，我们要断言，对所有xR，0( )()f xf x。用反证法，假若存在1xR，使得10()()f xf x，不妨设10 xx，由连续函数的介值性，存在01(,)x x，使得0( )()ff x，( )f x在0, x的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以0()f x是最小值，结论得证。7 证明由( )

14、0fx，知( )f x在0,1上是上凸函数，对任意12,0,1x x，01，有1212(1)(1) ()()fxxf xf x，对0,1x，有( )(1) 01)f xfxx(1)(0)(1)x fxfx。8 解0002(, )1( , )(,)B zhf x y dxdyf xyh精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 0002(, )1( , )(,)B zhf x yf xydxdyh200002001(cos ,sin)(,)h

15、drf xryrfxyrdh，200000040(cos ,sin)(,)limhhdrf xryrf xyrdh20000020(cos ,sin)(,)lim4hf xhyhf xydh200cossinlim8hffdxyh2222222001lim(cossin )cos(cossin )sin8hffffdxy xx yy22222200022001lim()cos2()sincos()sin8hfffzzzdxx yy2200221()()8ffzzxy2200221()()8ffzzxy。9 解1( , , )nx y zR，xdydzydzdxzdxdy2221()xyzdSR

16、RdS2148RR32R。10 证明( )f x是,上有界变差函数，所以( )fx在,上可积，1( )sinnaf xnxdx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 111 ( ) co s)() c o sfxn xfxn x d xnn，所以1naMn，对1( )cosnbf xnxdx，同理有1nbMn结论得证。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -