2022年《高等数学》各章知识点总结——第1章知识分享 .pdf

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1、精品文档精品文档第 1 章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列 xn，若存在常数a ，对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N使得对于 n N 时的一切 n 恒有|xna |则 称a 是 数 列 xn 的 极 限或 者 称 数 列 xn 收 敛 于a记 为axnnlim或 xna (n)（2）函数极限的定义设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内 （或当0 xM） 有定义， 如果存在常数A对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在正数（或存在X） 使得当x 满足不等式0|x x0|时 （或当xX时） 恒有|f(x) A|那么常数 A 就叫做函数f(x)当0 xx（或x）

2、时的极限记为Axfxx)(lim0或 f(x)A(当 xx0) （ 或lim( )xf xA）类似的有：如果存在常数A 对0,0,当00:xxxx（00 xxx）时 ，恒有()fxA， 则称A为()fx当0 xx时 的 左极限（或右极限）记 作00lim()(lim( )xxxxfxAfxA或显然有000lim()lim( )lim( )xxxxxxfxAfxfxA如果存在常数A 对0,0,X当()xXxX或时，恒有( )fxA，则称A为()fx当x（或当x）时的极限记作lim( )(lim( )xxf xAf xA或显然有lim( )lim( )lim( )xxxf xAf xfxA2、极限

3、的性质（1）唯一性若axnnlim，limnnxb，则ab若0()lim( )xxxf xA0()lim( )xxxf xB，则AB（2）有界性（i）若axnnlim，则0M使得对,nN恒有nxM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（ii）若0lim( )xxf xA，则0M当0: 0 xxx时，有( )fxM（iii ）若lim( )xf xA，则0,0MX当xX时，有( )fxM（3）局部保号性（i）若axnnli

4、m且0(0)aa或则NN，当nN时，恒有0(0)nnxx或（ii）若0lim( )xxfxA，且0(0)AA或，则0当0: 0 xxx时，有()0( )0)fxfx或3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列,nnnxyz若0,nN当0nn时有nnnyxzlimlimnnnnyza，则limnnxa给定函数(),(), ()fxg xh x，若当00(, )xU xr（或xX）时，有()()()g xfxh x00()()lim( )lim( )xxxxxxg xh xA，则0()lim( )xxxf xA（ii ）单调有界准则给 定 数 列nx， 若 对nN有11()nnnnxxxx或()Mm

5、使 对nN有()nnxMxm或则limnnx存在若()fx在点0 x的左侧邻域 （或右侧邻域） 单调有界， 则0lim()xxfx（或0lim( )xxfx）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim( )xxxf xA，0()lim( )xxxg xB则(i)0()lim ()( )xxxfxg xAB(ii)0()lim ()( )xxxf xg xA B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(iii)0()( )l

6、im( )xxxf xAg xB（0B）（2）设（ i）00( )lim( )xxug xg xu且（ii ）当00(,)xU x时0( )g xu（iii ）0lim( )uuf uA则00lim ( )lim( )xxuuf g xf uA5、两个重要极限（1）0sinlim1xxx()0sin( )lim1( )u xu xu xsinlim0 xxx，1limsin1xxx，01limsin0 xxx（2）1lim1xxex)()(1lim1;()xuuxeu x10lim(1)xxxe()01()lim1();vxxvv xe6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim()0 x

7、xxx， 即 对0,0,当0: 0 xxx（ 或xX）时有( )x，则称当0()( )xxxx或，无穷小量（2）若0()lim( )xxxf x即对0,0(0),MX或当0: 0 xxx（或xX）时有()fxM则称当0()( )xxxfx或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim( )( )( ),lim( )0 xxxxxxf xAf xAxx其中（2）00()()1lim( )0( )0lim( )xxxxxxf xf xf x（）（3）00()()1lim( )lim0( )xxxxxxg xg x（4）0()lim( )0,xxxf

8、 xM且当0: 0 xxx（或xX）时有( )g xM，则0()lim ( )( )xxxf xg x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（5）0()lim( )00,xxxf xM且当0: 0 xxx（或xX）时有( )g xM，则0()lim ( )( )0 xxxf xg x（6）0()lim( )0(1,2, )kxxxfxknL则01()lim( )0,nkxkxxfx01()lim( )0,nkxkxxfx

9、8、无穷小量的比较000()()()lim( )0, lim( )0, lim( )0 xxxxxxxxxf xg xx若（ 1）0()( )lim0,( )xxxf xCg x，则称当0()xxx或时，()fx与( )g x是同阶无穷小。（2）0()( )lim1()xxxf xg x，则称当0()xxx或时，()fx与()g x是等价无穷小，记作()()fxg x:（0()xxx或） 。（3）0()()lim0( )xxxf xg x，则称当0()xxx或时，()fx是()g x是高阶无穷小，记作()( ()fxo g x（0()xxx或） 。（ 4）0M00(,)xU x（或xX） ，有

10、( )( )f xMg x，则记( )( ()fxO g x（0()xxx或）（5）0()( )lim0(0)( )kxxxfxCkx，则称当0()xxx或时，( )fx是()x是 k阶无穷小，9、常用的等价无穷小当0 x时，有（ 1）sin arcsin tan arctan ln(1) 1,xxxxxxxe（2）211cos.2xx（3）1 ln(01),xaxaa（4）(1)1 xx10、函数连续的概念（1）函数连续的定义设()yfx在点0 x及其邻域()Ux内有定义，若（i）0000limlim()()0 xxyf xxf x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

11、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档或（ ii）00lim( )()xxf xfx或（ iii ）0,0,当0:xxx时，有0( )().f xf x则称函数()yfx在点0 x处连续设( )yfx在点00(,xx内有定义， 若00lim()()xxfxfx，则称函数()yfx在点0 x处左连续，设( )yfx在点00,)xx内有定义， 若00lim( )()xxfxfx，则称函数()yfx在点0 x处右连续若函数()yfx在( , )a b内每点都连续，则称函数()yf x在

12、( , )a b内连续若函数()yfx在( , )a b内每点都连续， 且lim( )( )xafxf a，lim( )( )xbf xf b，则称函数( )yfx在 , a b上连续，记作() , fxC a b（2）函数的间断点设( )yfx在点0 x的某去心邻域()oU x内有定义若函数()yfx：（i）在点0 x处没有定义（ii）虽然在0 x有定义但0limxxf(x)不存在(3)虽然在0 x有定义且0limxxf(x)存在但0limxxf(x) f(0 x)则函数 f(x)在点0 x为不连续而点0 x称为函数 f(x)的不连续点或间断点。设点0 x为( )yf x的间断点，（1）00

13、0lim()lim()()xxxxfxfxfx，则称点0 x为( )yfx的可去间断点，若（2）00lim( )lim( )xxxxfxf x，则称点0 x为()yf x的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3）00lim( )lim( )xxxxfxfx或则称点0 x为( )yfx的无穷型间断点，（4）若00lim()lim( )xxxxfxfx或不存在且都不是无穷大，则称点0 x为( )yfx的振荡型精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - -

14、- - - - - - 精品文档精品文档间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算（1）连续函数的四则运算若函数( )fx( )g x在点0 x处连续则0()( )(),( )( ),( ()0)()fxfxg xfxg xg xg x在点0 x处也连续（2）反函数的连续性，若函数()yfx在区间xI上单调增加 （或单调减少） 且连续， 则其反函数1( )xfy在其对应的区间( ),yxIy yf xxI上也单调增加（或单调减少）且连续。（3）复合函数的连续性设函数()yfg x由函数( ),( )yf uug x复合而成，0()fgUxDo，若（ 1）00000li

15、m( )(lim( )()xxxxg xug xg xu或（2）00lim( )()uuf uf u则000lim ( )lim( )()xxxxf g xfg xf u（或0000lim ( )lim( ) ()()xxxxf g xfg xf g xf u）（4）初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5）闭区间上连续函数的性质（ i）有界性若( ) , fxC a b，则( )yfx在 , a b上有界（ii ）最大值、最小值定理，若() , fxC a b，则()yfx在 , a b上一定有最大值和最小值（ iii ）零点性若() , f xC a b，且( )( )0f

16、 a f b则至少存在一点( , )a b使得( )0f（iv）介值性若() , fxC a b，且( )( )f af b，是介于( ),( )f af b之间的任一值，则至少存在一点( , )a b使得( )f精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -