2022年历年全国高中数学联赛模拟卷二试 .pdf

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1、蚂蚁文库 第 1 页 共 25 页A B C P Q I D O1 I1 I2 A B C P Q I D O1 I1 I2 2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间： 150 分钟满分： 180 分) 姓名： _ 考试号： _ 得分： _ 一、 （本题满分 40分）在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，记12,III分别是 ADC, BCD,ABC 的内心，I在AB边上的射影为1O，,CABABC的角平分线分别交,BC AC于,P Q，且PQ的连线与CD相交于2O，求证：四边形1122I O I O为正方形二、 （本题满分 40 分）给定正数 a, b, c, d, 证明：b

2、adbadadcadcdcbdcbcbacba333333333333.2222dcba三、 （本题满分 50 分）设Nk，定义11A，2) 1(221nnnAAknn，,2, 1n证明：当1n时，nA为整数，且nA为奇数的充要条件是)4(mod21或n四、 （本题满分50 分）试求最小的正整数,n使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是 7 的倍数 . 一证明：不妨设BCAC，由ADCCDB且12,II分别是其内心，得12I DACBCI D且0121902I DIADBACB，所以12DI ICAB则2 1I I DCAB设,ADCBCD的内切圆半径分别为12,r r，Rt

3、 ABC的三边长为, ,a b c，12,II在AB边上的射影为,E F，并且,ADx BDy CDz，则121,222xzbyzabcarrAO，所以1121222bcayzaxzbDOAOADxrr，1122111()I ErrrrDFDOO F，112122()EOrrrrI F，因此1112I EOFO I1 112O IO I且11 211211 2212I OII OEI OFOI FI OF，则121,D O II四点共圆212 1I O FI I DCAB（由知）所以12/O IAC，同理1 1/O IBC，11111()21()2b c aAIAOb c aI PBOc a

4、bc a b，又由角平分线性质得CQBCCQBCabCQQABAQA CQBA BCac同理abCQbc，另一方面2222221sin21sin2CQOCPOCQ COACDSQObc bO PSac aCP COBCD，又122 112()/()AIQObcab bcO ICAI PO Pcaba ac，而()()()()a ac bcab bc cab2222()()a abacacbcacb bc babcac bc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - -

5、 - - - - - - 蚂蚁文库 第 2 页 共 25 页22()()0a abbb baa，所以2 1/O ICA，同理22/O IBC，所以四边形1122I O I O为平行四边形，由知四边形1122I O I O为正方形二解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数下式成立因为如果上式成立, 则原式的左边不小于不失一般性 , 可以在的假设下证明上述不等式. 如果, 只要将不等式两边同除, 令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三 证明： 注意到knnnnAAn21)1(2)2(knnnAnAn212) 1() 1(得1212112)1(2)1() 1

6、)(2(kknnnnnAnAnn反复运用上式，得)1()(2nnnSAn，其中tttnnS21)(，12kt得nittnittiiniinnS10)1()()(2，从而可知)(2|)1(nSnn，因此) 1(nAn是整数 . （1）当)4(mod21或n时，由)(nS有奇数个奇数项知)(nS为奇数，所以nA为奇数 . （2）当)4(mod0n时，)4(mod0)2(tn，故)4(mod0)2()()(20tnittniinnS，所以nA为偶数（3）当)4(mod3n时，)4(mod0)21(tn，故)4(mod0)21()1()(211tnittniinnS，所以nA为偶数综上所述，命题成立，

7、证毕. 四 解： 首先，我们可以指出12 个连续正整数，例如994，995， 999，1000，1001， 1005，其中任一数的各位数字之和都不是7 的倍数，因此，13n. 再证，任何连续13 个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7 的倍数 .对每个非负整数a，称如下10个数所构成的集合:10 ,101,109aAaaa为一个“基本段” ，13 个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13 个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7 个数，属于同一个基本段； 当 13 个连续数属于三个基本段11,aaaAAA时，其中必有连续10 个数同属于aA.现在设110kka

8、aa a110110(1) ,(6 )kkkka aaaa aaa是属于同一个基本段的7 个数，它们的各位数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 3 页 共 25 页字之和分别是000,1,6,kkkiiiiiiaaa显然，这 7 个和数被 7 除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数 .因此，所求的最小值为13.n2014 全国高中数学联赛模拟题(2)加试（二试）9：4012：10 共 150 分钟满分 180 分平面

9、几何、代数、数论、组合1、（本题 40分）在 ABC中，AB BC ，K、M分别是边 AB和 AC的中点，O是ABC的内心。设 P点是直线 KM 和 CO 的交点， 而 Q点使得 QP KM 且 QM BO ，证明：QO AC 。2、 （本题 40 分）已知无穷数列na满足,10yaxa,2, 11111naaaaannnnn. （1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数0n, 使当0nn时，na恒为常数？（2）求数列na的通项公式 . 3、 （本题 50 分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证 :无论怎样染 ,

10、总存在同色三角形.（1953 年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有 17 位科学家 ,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证 :至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. (第 6 届国际数学奥林匹克试题) 4、 （本题 50 分）设*211, 1, 3Nnaaaannn，证明：（1）对所有)4(mod3,nan； （2）当mm时，1),(nmaa（即nmaa ,互质）1、证：作 ORAC 于 R，过 P 作 MK 的垂线，交直线OR 于Q 点（如图）。这样只需证QM O，因为这时Q 和 Q 重合。因为 K，M 分别为 AB 和 AC 的中点， 所以 KM BC，于是

11、 MPC BCP21ACB MCP。因此 MPMC MA ，这样一来， P 点在以 AC 为直径的圆周上，且APC90 。在四边形 APOR 中，APO ARO90 ，所以 APOR 内接于圆， RPO RAO21 BAC 。在四形边 MPQ R 中， MPQ MRQ 90 ，所以 MPQ R 内接于圆，于是Q MR Q PR Q PO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 4 页 共 25 页 OPR（ 90 OPM）2

12、1BAC （ 90 21ACB ）21BAC 。设 BO 交 AC 于 D，在 BDC 中， BDC180 ACB 21ABC 90 21BAC 21ACB QMR ，因此 MQ BO，于是本题得证。2、解：由递归方程xxxxf212，得不动点1x. 由不动点方法111111111111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa111111nnnnnnnnaaaaaaaa111111nnnnaaaa111111nnnnaaaa. 令11nnnaab，则Nnbbbnnn11. 易知110 xxb，111yyb. 注意到23221nnnnnnbbbbbb21012433322nnFFnnnnbbbb

13、bb，其中，11nnnFFF，110FF，nF为斐波那契数列. 于是，11nnnaab2101nnFFbb211111nnFFxxyy. 故11nnaa2111121nxxyynnFF. （1）要使总存在正整数0n，当0nn时，na恒为常数，还需分情况讨论. （i ）若10n，当0nn时，na恒为常数 . 由ya1，101021aaaaayyxxy1，yyya2123，有1y，且xy. 此时，na恒为常数1或1. （ii ）若20n，当0nn时，na恒为常数 . 首先，当01nnan时，如果30n，由10na，110na及10na1100001nnnnaaaa，有110na. 注意到110na

14、. 又由0na212100001nnnnaaaa，有120na. 于是，由10na323200001nnnnaaaa，有110na，矛盾 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 5 页 共 25 页此 时 ， 只 能 是20n， 即21 nan， 所 以 ，101021aaaaa11yxxy，12122121311aaaaaaaaa1111yy，于是，11yxxy，且1y01yxxy，且xy，1y1x或1y，且xy，1

15、y. 因此，当1x或1y，且xy时，取20n. 当2n时，na恒为常数1. 其 次 ， 当na在200nnn时 不 恒 为1， 但 当0nn时 ， 使na恒 为 常 数 ， 故1na2,00nnn. 则11nnaa211111nnFFxxyy在0nn时恒为常数 . 显然，111xx，111yy. 若111xx且111yy，则0yx，有101021aaaaa的分母为0，矛盾 . 所以，只能011xx或011yy，即1x或1y，且xy时，当200nnn时，na恒为常数1. 综上，当1x且xy或1y且yx时，总存在正整数0n，使当0nn时na恒为常数1 或1. （2）注意到11nnaa2111121

16、nxxyynnFF. 则111111221nnFFnxxyya11111112212121nnnnnnFFFFFFxyxyxy. 故21111111121212121nxyxyxyxyannnnnnnnFFFFFFFFn，xa0，ya1. 3、证明设 A、B、C、D、E、F 是所给六点 .考虑以 A 为端点的线段AB 、AC 、AD 、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是 AB 、AC 、AD ，且它们都染成红色.再来看 BCD 的三边，如其中有一条边例如BC 是红色的，则同色三角形已出现（红色ABC ）；如 BCD 三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角

17、形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形. 证明用平面上无三点共线的17 个点 A1,A2, ，A17分别表示17 位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x 连红线 ,讨论 y 连蓝线 ,讨精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 6 页 共 25 页论 z 连黄线 .于是只须证明以这17 个点为顶点的三角形中有一同色三角形. 考虑以 A1为端点的线段A1A2,A1A3, ，A1A17，由抽屉原则这

18、16 条线段中至少有6 条同色，不妨设A1A2，A1A3，A1A7为红色 .现考查连结六点A2，A3，A7的 15 条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15 条线段只有蓝色和黄色，由例5 知一定存在以这15 条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证 . （属图论中的接姆赛问题.）4、证明： （ 1）由递推关系得11(1)nnnaaa当1n时，133(mod 4)a，33(mod 4)na即43nak，那么1(1)14(43)(1)13(mod 4)nnnaaakk对所有n，3(mod 4)na（2）由递推关系得112114nnnnaa

19、 aaa不妨设mn，得|1mnaa，令1,nmaqaqN则,()(,1)(,1)1mnmmmma aaqaaa2014 年全国高中数学联赛加试1. （40 分）如图，锐角三角形ABC 的外心为 O，K 是边 BC上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M求证：若OKMN，则 A，B，D，C 四点共圆2. （40 分）设 k 是给定的正整数，12rk记(1 )( )( )frf rr r，( )( )lfr(1)( ),2lffrl证明：存在正整数m，使得()( )mfr为一个整数这里，x表示不小于实数x 的最小

20、整数，例如：112，113. （50 分） 给定整数2n，设正实数12,na aa满足1,1,2,kakn，记12,1,2,kkaaaAknk求证：1112nnkkkknaA4. （50 分） 一种密码锁的密码设置是在正n 边形12nA AA的每个顶点处赋值0 和 1 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？EQPONMKDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 -

21、 - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 7 页 共 25 页解答1. 用反证法若A，B，D，C 不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD 交于点 E，连接 BE 并延长交直线AN 于点 Q，连接 CE 并延长交直线AM 于点 P，连接 PQ因为2PKP 的幂（关于 O）K 的幂（关于 O）2222POrKOr，同理22222QKQOrKOr，所以2222POPKQOQK，故OKPQ由题设， OKMN，所以 PQMN，于是AQAPQNPM由梅内劳斯（ Menelaus）定理，得1NBDEAQBDEA QN，1MCDEAPCDEA PM由，可得NBMCBDCD，所以NDMDBDDC，故

22、 DMN DCB，于是DMNDCB，所以BCMN，故 OKBC，即 K 为 BC 的中点，矛盾！从而,A B D C四点共圆 . 注 1： “2PKP 的幂（关于 O）K 的幂（关于 O） ”的证明：延长PK 至点 F，使得PK KFAK KE， 则 P，E，F，A 四点共圆，故PFEPAEBCE，从而 E，C，F，K 四点共圆，于是PK PFPE PC， -， 得2P KP EP CA KK EP 的幂（关于 O）K 的幂（关于 O） 注 2：若点 E 在线段 AD 的延长线上，完全类似2. 记2( )vn表示正整数n 所含的 2 的幂次则当2( )1mvk时，()( )mfr为整数下面我们

23、对2( )vkv用数学归纳法当0v时， k 为奇数，1k为偶数，此时111( )1222f rkkkk为整数假设命题对1(1)vv成立对于1v，设 k 的二进制表示具有形式EQPONMKDCBAFEQPONMKDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 8 页 共 25 页1212222vvvvvk，这里，0i或者 1，1,2,ivv于是111( )1222f rkkkk2122kkk11211212(1) 2() 2

24、22vvvvvvv12k，这里1121122(1) 2() 22vvvvvvvk. 显然k中所含的2 的幂次为1v故由归纳假设知，12rk经过 f 的 v 次迭代得到整数，由知，(1)( )vfr是一个整数，这就完成了归纳证明3. 由01ka知，对11kn，有110,0kniiii kakank注意到当,0 x y时，有max,xyx y，于是对11kn，有11111knnkiiiikAAaankn11111nkiiikiaankn11111max,nkiiikiaankn111max() ,nkknkn1kn，故111nnnkknkkkkaAnAA1111nnnknkkkAAAA111nkk

25、n12n4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c于是对于给定的点1A上的设置（共有4 种） ，按照边上的字母可以依次确定点23,nAAA上的设置 为了使得最终回到1A时的设置与初始时相同，标有a 和 b的边都是偶数条所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a， b，c，使得标有a和 b 的边都是偶数条的方法数的4 倍设标有 a 的边有2i条，02ni， 标有 b 的边有2 j条，202nij 选取2i条边标记a 的有2inC种方法，在余下的边中取出2 j条边标记b 的有2

26、2jniC种方法，其余的边标记c 由乘法原理，此时共有2inC22jniC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 9 页 共 25 页种标记方法对i，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004nniijnniijCC这里我们约定001C当 n 为奇数时，20ni，此时22221202nijninijC代入式中，得2222222221222000044222nninnijiniininninnijiiCC

27、CC0022( 1)(21)(21)nnkn kkn kknnnnkkCC31n当 n 为偶数时，若2ni，则式仍然成立；若2ni，则正 n 边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004nniijnniijCC122210412nininiC2221024233nininniC综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n种；当n 为偶数时有33n种2015 全国高中数学联赛模拟试题06 加试一（本题满分40 分）如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点A作O的切线交BC延长线于点D， 过点

28、,B C作BC的两条垂线分别与,AB AC的中垂线交于点,E F. 求证：,D E F三点共线二、 （本题满分40 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 10 页 共 25 页已知无穷正数数列na满足：（1）存在mR，使得1,2,iam i；（2）对任意正整数, i j ij均有1ijaaij，求证：1m三、 （本题满分50 分）设, , ,a b c dN满足：1bcad，集合1,2,3,1 ,AacBia iN，

29、如果kAB，求证：bdkkac（其中x表示不超过x的最大整数）四、 （本题满分50 分）求所有的自然数n，使得存在1,2,n的一个置换12,nppp满足：集合1ipiin和1ipiin均为modn的完全剩余系精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 11 页 共 25 页2015 年全国高中数学联赛模拟试题10 加试参考解答（时间： 9:40-12:10 满分： 180）一、 （本小题满分40 分）如图， 四边形ABCD内

30、接于圆，,AB DC延长线交于E，,AD BC延长线交于F，P为圆上任一点，,PE PF分别交圆于,R S，若对角线,AC BD交于T，求证：,R S T三点共线二、 （本小题满分40 分）给定实数0,1r，n个复数12,nz zz满足11,2,kzr kn证明：2212121111nnzzznrzzz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 12 页 共 25 页三、 （本题满分50 分）求具有下述性质的所有整数k：存在

31、无穷多个正整数n使得nk不整除2nnC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 13 页 共 25 页法二：所求整数为除1以外的所有整数. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 14 页 共 25 页四、 （本题满分50 分）给定整数5n，求最小的

32、整数m，使得存在两个由整数构成的集合,A B，同时满足以下条件： （1）,An Bm， 且AB；（2） 对B中任意两个不同元素, x y有：xyB当且仅当,x yA解：最小的整数m为33n，我们首先给出一个例子精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 15 页 共 25 页2015 年全国高中数学联赛模拟试题11 加试参考解答（时间： 9:40-12:10 满分： 180）一、 （本小题满分40 分）设n是给定的正整数，

33、且3n. 对于n个实数12,nxxx， 记1ijxxijn的最小值为m.若222121nxxx，试求m的最大值二、 （本小题满分40 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 16 页 共 25 页精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 17 页

34、 共三、 （本题满分50 分）试确定所有同时满足22223mod,3modnnnnnnpqqp的三元数组, ,p q n，其中,p q为奇素数，n为大于 1 的整数四、 （本题满分50 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 18 页 共 25 页2012 年全国高中数学联赛加试试题一、 （本题满分40 分）如图，在锐角ABC中，,ABAC M N是BC边上不同的两点，使得.BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为1

35、2,O O，求证：12,O OA三点共线。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 19 页 共 25 页二、 （本题满分40 分）试证明：集合22,2 ,2 ,nA满足（1）对每个aA，及bN，若21ba，则(1)b b一定不是2a的倍数；（2）对每个aA（其中A表示A在中的补集），且1a，必存在bN，21ba，使(1 )b b是2a的倍数三、 （本题满分50 分）设012,nP P PP是平面上1n个点，它们两两间的距

36、离的最小值为(0)d d求证：01020()(1)!3nndP PP PP Pn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 20 页 共 25 页四、 （本题满分50 分）设1112nSn，n是正整数证明：对满足01ab的任意实数,a b，数列nnSS中有无穷多项属于( , )a b这里， x表示不超过实数x的最大整数2012 年全国高中数学联赛加试试题（A卷）一、 （本题满分分）如图，在锐角ABC中，,ABAC M N是B

37、C边上不同的两点，使得.BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为12,O O，求证：12,O OA三点共线。证明：如图 . 连接12,AOAO, 过A点作1AO的垂线AP交BC的延长线于点P, 则AP是1O的切线 . 因此BPAC 10 分因为,BAMCAN所以AMPBBAMPACCANPAN 20 分因而AP是AMN的外接圆2O的切线30 分故2.APAO所以12,O OA三点共线。40 分二、 （本题满分分）试证明：集合22,2 ,2 ,nA满足（）对每个aA，及bN，若21ba，则(1)b b一定不是2a的倍数；（） 对每个aA（其中A表示A在中的补集），且1a，必存在bN，21ba，使

38、(1 )b b是2a的倍数证 明 : 对 任 意 的aA, 设2 ,kakN则122,ka如 果b是 任 意 一 个 小 于21a的 正 整 数 , 则121ba10 分由于b与1b中, 一个为奇数, 它不含素因子2, 另一个是偶数, 它含素因子2的幂的次数最多为k, 因此(1)b b一定不是2a的倍数；20 分若aA, 且1,a设2,kam其中k为非负整数 ,m为大于1的奇数 , 则122kam30 分下面给出 (2) 的三种证明方法: 证法一 : 令1,12,kbmx by消去b得121.kymx由于1(2,)1,km这方程必有整数解;1002kxxtyymt其中00,(,)tzxy为方程

39、的特解. A B M N C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 21 页 共 25 页把最小的正整数解记为(,),xy则12kx, 故21,bmxa使(1)b b是2a的倍数40 分证法二 : 由于1(2,)1,km由中国剩余定理知, 同余方程组10(mod2)1(mod)kxxmm在区间1(0, 2)km上有解,xb即存在21,ba使(1)b b是2a的倍数40分证 法 三 : 由 于( 2 ,)1m总 存 在(

40、,1),r rNrm使21(mod)rm取,tN使1,trk则21(mod)trm存在1(21)(2)0,trkbqmqN使021,ba此时1,21,km bm因而(1)b b是2a的倍数40 分三、 （本题满分分）设012,nP P PP是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d求证：01020()(1)!3nndP PP PP Pn证法一 : 不妨设01020.nPPP PP P先证明 : 对任意正整数k, 都有013kdP Pk显然 , 013kdPPdk对1,2,8k均成立 , 只有8k时右边取等号10 分所以 ,只要证明当9k时, 有013kdP Pk即可 . 以(0,

41、1,2, )iP ik为圆心 ,2d为半径画1k个圆 , 它们两两相离或外切; 以0P圆心，02kdP P为半径画圆，这个圆覆盖上述1k个圆20 分所以2200()(1) ()(11)222kkdddP PkP Pk30 分由9k易知11123kk40 分所以013kdP Pk对9k时也成立 . 综上 ,对任意正整数k都有013kdP Pk. 因而01020()(1)!3nndPPP PPPn50 分证法二 : 不妨设01020.nPPPPPP以(0,1,2, )iP ik为圆心 ,2d为半径画1k个圆 , 它们两两相离或外切; 10 分设Q是是圆iP上任意一点 , 由于00000013222

42、iiikkkdP QP PPQP PP PP PP P20 分因而 ,以0P为圆心 , 032kP P为半径的圆覆盖上述个圆30 分故22003()(1) ()1(1,2, )223kkddP PkP Pkkn40 分所以01020()(1)!3nndP PP PP Pn50 分四、 （本题满分分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 22 页 共 25 页设1112nSn，是正整数证明：对满足01ab的任意实数,a

43、b，数列nnSS中有无穷多项属于( , )a b这里， x表示不超过实数的最大整数证法一 :(1) 对任意nN, 有21111232nnS121111111()()2212212nn22111111()()22222nn111112222n10 分令0011,1,nNmSba则00011,nNba SmmnbaN 20 分又令(1)12t mN, 则(1)121,t mNSSmmb因此存在01,nNNnN使得,nmaSmb所以( , )nnSSa b .30分不然一定存在0,Nk使得1,kkSma Smb因此1,kkSSba这与1011kkSSbakN矛盾 . 所以一定存在,nN使得( , )

44、nnSSa b 40 分(2) 假设只有有限个正整数12,kn nn使得( , ), (1)jjnnSSa bjk令1 ,minjjnnj kcSS则,acb则不存在,nN,nN使得( , ),nnSSa c这与（ 1）的结论矛盾. 所以数列nnSS中有无穷多项属于( , )a b. 终上所述原命题成立50 分证法二 :(1) 21111232nnS121111111()()2212212nn22111111()()22222nn111112222n10 分因此 ,当n充分大时 ,nS可以大于如何一个正数,令011,Nba则01,Nba当0kN时, 1011kkSSbakN20 分因此 ,对于

45、如何大于0NS的正整数,m总存在0,nN使( , ),nSma b即,nmaSmb否则 , 一定存在0,kN使1,kSma且,kSmb这样就有1,kkSSba而1011,kkSSbakN矛盾 . 故一定存在0,nN使得,nmaSmb 30 分令0(1,2,3,),iNmSi i则0,iNmS故一定存在10,nN使iinimaSmb, 因此iiininnaSmSSb.40分这样的i有无穷多个 , 所以数列nnSS中有无穷多项属于( , )a b 50 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22

46、页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 23 页 共 25 页精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 24 页 共 25 页精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 蚂蚁文库 第 25 页 共 25 页精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - - -