2022年人教A版高中数学必修四3.1.1—2《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计 .pdf

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1、名师精编优秀教案3.1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计【教学目标】1. 掌握两角和与差公式的推导过程；2. 培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；3. 发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质；4. 引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 【导入新课】创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件） 引入问题 . 并针对问题中的0cos15用计算器或不用计 算器计算求值，以激趣激疑，导入课题. 教师问：想一想: 学校因某次活动的需要, 需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳

2、, 为了在购买钢绳时不至于浪费, 你能算一算到底需要多长钢绳吗? ( 要求在地面上测量 , 测量工具 : 皮尺 , 测角器 ) 问题： （ 1）能不能不用计算器求值：0cos45，0cos30，0cos15？（2）0000cos(4530 )cos45cos30 是否成立？设计意图： 由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣， 和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向 . 新授课阶段一、 两角差的余弦公式的推导过程1. 三角函数线法：问：怎样作出角、的终边？怎样作出角的余弦线 OM ？怎样利用几何直观寻找OM的表示式？设计

3、意图： 尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案-p1CBAMPOXY（1）设角终边与单位圆地交点为P1，1,POPPOx则. （2）过点 P作 PM X轴于点 M ，那么 OM就是的余弦线 . （3）过点 P作 PAOP1于 A，过点 A作 AB x 轴于 B，过点 P作 PC AB于 C那么 OA表示cos，AP表示sin，并且1.PA

4、CPOx于是 OM=OB+BM=OB+CP=OAcos+APsin=coscossinsin. 最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：、都是锐角，且. 2. 向量法：问：结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果？对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论. 设计意图 ：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性. 如图，建立单位圆O：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 -

5、- - - - - - - - - 名师精编优秀教案cos ,sin,cos ,sinOAOB则，由向量数量积的概念, 有由向量数量积的坐标表示, 有因为、都是任意 角, 所以也是任意角 , 但由诱导公式以总可找到一个0, 2 )，使得coscos(). 于是对于任意角、都有C（）简记例 1 利用差角余弦公式求0cos15的值 . （求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）解法 1：00000002cos15cos(4530 )cos45 cos30sin45 sin30.46=解法 2：A O B x y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

6、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案00000006cos15cos(6045 )cos60 cos45sin60 sin 45.2 =4452 sin =cos = - cos5213例已知，（， ）， 第三象限角，求（）的值 .（让学生联系公式C和本题的条件，考虑清楚要计算cos，应作哪些准备）解：由4sin,52，得2243cos1sin1.55又由5cos13，是第三象限角， 得22512sin1cos1.1313所以3541233coscoscossinsin().5135

7、1365让学生结合公式cos()coscossinsin，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决. 二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导与运用sincoscoscoscossinsin2222sincoscossinsinsinsincoscossinsincoscossin.让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）sinsincoscos sintancoscoscossinsin通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan注意：,().222kkkk

8、z以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推导出两角差的正切公式呢？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案tantantantantantan.1tantan1tantan注意：,()222kkkkz例 3 已知3sin,5是第四象限角， 求sin,cos,tan444的值. 解：因为3sin,5是第四象限角，得2234cos1sin155，3sin35tan4cos45，于是有24237 2sinsincoscossin

9、,44425251024237 2coscoscossinsin.444252510两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tantan144tan7.341tantan144例 4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin72 cos42cos72 sin 42； （2）cos20 cos70sin20 sin 70； （3）1tan151tan15解：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相像. （1）1sin72 cos42cos72 sin 42sin 7242sin 302；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

10、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案（2）cos20 cos70sin 20 sin 70cos 2070cos900；（3）1tan15tan45tan15tan 4515tan6031tan151tan45 tan15例 5 化简2cos6sin .xx解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？132 cos6 sin2 2cossin22xxxx2 2 sin30 coscos30 sin22 sin 30.xxx思考：2

11、 2是怎么得到的？222 226， 我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的. 课堂小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业见同步练习拓展提升一、选择题1. 0000cos50 cos20sin50sin 20的值为（）A. 12 B.13 C. 32 D. 332. 0cos( 15 )的值为（）A. 264 B. 624 C. 624 D 624. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 -

12、 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案3. 已知12cos,0,132，则cos()4的值等于（）A. 5 213 B. 17226 C. 7 226 D. 72134 sin 7 cos37sin83 sin37 ().的值为(A)23 (B)21 (C)21 (D)2321tan 755 ()tan75.的值为(A)32 (B)33232C (D)3326.sin 2 sin3cos2 cos3 , ()xxxxx若则 的值是(A)10 (B)6 (C)5 (D)4二、填空题7. 化简00cos(30 )cossin(30 )sin= . 8. 若0000cos60 ,si

13、n 60,(cos15 ,sin15 )ab，则a b= . 139cos,2,sin_.523. 若则3tan1510. _.13tan1511. coscossinsin_.三、解答题、12. 已知233sin,cos,0,3242，求cos()的值 . 参考答案1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.32 8.22 9.1036210.1 11.cos精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案12. 解：由

14、23sin,32，得5cos3；又由23sin,32，得7sin4；因此，cos()coscossinsin=3 52 712精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -