2022年二元一次方程组知识点梳理及例题解析 .pdf

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1、名师整理精华知识点第八章 二元一次方程组第一节、知识梳理二元一次方程组一、学习目标1.了解并认识二元一次方程的概念. 2.了解与认识二元一次方程的解. 3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解. 4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别. 5.掌握代入消元法和加减消元法. 二、知识概要1.二元一次方程：像xy2 这样的方程中含有两个未知数（x 和 y） ，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组：把两个方程xy3 和 2x3y10 合写在一起为像

2、这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 三、重点难点代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点. 四、知识链接

3、本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来，为以后解决实际问题提供了一种有力的工具. 五、中考视点本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现，还有的出现在解答题的计算当中. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点二元一次方程组的实际应用一、学习目标将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型（即二元一次方程组），解决问题 . 二、知识概要列方程组解应用题的常见类型主要有：. 行程问题 .包括追及问题

4、和相遇问题，基本等量关系为：路程速度 时间；. 工程问题 .一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1 的工程问题 . 基本等量关系为：工作量工作效率工作时间；3. 和差倍分问题 .基本等量关系为：较大量较小量多余量，总量倍数 1 倍量；4. 航速问题 .此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速逆流（风）：航速静水（无风）中的速度水（风）速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等. 三、重点难点建立数学模型（二元一次方程组）是本周的重点，也是本周的难点. 四、知识链接本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用，为解决一些实际问

5、题提供了一个模型，一种方法. 五、中考视点二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面：（1） 从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题；（2） 能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题. 第二节、教材解读1二元一次方程：含有两个未知数， 并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元一次方程 从定义中可以看出：二元一次方程具备以下四个特征：（1）是方程；（2）有且只有两个未知数；（3）方程是整式方程，即各项都是整式；（4）各项的最高次数为1. 例如：像+y3 中，不是整式，所以+y3 就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不精品资料 - - - 欢迎下载 -

6、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1 中，虽然含有两个未知数x、y 且次数都是1， 但未知项 xy 的次数为2， 所以也不是二元一次方程， 所以二元一次方程必须同时具备以上四点2二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如一次方程组3二元一次方程的一个解符合二元一次方程

7、的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解一般地二元一次方程的解有无数个，例如 x+y=2 中，由于 x、y 只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解第三节、错题剖析【误解】 A 或 D【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程

8、的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C 是正确的验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点【正解】 C把式代入式得8-3y+3y=8，0 y=0. 所以 y 可以为任何值 . 所以原方程组有无数组解【思考与分析】代入法是

9、求二元一次方程组的解的一种基本方法它的一般步骤是：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，如本题中方程中的x，用含 y 的代数式表示为x=8-3y；（2）将这个变形所得的代数式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；这里要求代入“ 另一个 ” 方程， “ 误解” 把它代入到变形的同一个方程中，得到了一个关于y 的恒等式，出现了错误（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（ 4）将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解【正解】由式得x=8-3y把式代入式得2（8-3y）+5

10、y=-21，解得 y=37.把 y=37代入式得 x=8-3 37，解得 x=-103. 所以【例 3】 解方程组【错解】方程 - 得： 3y=0，所以 y=0，把 y=0，代入 得 x=2，所以原方程组的解为【分析】在- 时出错 . 【正解】- 得： （x2y）（ xy）2（ 2）x2yxy4 y=4 y=4 把 y=4 代入得 x=6，所以原方程组的解为【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - -

11、- - - - 名师整理精华知识点【例 4】 某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2 倍少 1 人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？错解: 设晚会上男生有 x 人，女生有 y 人. 根据题意，得把代入，得 x=（2x-1） ，解得 x=3.把 x=3 代入，得 y=5. 所以答:晚会上男生 3 人，女生 5 人. 【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的 2 倍少 1 人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是

12、除自己之外的男生人数， 同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数. 正解: 设晚会上男生有 x 人，女生有 y 人. 根据题意，得把代入 ,得x=2（x-1）11 ，解得 x=12. 把 x=12 代入，得 y=21. 所以答：晚会上男生 12 人，女生 21人. 解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误. 【例 5】 解方程组【错解】方程 得： 2x=4，原方程组的解是：x=2 【错因分析】错解只求出了一个未知数x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的 . 【正解】（接上）将x=2 带入得：y=0.所以原方程组的解为精品资料 - - - 欢迎下载 -

13、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解. 【例 6】解方程组【错解】由式得y=2x-19 把式代入式得2（2x19【错因分析】 “ 错解” 在把变形后的式代入式时，符号书写出现了错误 当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第

14、二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误【正解一】化简原方程组得【正解二】化简原方程组得 6+得 17x=114，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1 或有一个方程的常数项是0 时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便第四节、思维点拨【例1】小红到邮

15、局寄挂号信，需要邮资元角. 小红有票额为角和角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.寄信需邮资元角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8 元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需角邮票的总票额加上所需角邮票的总票额. 所需角邮票的总票额等于单位票额角与所需角邮票数目的乘积. 同样的，所需角邮票的总票额等于单位票额角与所需角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系. 第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.由图可知最主要的数量关系是：所需邮资 =所需邮票的总票额 . 第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系

16、中牵涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需邮资.8 元，两种邮票的单位票额.6 元和 0.8 元，未知量是两种邮票的数目. 第四步是设元（即设未知量） ，并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设 0.6 元的邮票需 x 张，0.8元的邮票需 y 张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8. 第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解 .方程的解是第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

17、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点成立，所以结果是正确合理的. 第七步是答， 需要 1 张 6 角的邮票和 4 张 8 角的的邮票， 或需要 5 张 6 角的邮票和 1 张 8 角的的邮票 . 【例 2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片张. 商店里有两种型号的胶卷：型每卷张底片，型每卷张底片. 小聪一共买了卷胶卷，刚好有张底片. 求两种胶卷的数量 . 【思考与解】第一步：找数量关系 . 型胶卷数型胶卷数胶卷总数，型胶卷的底片总数型胶卷的底片总数底片总数. 型胶卷的底片总数 =每卷型胶卷所含底

18、片数 型胶卷数，型胶卷的底片总数每卷型胶卷所含底片数 型胶卷数 . 第二步：找出最主要的数量关系，构建等式. 型胶卷数型胶卷数胶卷总数，型胶卷的底片总数型胶卷的底片总数底片总数. 第三步：找出未知量和已知量 . 已知量是：胶卷总数，度片总数，每卷型胶卷所含底片数，每卷型胶卷所含底片数；未知量是：型胶卷数，型胶卷数 . 第四步：设元，列方程组 . 设型胶卷数为 x，型胶卷数为 y，根据题中数量关系可列出方程组：第五步：答：型胶卷数为3，型胶卷数为 1. 【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步 .其他步骤可以省略 . 【例】用加减法解方

19、程组【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y 的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y. 解：，得x=8. 解得x=2. 把 x=2 代入，得2+2y=3. 解得y=. 所以，原方程组的解为：【思考与分析】经观察，我们发现x 的系数成倍数关系，故先将方程 2 再与方程作差消去x较好. 解： ，得4x-6y=16. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点，得11y=-22. 解得y=-2. 把 y=-2 代入，得x-

20、3 （-2） . 解得 x=1. 所以原方程组的解为【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程 .本题中，方程的系数比较简单，应该将方程进行变形 . 如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发， 选择应该消去的未知数 .通过观察发现， 消去x 比较简单 .只要将方程两边乘以2 ，然后将两方程相减即可消去x.解法 1： 由得 x=8-2y.把代入得2（8-2y）+5y=21，解得 y=5. 把 y=5 代入得 x=-2. 所以原方程组的解为：解法 2： 2得 2x+4y=16. -得 2x

21、+5y-（2x+4y）=21-16，解得 y=5. 把 y=5 代入得 x=-2. 所以原方程组的解为【小结】我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原则上要以计算简便为依据 .【例 6】用代入法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现方程为用y 表示 x 的形式，故将代入，消去x. 解：把代入，得（y+3）-8y=14. 解得y=-1. 把 y=-1 代入，得 x=2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - -

22、- 名师整理精华知识点所以原方程组的解为【例 7】用代入法解方程组【思考与分析】经观察比较，我们发现方程更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择变形，消去y. 解：由，得y=2x-5. 把代入，得 x+4（2x-5）=2.解得x=2. 把 x=2 代入，得y=-1. 所以原方程组的解为：【例 8】 甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90 台，结果甲厂完成了计划的112，乙厂完成了计划的 110，两厂共生产机床100 台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上

23、月甲厂超额生产x 台，乙厂超额生产 y 台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x 台，乙厂原计划生产y 台. 解法一：直接设法 . 设上月甲厂超额生产x 台，乙厂超额生产 y 台，则共超额了 1009010（台） ，而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台. 根据题意，得答：上月甲厂超额生产6 台，乙厂超额生产4 台. 解法二：间接设法 . 设上月甲厂原计划生产x 台，乙厂原计划生产y 台. 根据题意，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

24、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点所以 x （1121）50 126，y （110-1）40 104. 答：上月甲厂超额生产6 台，乙厂超额生产4 台. 【例 9】 某学校组织学生到100 千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4 千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间） ，要使大家下午 5 点同时到达，问需何时出发. 【思考与分析】我们从行程问题的3 个基本量去寻找

25、，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组 .如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系. 解：设先坐车的一半人下车点距起点x 千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y 千米，根据题意得化简得从起点到终点所用的时间为所以出发时间为： 17107.即早晨 7 点出发 . 答：要使学生下午5 点到达，必须早晨7点出发 . 【例 10】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年

26、利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额 20%，教育储蓄没有利息所得税）【思考与分析】设教育储蓄存了 x 元，一年定期存了y 元，我们可以根据题意可列出表格：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点解：设存一年教育储蓄的钱为x 元，存一年定期存款的钱为y 元，则答：存教育储蓄的钱为1500 元，存一年定期的钱为500 元. 【反思】我们在解一些涉及到

27、行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来. 第五节、竞赛数学【例 1】已知方程组的解 x，y 满足方程 5x-y=3，求 k 的值. 【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法. （）由已知方程组消去k，得 x 与 y 的关系式，再与5x-y=3 联立组成方程组求出x，y 的值，最后将 x，y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值. （）把 k 当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3 建立关于 k 的方程，便可求出k 的值. （）将方程组中的两个方程相加，得5

28、x-y=2k+11，又知 5x-y=3，所以整体代入即可求出k 的值. 把代入，得，解得k=-4. 解法二： 3 ，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点又由 5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4. 【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易

29、想到的话，那就应该用巧妙解法了. 【例 2】某种商品价格为每件元，某人身边只带有元和元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品 . 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出元和元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解. 最后，比较各个解对应的x+y 的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少. 解：设付出元钱的张数为x，付出元钱的张数为y，则 x，y 的取值均为自然数 . 依题意可得方程：2x+5y=33. 因为 5y 个位

30、上的数只可能是或，所以 2x 个位上数应为或 . 又因为 x 是偶数，所以 x 个位上的数是，从而此方程的解为：由得 x+y=12；由得 x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少. 答：付款方式有种，分别是：付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少. 【例 3】 解方程组【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零. 解：由，得y=4mx，把代入，得2x+5（4mx）=8，解得（25m）x=-12，当 25m0，即 m

31、时，方程无解，则原方程组无解. 当 25m 0 ，即 m 时，方程解为将代入，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点故当 m 时，原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况对于 x、y 的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且 a1与 b1、a2与 b2都至少有一个不等于零，则时，原方程组有惟一解；时，原方程组有无穷多

32、组解；时，原方程组无解 . 【例 4】某中学新建了一栋4 层的教学大楼，每层楼有8 间教室，这栋大楼共有4 道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同 .安全检查中，对 4 道门进行了训练： 当同时开启一道正门和两道侧门时，2 分钟内可以通过 560 名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4 分钟可以通过 800名学生 . （1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 .假设这栋教学大楼每间教室最多有45 名学生，问：建造的这 4 道

33、门是否符合安全规定？请说明理由. 【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生 . 根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人. （2） 这栋楼最多有学生4 8 45=1440（人） .拥挤时 5 分钟 4 道门能通过5 2 （120+80） （1-20%）=1600（人）. 因为 16001440，所以建造的 4 道门符合安全规定 . 答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120 名学生、 80 名学生；建造的这4 道门符合安全规定. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

34、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点【例 5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50 千克（第二次多于第一次） ，共付款 264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6 元、5 元、4 元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得

35、张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数. 解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克由题意，得0 x25当 0 x20 ，y40 时，由题意，得当 040 时，由题意，得（与 0 x20 ，y40 相矛盾，不合题意，舍去） 当 20 x25 时，25y30此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5 50=250264（不合题意，舍去）. 综合可知，张强第一次购买香蕉14 千克，第二次购买香蕉36 千克. 答： 张强第一次、第二次分别购买香蕉14 千克、 36 千克. 【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有

36、的可能性，看有几种情况符合题意. 【例 6】 用如图中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有张正方形纸板和000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

37、 - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点每个竖式纸盒要用的正方形纸板数竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的正方形纸板数横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的长方形纸板数横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板. 解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系. 设竖式纸盒做 x 个，横式纸盒做y 个. 根据题意，得 4-，得 y=2000，解得 y=400

38、. 把 y=400代入，得x+800=1000，解得 x=200. 所以方程组的解为因为 200和 400均为自然数，所以这个解符合题意. 答： 竖式纸盒做个，横式纸盒做个，恰好将库存的纸板用完. 第六节、本章训练基础训练题一、填空题（每题7 分，共 35分）1.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去 27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是. 2. 已知甲、乙两人从相距km 的两地同时相向而行， 1h 相遇.如果甲比乙先走h，那么在乙出发后h 与甲相遇 .设甲、乙两人速度分别为xkm/h、ykm/h，则 x，y. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

39、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点3. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10 米，那么甲跑 5 秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2 秒钟，那么甲跑 4 秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是. 4.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5 件，全队一天就超额30 件；若平均每人一天做4 件，全队一天就比定额少完成20 件.若设这队工人有x 人，全队每天的数额为y 件，则依题意可得方程组. 5.某次知识竞赛共出了25 道题，评分标准如下：答对1 题加 4 分；答错 1 题

40、扣 1 分；不答记 0 分.已知小明不答的题比答错的题多2 道，他的总分为 74 分，则他答对了. 二、选择题（每题7 分，共 35 分）1.一个两位数的十位数字比个位数字小2，且能被 3 整除，若将十位数字与个位数字交换又能被5 整除，这个两位数是（）. A. 53 B. 57 C. 35 D. 75 2.甲、乙两车相距150km，两车同时出发，同向而行，甲车4h 可追上乙车；相向而行，1.5h 后两车相遇.设甲、乙两车的平均速度分别为xkm/h、ykm/h.以下方程组正确的是（）. 3.甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行.若乙先行 12km，那么甲 1 小时追上乙；如果乙先走

41、 1 小时，甲只用小时就追上乙，则乙的速度是（）km/h. A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 4.一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的2 倍， 则船在静水中的速度与水流的速度之比为（） . A. 4：3 B. 3：2 C. 2：1 D. 3：1 5.某校初中毕业生只能报考第一高中和第二高中中的一所.已知报考第一高中的人数是报考第二高中的 2 倍，第一高中的录取率为50，第二高中的录取率为60，结果升入第一高中的人数比升入第二高中的人数多 64人，则升入第一高中与第二高中的分别有（）. A. 320 人，160人B. 100 人，36人C. 160 人，96 人D. 120人，56

42、 人三、列方程组解应用题（每题15 分，共 30 分）1.一批机器零件共840个，如果甲先做 4 天，乙加入合做， 那么再做 8 天才能完成； 如果乙先做 4 天，甲加入合做，那么再做9 天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？2. 师傅对徒弟说 “ 我像你这样大时，你才4 岁，将来当你像我这样大时，我已经是52 岁的人了 ”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点答案一、填

43、空题1. 52 2. ，3. 甲跑 6 米，乙跑 4 米5. 19 道题二、选择题1. B2. B3. A4. D5. C 三、列方程组解应用题1. 【解题思路】由题意得甲做12 天，乙做 8 天能够完成任务；而甲做9 天，乙做 13 天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解. 解：设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件，根据题意，得答：甲每天做 50 个机器零件，乙每天做30 个机器零件2. 【解题思路】由 “ 我像你这样大时，你才4 岁” 可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒弟现在的年龄减 4，由“ 当你像我这样大时，我已经是52 岁的人了 ” 可知 52 等于师傅现在的

44、年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄.由这两个关系可列方程组求解. 解：设现在师傅x 岁，徒弟 y 岁，根据题意，得答：现在师傅 36 岁，徒弟 20 岁. 提高训练题1. 甲、乙两人分别从相距30 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路程是乙到A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度 . 2. 2. 小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程y 的系数和第二个方程x 的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

45、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点3.若是关于 x，y 的二元一次方程3x-y+a=0 的一个解，求 a的值. 4.已知方程组其中正确的说法是（）A只有（ 1） 、 （3）是二元一次方程组；B只有（ 1） 、 （4）是二元一次方程组；C只有（ 2） 、 （3）是二元一次方程组；D只有（ 2）不是二元一次方程组答案1.解： 设甲、乙的速度分别为x 千米/时和 y 千米/时. 第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3 千米. 根据题意，得第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3 千米. 根据

46、题意，得答：甲、乙的速度分别为4 千米/时和 5 千米/时；或甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时. 2.解：设第一个方程中y 的系数为 a，第二个方程的x 系数为 b.则原方程组可写成精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点3.解：既然是关于 x、y 的二元一次方程 3xya0 的一个解，那么我们把代入二元一次方程 3xya0 得到 32a0，解得 a1. 4.解：二元一次方程组是由两个以上一次方程组成并且只含有两

47、个未知数的方程组，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程组中方程的个数可以超过两个本题中的（1） 、 （3） 、 （4）都是二元一次方程组，只有（ 2）不是所以选D. 强化训练题1.解关于 x，y 的方程组，并求当解满足方程4x3y21 时的 k 值2. 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为54，第二个长方形的长与宽之比为32，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2 倍还大 6cm，求这两个长方形的面积 . 3.甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为 2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为 65，你能求出原来的

48、两个加数吗？4.某校 20XX 年初一年级和高一年级招生总数为500人， 计划 20XX 年秋季初一年级招生人数增加20，高一年级招生人数增加25，这样 20XX 年秋季初一年级、高一年级招生总数比20XX 年将增加 21，求 20XX 年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？答案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点从而第一个长方形的面积为：5x 4x20 x21620（cm2） ；第二个长方形的面积为：3y 2

49、y6y2150（cm2）. 答：这两个长方形的面积分别为1620cm2和 150cm2. 3.解：设两个加数分别为x、y.根据题意，得解得所以原来的两个加数分别为230 和 42. 4.解：设 20XX 年初一年级秋季招生人数为x，高一年级招生人数为y. 根据题意得解得答：20XX 年初一年级秋季招生人数为480 人，高一年级招生人数为125 人. 综合训练题一、精心选一选（每题7 分，共 35 分）1. 方程组的解是（）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - -

50、- - - - - - - - 名师整理精华知识点2. 在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7 人，就会余 3 人；如果每组8 人，就会少 5人.问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为 y，根据题意，可列方程组（）. 3. 买甲、乙两种纯净水共用250 元，其中甲种水每桶8 元，乙种水每桶6 元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的 75%，设买甲种水 x 桶、乙种水 y 桶，则所列方程组中正确的是（）. 4. 一个两位数被 9 除余 2，如果把它的十位与个位交换位置，则所得的两位数被9 除余 5，设个位数字为 x，十位数字为 y，则下面正确的是（）.（以下选项中 k1、k2都为