2022年基本不等式知识点和基本题型 .pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若Rba,，则abba222（2）若Rba,，则222baab2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,Rba，则abba23、基本不等式的两个重要变形（1）若*,Rba，则abba2（2）若*,Rba，则22baab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“ =”4、求最值的条件： “一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0 x，则12xx ( 当且仅当1x时取“ =” ）（2）若0 x，则12xx ( 当且仅当1x时

2、取“ =” ）（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“ =” ）（4）若Rba,，则2)2(222babaab（5）若*,Rba，则2211122babaabba特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“ =”6、柯西不等式（1）若, , ,a b c dR，则22222()()()abcdacbd（2）若123123,a aa b b bR，则有：222222212311231 12233()()()aaabbbaba ba b（3）设1212,nna aabb与b是两组实数，则有22212(naaa )22212)nbbb(21 122()nna ba ba b二、题型分析题型一

3、：利用基本不等式证明不等式1、设ba,均为正数，证明不等式:abba1122、已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2223、已知1abc，求证：22213abc4、已知, ,a b cR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(已知, ,a b cR，且1abc，求证：1111118abc6、选 修 45：不等式选 讲设, ,a b c均为正数 , 且1abc, 证明:( )13abbcca; ()2221abcbca. 7、选 修 45：不等式选 讲：已知0ba，求证 :baabba223322题型二：利用不等式求函数值域精品资料 - - - 欢迎下载 - -

4、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备1、求下列函数的值域（1）22213xxy（2）)4(xxy（3）)0(1xxxy（4）)0(1xxxy题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2x，求函数42442xxy的最小值；变式 1：已知2x，求函数4242xxy的最小值；变式 2：已知2x，求函数4242xxy的最大值；练习： 1、已知54x，求函数14245yxx的最小值；2、已知54x，求函数14245yxx的最大值；题型四：利用不等式求最值（

5、二）（凑系数）1、当时，求(82 )yxx的最大值；变式 1：当时，求4 (82 )yxx的最大值；变式 2：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。2、若02x，求yxx()63的最大值；变式 ：若40 x，求)28(xxy的最大值；3、求函数)2521(2512xxxy的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式： 求函数)41143(41134xxxy的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；法一：法二：变式 1：已知22,0,baba，求tab11的最小值；变式 2：已知28,0,1x yxy，求xy的最小值；变式 3：已知0,

6、 yx，且119xy，求xy的最小值。变式 4：已知0, yx，且194xy，求xy的最小值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备变式 5： （1）若0, yx且12yx，求11xy的最小值；（2）若Ryxba,且1ybxa，求yx的最小值；变式 6：已知正项等比数列na满足：5672aaa，若存在两项nmaa ,，使得14aaanm，求nm41的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数) 1(110

7、72xxxxy的值域；变式： 求函数)1(182xxxy的值域；2、求函数522xxy的最大值；（提示：换元法）变式： 求函数941xxy的最大值；题型七：基本不等式的综合应用1、已知1loglog22ba，求ba93的最小值2、 （2009 天津）已知0,ba，求abba211的最小值；变式 1： （2010 四川）如果0ba，求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值；变式2： （2012 湖北武汉诊断）已知，当1,0 aa时，函数1) 1(logxya的图像恒过定点A，若点A在直线0nymx上，求nm24的最小值；3、已知0, yx，822xyyx，求yx2最小值；变式 1：已知

8、0,ba，满足3baab，求ab范围；变式 2： （2010 山东） 已知0,yx，312121yx，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3： （2011 浙江） 已知0,yx，122xyyx，求xy最大值；4、 （20XX 年山东 （理） ）设正实数zyx,满足04322zyxyx, 则当zxy取得最大值时 ,zyx212的最大值为 （ 1 ）（提示：代入换元, 利用基本不等式以及函数求最值）变式： 设zyx,是正数，满足032zyx，求xzy2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围1、 （2012 沈阳检测）已知0, yx，且9)1)(yaxyx恒成立，求正实数a的最小值；2、

9、已知0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果Nn，求n的最大值；（参考： 4）（提示：分离参数，换元法）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备变式： 已知0,ba满则241ba，若cba恒成立，求c的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba若, , ,a b c dR，则22222()()()abcdacbd2、二维形式的柯西不等式的变式bda

10、cdcba2222)1(，),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcbabdacdcba2222)2(),(时等号成立；即当且仅当bcaddbcaRdcba2)()()(3(bdacdcba，),0,(时等号成立；即当且仅当bcaddbcadcba3、二维形式的柯西不等式的向量形式，),0(等号成立时使或存在实数当且仅当kak4、三维柯西不等式若123123,a aa b b bR，则有：222222212311231 12233()()()aaabbbaba ba b),(332211时等号成立当且仅当bababaRbaii5、一般n维柯西不等式设1212,nna aabb与b是两组

11、实数，则有:22212(naaa)22212)nbbb(21 122()nnaba ba b),(2211时等号成立当且仅当nniibababaRba题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设,x y zR，若2224xyz，则zyx22的最小值为时，),(zyx析：2)2(1)()22(2222222zyxzyx3694，zyx22最小值为6此时322)2(16221222zyx，32x，34y，34z2、设,x y zR，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此时,x y z之值。Ans：)34,32,34(),(;4zyxm3、设,x y zR，332zyx，求222) 1

12、(zyx之最小值为，此时y（析：0)1(32332zyxzyx）4、 （20XX 年湖南卷（理） ）已知, ,236,a b cabc则22249abc的最小值是 (12:Ans) 5、 （20XX 年湖北卷（理） ）设, ,x y zR, 且满足 :2221xyz,2314xyz, 求zyx的值；6、求coscossincos3sin2的最大值与最小值。 （Ans：最大值为22，最小值为22）析：构造法：令a (2sin ，3cos ， cos )，b (1，sin ，cos ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -