2022年二次函数教案 .pdf

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1、二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念： 一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。【注意】和一元二次方程类似， 二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项例: ? = (?- 2)?2-?是关于x的二次函数 , 则 m=( ) A.-1 B.2 C.-1或 2 D.m不存在二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0

2、a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 由此可知 : a 的绝对值越大，抛物线的开口越小2. 2yaxc的性质： 上加下减3. 2ya xh的性质： 左加右减4. 2ya xhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0

3、x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的开口方顶点坐对称性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - -

4、- - - - - - - - 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，例: 已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：符号向标轴0a向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

5、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“ 左加右减，上加下减 ” 方法二：cbxaxy2沿y轴平移 : 向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿 x 轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）例: 将一抛物线向下向右各平移2 个单位得到抛物线的解析式为?= -?2, 则原抛物

6、线的解析式是 ( ) A. ?= -(? - 2)2+ 2 B. ?= -(? + 2)2+ 2C. ? = -(? + 2)2- 2 D. ? = -(? - 2)2- 2四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中向右(h0) 【或左 (h0)【或下 (k0) 【或左(h0) 【或左 (h0) 【或下 (k0)【或向下 (k 0(? -1) . 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 练习:（1） 二次函数2yaxbxc的图像如图 1， 则

7、点),(acbM在 （） A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，?则下列结论：a、 b 同号； 当 x=1 和 x=3 时， 函数值相等；4a+b=0 ；当 y=-2 时，x 的值只能取 0. 其中正确的个数是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 (1) (2) 六. 二次函数2yaxbxc的性质 1. 当0

8、a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba例: 如果二次函数 ? = ?2+ ? + ? 的图像与 x 轴有两个公共点 , 那么一元二次方程 ?2+ ? + ? = 0有两个不相等的实数根 , 请根据你对这句话的理解 ,解决下面的问题 : 若 m, n(m n) 是关于 x

9、 的方程1 -(x - a)(x - b) = 0 的两根,且(a b), 则 a,b,m,n 的大小关系是( ) A.m a b n B. a m n bC. a m b n D. m a n b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，

10、2x是抛物线与x轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：例: 已知一条抛物线经过 (0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 -

11、 - - - - - - - - - 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba， 即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴

12、在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来 , 在a确定的前提下 ,b 决定了抛物线对称轴的位置. ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c 当0c时，抛物线与y

13、轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点， 即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负所以，c决定了抛物线与y轴交点的位置从而我们就知道， 只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的例:如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（）练习: 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2 ，O)、(x1，0) ， 且 1x12， 与 y 轴的正半轴的交点在点 (O， 2)的下方下列结论：abO ；4a+cO ，其

14、中正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D4 个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 答案： D 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的

15、横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 2. 关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 3. 关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk； 4. 关于顶点对称（即：抛

16、物线绕顶点旋转180）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk例: 已知抛物线 y=12x2+x-52（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为A、B，求线段 AB的长所以根据对称的性质

17、， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

18、11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 图象与x轴的交点个数： 当240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方， 无论x为任何实数， 都有0y；2当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程

19、； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3) 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；(4) 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . (5) 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

20、 - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：会用待定系数法求二次函数解析式例. 已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为 x=-2 ，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2， 则抛物线的顶点坐标为 ( ) A.(2，-3) B.(2，1) C.(2，3) D(3 ，2) 答案： C 例: 已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点 P(4，10)，交 x轴于)0 ,(1xA，)0 ,(2xB两点)(21xx， 交y 轴负半轴于 C点， 且满足 3AO=OB (1)

21、求二次函数的解析式； (2) 在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角 MCO ACO? 若存在，请你求出 M点的横坐标的取值范围； 若不存在，请你说明理由(1) 解： 如图抛物线交 x 轴于点 A(x1， 0)， B(x2，O)，则 x1x2=30，又 x1O ，x1O ，30A=OB ，x2=-3x10抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

22、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - x1x2=-3x12=-3x12=1. x10，x1=-1x2=3点 A(-1 ，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x2-4x-6 (2) 存在点 M使MC0 ACO (2) 解：点 A关于 y 轴的对称点 A(1，O)，直线 A，C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为 (0 ，-6) ，(5 ，24)符合题意的 x 的范围为 -1x0 或 Ox5 当点 M的横坐标满足 -1xO或 Ox ACO 十一、函数的

23、应用 : 多数是关于最值问题求解例: 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中 AF=2 ，BF=1 试在 AB上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积例 2 某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元） ?与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元） 15 20 30 y （件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为y=kx+b则152

24、5,220kbkb解得 k=-1，b=40，?即一次函数表达式为y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w元 w=（x-10） （40-x）=-x2+50 x-400=- （x-25）2+225产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -