2022年三角恒等变换知识总结 .pdf

《2022年三角恒等变换知识总结 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三角恒等变换知识总结 .pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备精品知识点三角恒等变换知识点总结2014/10/24 一、基本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan对其变形： tan tan =tan( +)(1- tantan ) ，有时应用该公式比较方便。2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin2sincos . 2222cos2cossin2cos112sin. 22tantan21tan. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，22cos1sin,22co

2、s1cos22这两个形式常用。3. 辅助角公式：sincos2 sin4xxx;3sincos2sin6xxx22sincossinaxbxabx. 4. 简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5. 常用知识点：（1）基本恒等式：22sinsincos1,tancos（注意变形使用，尤其1的灵活应用，求函数值时注意角的范围） ；（2）三角形中的角：A

3、BC，sinAsin(B),cosAcos(BC)C；（3）向量的数量积：cos,a ba ba b，1212a bx xy y ，12120abx xy y1221/ /0abx yx y；二、考点阐述考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20 cos40cos20 sin40的值等于（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点2、若 tan3，4tan3，则tan()等于（）3、若3,4则(1tan)

4、(1tan)的值是 _4、(1tan1 )(1tan2 )(1tan3 )(1tan44 )(1tan45 )_.考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos5cos52的值等于（） (提示: 构造分子分母 ) 6、cos20 cos40 cos60 cos80（）7、 已知322A，且3cos5A，那么 sin2A等于（）考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(则)4tan(的值等于（）9、已知,31coscos,21sinsin则)cos(值等于（）10、函数22( )cos ()sin ()11212f xxx是（）（A）周期为 2的奇函

5、数 （B）周期为 2的偶函数（C ）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：22sincossinaxbxabx. 其中2222cos,sinababab（可以通过22ab来判断最大最小值）如：1. 若方程sin3cosxxc有实数解，则 c 的取值范围是 _. 2.2cos3sin2yxx的最大值与最小值之和为_. 7若2tan(),45则tan_. （二）三角函数式的化简与求值例 1 1.0000cos15sin15cos15sin15；2.00sin50 (13 tan10 ); 3. 求tan70tan503 tan70 tan50值;

6、4.ABC 不是直角三角形，求证：CBACBAtantantantantantan（三）三角函数给值求值问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点1. 已知 cos( 6)sin 453，则 sin( 76)的值是 _; 2. 已知54cos(),cos,135均为锐角，求 sin的值。3.33350,cos,sin4445413，求sin的值（四） 三角函数给值求角问题1. 若 sinA=55,sinB=1010,

7、且 A,B 均为钝角 , 求 A+B的值 . 2. 已知,(,)2 2，且tan,tan是方程23 340 xx的两个根，求3.已知， ，均为锐角，且1tan2，1tan5，1tan8，则+的值（）643544. 已知1tan7,1tan3,并且,均为锐角，求2的值 . （五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010 北京 ) 已知函数2( )2cos 2sinf xxx. (1) 求()3f的值； (2) 求( )f x的最大值和最小值2. 已知函数( )2sin()cosf xxx. (1) 求( )f x的最小正周期； (2) 求( )f x在区间,62上的最大值和最小

8、值； （3）求函数在(,)的单调区间。三、解题方法分析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例 1 设2132 tan13sin 50cos6sin 6 ,221tan 132cos 25abc则有（）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=2sin21，cos=2sinsin2，2cossincos22，2tantan-12tan2，精品资料 - - - 欢迎下载 -

9、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点2)cos(sincossin21，2cos22cos1，2sin22cos1，22cos1sin,22cos1cos22，tan tan =tan( +)(1- tantan )等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba22即 asinx+bcosx=)xsin(ba22（其中tanba）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin cosx，sinx 3co

10、sx，要熟练掌握其变形结论。2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2 已知243，cos（）=1312，sin （+）=53，求 sin2 的值 （6556（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2 =（） +（+） ）例 2 解答：例 3化简： 2sin50 +sin10（ 1+3tan10） 2sin 80 【解析】：原式 = =3【点评】：本题属于“理解

11、”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看

12、作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4：已知 sin （+）=32，sin （）=43，求2tan()tantantantan()的值 。【解析】2tan()tantantantan()=2tan()tan()(1tantan)tantan()=tantan=17 【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例 5

13、：若,22sinsin求coscos的取值范围。【解析】：令coscost，则2221(sinsin)(coscos ),2t【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子coscos看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例 6：已知：向量(3,1)a，(sin 2 ,bxcos2 )x，函数( )f xa b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

14、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点（1）若( )0f x且 0 x，求x的值；12x或712（2）求函数( )f x取得最大值时，向量a与b的夹角【解析】：( )f xa b3sin 2cos2xx（2）2sin(2)6xmax( )2f x，当( )2f x时，由| | cos,2a baba b得cos,1| |a ba bab，0,a b,0a b【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力 . 四、课堂练习1sin1

15、65o = （） A21 B23 C426 D4262 sin14ocos16o+sin76ocos74o 的值是 （） A 23 B21 C23 D213 已知(,0)2x，4cos5x， 则x2t a n（） A 247 B 247 C724 D7244化简 2sin （4x）sin （4+x） ，其结果是（）sin2xcos2x cos2x sin2x 5sin123cos12的值是 （）A0 B 2 C2 D 2 sin1256)(75tan75tan12的值为A32 B332 C 32 D 3327若3cos25，4sin25，则角的终边一定落在直线（）上。A7240 xy B724

16、0 xy C 2470 xy D 2470 xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点8._sinsincoscos915tan115tan110tan20tan403 tan20 tan40的值是 . 11求证：2cos1sin24cottan22 12已知1tan23，求 tan的值13已知,135)4sin(,40 xx求)4cos(2cosxx的值。14若,0A, 且137cossinAA, 求AAAAcos7

17、sin15cos4sin5的值。15在 ABC中，若 sin Asin B=cos22C，则ABC是（ ）A等边三角形 B等腰三角形C 不等边三角形 D直角三角形16化简2cos2sin12cos2sin117. 求证：tan1tan1sincoscossin2122a18 已知 sin =1312，sin （+）=54， 与 均为锐角，求 cos. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -