2022年三角函数周期的几种求法 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。 本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地 c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（ T）（）都成立，那么就把函数 ()叫做周期函数； 不为零的常数叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数来说， 如果在所有的周期中存在着一个最小的正数， 就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例 1求函数 y=3sin （332x）的周期解： y=f （x）

2、=3sin （332x）=3sin （332x+2）=3sin （3232x）=3sin3)3(32x = f（x+3 ）这就是说，当自变量由增加到x+3 ，且必增加到 x+3时，函数值重复出现。函数 y=3sin （332x）的周期是 T=3 。例 2：求 f （x）=sin6x+cos6x 的周期解f （x+2）= sin6（x+2）+ cos6（x+2） = cos6x +sin6x= f （x）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -

3、- 学习好资料欢迎下载f （x）=sin6x+cos6x 的周期为 T=2例 3：求 f （x）=xxxx3coscos3sinsin的周期解：f （x+）=)cos()cos()(3sin)sin(xxxx=xcoxxx3cos3sinsin=xxxx3coscos3sinsin= f （x）求 f （x）=xxxx3coscos3sinsin的周期： T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （x） 、y=Acos（x） 、tg（x）形成（其中 A、 、 为常数，且 A 0、0、R） ，则可知道它们的周期分别是：2、2、。例 4：求函数 y=1-sinx+3cosx 的周期解

4、： y=1-2（21 sinx-23cosx）=1-2（cos3sinx-sin3 cosx ）=1-2sin （x-3）这里=1 周期 T=2例 5：求：y=2（23sinx-21cos3x）-1 解： y=2（23sinx-21cos3x）-1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载=2sin （3x-6）-1 这里=3 周期为 T=32例 6：求 y=tg （1+53 x）的周期解：这里=53，周期为： T= /

5、53=35（2）如果 f （x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成 sinx、cosx、tgx 的形式，再确定它的周期。例 7：求 f （x）=sinx cosx 的周期解： f （x）=sinx cosx=21sin2x 这里=3，f （x）=sinx cosx 的周期为 T=例 8：求 f （x）=sin2x 的周期解：f （x）=sin2x=22cos1x而 cos2x 的周期为，f （x）=sin2x 的周期为 T=注：以上二题可以运用定义求出周期。例 9：求 y=sin6x+ cos6x 的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x = （

6、sin2x+ cos2x） （sin4x-sin2xcos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x =1-43 sin22x =85+83cos4x 而 cos4x 的周期为 T=42=2, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载y= sin6x+ cos6x 的周期为 T=2例 10：函数 y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x

7、 的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x =3-23sinx cosx+2cos2x =3-3sin2x+cos2x+1 =4+2(21cos2x-23sin2x =4+2cos(2x+3) y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x 的周期为 T=223定理法：如 果 f(x)是 几 个 周 期 函 数 代 数 和 形 式 的 ， 即 是 ： 函 数f(x)=f1(x)+f2(x) ，而 f1(x) 的周期为 T1, f2(x) 的周期为 T2，则 f(x)的周期为 T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N

8、，且（ P1、P2）=1 事实上，由2121PPTT（既约分数），得 T= P2T1=P1T2f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）P1T2是 f （x）的周期，同理P2T1也是函数 f （x）的周期。例 11：求函数 y=tg6x+ctg8x 的周期。解： y=tg6x 的周期为 T1=6，tg8x 的周期为 T2=8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6

9、页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由 P1T2= P2T1，得21TT=21PP=34，取 P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x 的周期为 T= P1T2=2。例 12：求函数 y=sin2x+sin3x的周期解： sin2x 的周期为 T1= ，sin3x 的周期为 T2=32而21TT=23，即是 T=2T1=3T2，y=sin2x+sin3x的周期为 T=2T1=2例 13：求函数 y=cos3x+sin4x的周期解： cos3x的周期为 T1=6 ，sin4x的周期为 T2=8而438621TT，即是 T=4T1=3T2y=cos3x+sin4x的周

10、期为 T=3T2=24 。类似， y=sin5x-2sin3x的周期为T=30 ，y=tg3+2ctg2的周期为T= 。由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -