2022年南昌大学历年高等数学期末考试试卷 .pdf

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1、南昌大学 20062007学年第二学期期末考试试卷一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 设 aby1,3,2,2,4 ，则当 y时, ab; 当 y时, /ab. 2. 函数( , , )u x y zzxy221的间断点是.3. 设函数 zx yy22, 则dz. 4. 设 G 是一个单连通域,( , )P x y与( , )Q x y在 G 内即有一阶连续偏导数 , 则曲线积分LPdxQdy 在 G 内与路径无关的充要条件是. 二、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 设直线方程为L:xxyyzzmnp000, 平面方程为: AxByCzD0, 若直线与平面

2、平行,则 ( ). (A) 充要条件是 :0AmBnCp. (B) 充要条件是 : ABCmnp. (C) 充分但不必要条件是: 0AmBnCp(D) 充分但不必要条件是: ABCmnp. 2设( ,)zz x y是由方程zxyze所确定的隐函数, 则zx( ). (A)ze11. (B) ze21. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (C)ze11. (D) ze1. 3函数33( ,)3f x yxyxy 的极小值为( ).

3、(A)1. (B)1. (C) 0. (D) 3. 4下列说法正确的是( ). (A)若lim0nnu, 则级数1nnu必收敛 . (B)若级数1nnu发散 , 则必有lim0nnu. (C) 若级数1nnu发散 , 则limnns. (D) 若lim0nnu, 则 级数1nnu必发散 . 5微分方程0ydxxdy的通解是( ). (A)0 xy. (B) yx. (C) yC.(D) xyC. 三、求解下列各题 ( 共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分)1设一平面经过原点及点( , ),63 2M且与平面xyz428垂直 , 求此平面方程 .2设( , ),zf u v而,uy

4、vxy, 且f具有二阶连续偏导数 , 求zx y2. 四、 求下列积分(共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分): 1、计算二重积分xyDed22, 其中 D 是由圆周224xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 所围成的闭区域.2、计算曲线积分2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy, 其中L 是取圆周229xy的正向闭曲线 .五、计算题 ( 共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分):1、 利用高斯公式计算

5、曲面积分xdydzydzdxzdxdy, 其中是长方体：( , ) |,x y zxaybzc000整个表面的外侧. 2、判别正项级数122nnn的敛散性 .六、解下列各题（共2 小题 . 每小题 8 分, 共 16 分） :1、设幂级数11nnnx. (1). 求收敛半径及收敛区间. (2). 求和函数 .2、求微分方程xyyye222的通解 .七、 (6 分)求一曲线方程 , 这曲线通过原点, 并且它在点( , )x y处的切线斜率等于xy2.南昌大学 20062007 学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 设 aby1,3,2,2,4 ，则当 y

6、103时, ab; 当 y6时, /ab. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 2. 函数( , )u x y zzxy221的间断点是( , , ) |x y zzxy22.3. 设函数 zx yy22, 则dz()xydxxy dy222.4. 设 G 是一个单连通域,( , )P x y与( , )Q x y在 G 内即有一阶连续偏导数 , 则曲线积分LPdxQdy 在 G 内与路径无关的充要条件是PQyx.二、 单项选择题

7、( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 设直线方程为L:xxyyzzmnp000, 平面方程为: AxByCzD0, 若直线与平面平行,则 ( A ). (A) 充要条件是 :0AmBnCp. (B) 充要条件是 : ABCmnp. (C) 充分但不必要条件是: 0AmBnCp(D) 充分但不必要条件是: ABCmnp. 2设( ,)zz x y是由方程zxyze所确定的隐函数, 则zx( C ). (A)ze11. (B) ze21. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 37

8、 页 - - - - - - - - - - (C)ze11. (D) ze1. 3函数33( ,)3f x yxyxy 的极小值为( B ). (A)1. (B)1. (C) 0. (D) 3. 4下列说法正确的是( D ). (A)若lim0nnu, 则级数1nnu必收敛 . (B)若级数1nnu发散 , 则必有lim0nnu. (C) 若级数1nnu发散 , 则limnns. (D) 若lim0nnu, 则 级数1nnu必发散 . 5微分方程0ydxxdy的通解是( D ). (A)0 xy. (B) yx. (C) yC.(D) xyC. 三、求解下列各题 ( 共 2 小题 , 每小题

9、 8 分, 共 16 分)1设一平面经过原点及点( , ),63 2M且与平面xyz428垂直 , 求此平面方程 . 解法一 :所求平面的法向量( , ),( , )nnOM41 263 2 . 则( , )( , )( , ,)41 263 24 46. 取( , ,)n2 23. 故所求平面方程为: xyz2230. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 解法二 :设所求平面法向量(,),nA B C则,( , )nOMn41 2

10、 . 于是有,.ABCABC6320420解得 : ,ABCB32. 由平面的点法式方程可知, 所求平面方程为AxByCz0. 将,ABCB32代入上式 , 并约去()B B0,便得：xyz2230. 即为所求平面方程. 2设( , ),zf u v而,uy vxy, 且f具有二阶连续偏导数 , 求zx y2.解:.zy fx2zfy ffxx y222122.fyfxyf22122四、 求下列积分(共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分): 1、计算二重积分xyDed22, 其中 D 是由圆周224xy所围成的闭区域. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

11、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 解: xyDedded2222200.edee2222240012122、计算曲线积分2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy, 其中L 是取圆周229xy的正向闭曲线 . 解: ,QPxxxy2422.QPxy2由格林公式 , 有原式().Dd222 318五、计算题 ( 共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分):1、 利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy, 其中是长方体：( , ) |,x y zxaybzc000整个表面

12、的外侧. 解:,.Px QyRz,PQRxyz111则由高斯公式有原式().dvabc1113精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 2、判别正项级数122nnn的敛散性 . 解:limlimnnnnnnunun113222lim.()nnn311222所以原级数收敛. 六、解下列各题（共2 小题 . 每小题 8 分, 共 16 分） :1、设幂级数11nnnx. (1). 求收敛半径及收敛区间. (2). 求和函数 .解: (1).

13、limlim.nnnnanan111所以收敛半径.R1当 x1时,nn1发散 ; 当 x1时,()nnn111发散 . 所以收敛区间为: (, )1 1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (2). 设和函数为 : ( )nnS xnx11. ( )xxxnnnnS x dxnxdxnxdx1100011.xnnnnxxxx1101故( ).().()xS xxxx2111112、求微分方程xyyye222的通解 . 解:.rrr

14、r2122101xYCC x e12. 2不是特征根 , 所以设特解为 : *xyAe2. 则 ( *),( *)xxyAeyAe2224, 代入原方程得A29. *xye229. 故通解为 : .xxyCC x ee21229七、 (6 分)求一曲线方程 , 这曲线通过原点, 并且它在点( , )x y处的切线斜率等于xy2. 解:依题意 : ,( ).yxyy200则：xyxCe22. 把( )y 00代入上式 , 得 C2. 故().xyex21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页

15、，共 37 页 - - - - - - - - - - 南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 设32 ,2,aijkbijk则 ( 2 ) (3 )ab_.2. 函数2222ln(25)(4)zxyxy的定义域是 _. 3. 设函数(cossin )xzeyxy , 则10 xydz_. 4. 交换累次积分的次序( , )221101yydyf x y dx_. 5. 微分方程2yyx的通解为 _. 二、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 过点(3,0, 1)且与平面375120 xyz平行的平面方程是( ).

16、 (A) 3540 xz. (B) 37540 xyz. (C) 350 xyz(D) 75120 xyz. 2设2uzv, 而2 ,2uxy vyx, 则zx( ). (A)()()()22232xyxyyx. (B) ()222xyyx. (C)()()2232xyxyyx. (D) ()()22222xyyx. 3 设可微函数( , )f x y在点00(,)xy取得极小值 , 则下列结论正确的是( ). (A)0(,)f xy 在0yy 处的导数大于零. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

17、-第 10 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (B)0(,)f xy 在0yy 处的导数等于零. (C)0(,)f xy 在0yy 处的导数小于零. . (D) 0(,)f xy 在0yy 处的导数不存在. 4设 L 为取正向的圆周224xy, 则曲线积分22()()Lxy dxxy dy之值为( ). (A) 0. (B) 4. (C) 4.(D). 5函数( )cosf xx关于x的幂级数展开式为( ). (A) 2421( 1)( 11)nnxxxx(B) 2421( 11)nxxxx. (C) 21( 11)nxxxx. (D) 2421( 1)()2!4!(2

18、 )!nnxxxxn. 三、求解下列各题 ( 共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分)1求与两平面43xz和251xyz的交线平行且过点( 3,2,5)的直线方程 .2设( , ),zf u v而,yuxy ve , 且f具有二阶连续偏导数,求zx y2. 四、 求下列积分(共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分): 1、计算曲线积分222(2 )()yyLxey dxx ey dy, 其中L 是由点( ,0)A a沿上半圆周22(0)xyax a到点(0,0)O的弧段 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

19、 - - - - - - - -第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 2、利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy, 其中为上半球面222zRxy的上侧。五、解下列各题(共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分):1、判定正项级数1!nnnn的敛散性2、设幂级数114nnnxn. (1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数 . 六、计算题（共2 小题 . 每小题 8 分, 共 16 分） :1、求微分方程2109xyyye的通解 .2、( 应用题 ) 计算由平面0z和旋转抛物面221zxy所围成的立体的体积. 七、 (6 分)已知

20、连续可微函数( )f x满足1(0)2f, 且能使曲线积分( )( )xLef x ydxf x dy与路径无关 , 求( )f x.南昌大学 20072008 学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 设32 ,2,aijkbijk则 ( 2 ) (3 )ab18. 2. 函数2222ln(25)(4)zxyxy的定义域是22( ,) 425x yxy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - -

21、3. 设函数(cossin )xzeyxy , 则10 xydz()e dxdy. 4. 交换累次积分的次序：( , )221101yydyf x y dx21110( ,)xdxf x y dy. 5. 微分方程2yyx的通解为：11CxxyCeye或. 二、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 过点(3,0, 1)且与平面375120 xyz平行的平面方程是( B ). (A) 3540 xz. (B) 37540 xyz. (C) 350 xyz(D) 75120 xyz. 2设2uzv, 而2 ,2uxy vyx, 则zx( A ). (A)()()()22232x

22、yxyyx. (B) ()222xyyx. (C)()()2232xyxyyx. (D) ()()22222xyyx. 3 设可微函数( , )f x y在点00(,)xy取得极小值 , 则下列结论正确的是( B ). (A)0(,)f xy 在0yy 处的导数大于零. (B)0(,)f xy 在0yy 处的导数等于零. (C)0(,)f xy 在0yy 处的导数小于零. . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (D) 0(,)f

23、 xy 在0yy 处的导数不存在. 4设 L 为取正向的圆周224xy, 则曲线积分22()()Lxy dxxy dy之值为( A ). (A) 0. (B) 4. (C) 4.(D). 5函数( )cosf xx关于x的幂级数展开式为( D ). (A) 2421( 1)( 11)nnxxxx(B) 2421( 11)nxxxx. (C) 21( 11)nxxxx. (D) 2421( 1)()2!4!(2 )!nnxxxxn. 三、求解下列各题 ( 共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分)1求与两平面43xz和251xyz的交线平行且过点( 3,2,5)的直线方程 . 解: 因为

24、所求直线与两平面的交线平行, 也就是直线的方向向量s与两平面的法向量1n 、2n 都垂直 . 所以取12104(43)215ijksnnijk. 故所求直线方程为325431xyz. 解: 因为所求直线与两平面的交线平行, 也就是直线的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 2设( , ),zf u v而,yuxy ve , 且f具有二阶连续偏导数,求：zx y2.解:uzyfx2yuuuuvzfy fxe fx yyuuuuvfxy

25、fye f四、 求下列积分(共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分): 1、计算曲线积分222(2 )()yyLxey dxx ey dy, 其中L 是由点( ,0)A a沿上半圆周22(0)xyax a到点(0,0)O的弧段 .解:2222 ,.yyPxeyQx ey222,22.yyQPxexexy2.QPxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 连接 OA 构成闭路 OABO, 其围成区域为D. 沿2101:0,2a

26、OAyIxdxa . 1LDQPIdIxy12DdI222112(2).2224aaa2、利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy, 其中为上半球面222zRxy的上侧。解: 记1为平面0z的下侧 . 1,1,1.PQRxyz由高斯公式有原式113032.R0 A（a， 0）B D x y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 五、解下列各题(共 2 小题 , 每小题 8 分, 共 16 分):1、判定正项级数1!nn

27、nn的敛散性解: 11(1)!limlim!(1)nnnnnnunnunnlim1nnnn11lim1.11nnen所以原级数收敛. 2、设幂级数114nnnxn. (1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数 . 解: (1).11lim4.4nnnaRa当14x时, 114nn发散 ; 当14x时, 11( 1)4nnn收敛 . 故收敛区间为 1/ 4,1/ 4).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - - (2).设( )

28、S x114nnnxn. 111111()4(4).14nnnnnSxxxx0011()ln(14 ).144xxSx dxdxxx即1( )ln(14 ).4S xx 1/ 4,1/ 4).(0)0).S六、计算题（共2 小题 . 每小题 8 分, 共 16 分） :1、求微分方程2109xyyye的通解 . 解:2121090.9,1.rrrr912.xxYC eC e2不是特征根 , 所以设2*.xyAe代入原方程得 : 211.*.77xAye故原方程的通解为: 92121.7xxxyC eC ee2、( 应用题 ) 计算由平面0z和旋转抛物面221zxy所围成的立体的体积. 解法一

29、: DVzd22(1)Dxy dxdy21200(1)drrdr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 1240112.242rr解法二 : Vdv2211000rdrdrdz21200(1)drrdr1240112.242rr七、 (6 分)已知连续可微函数( )f x满足1(0)2f, 且能使曲线积分( )( )xLef x ydxf x dy与路径无关 , 求( )f x. 解:( ),( ).xPef xyQf x( ),()

30、.xPQef xfxyx因为曲线积分与路径无关, 所以QPxy. 于是得：()().xfxef x即：()().xfxf xe( )()dxxdxf xeeedxC()xxxeee dxC( 1)().xxedxCeCx由1(0)2f, 得1.2C1( )().2xf xex精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 南昌大学 20082009学年第二学期期末考试试卷一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 已知向量1, 1,4a

31、,3,4,0b,则以a,b为边的平行四边形的面积等于.2.曲面sin coszxy在点1,4 4 2处的切平面方程是. 3.交换积分次序220,xdxfx y dy. 4.对于级数11nna（a0） ，当 a 满足条件时收敛 . 5. 函数12yx展开成x的幂级数为. 二、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 平面20 xz的位置是（）（A）通过 y轴（B）通过 x 轴（C）垂直于 y轴（D）平行于 xoz平面2.函数,zfx y 在点00,xy处具有偏导数00,xfxy，00,yfxy, 是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）

32、必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3. 设cossinxzeyxy ，则10 xydz（）（A）e（B）()e dxdy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - - （C）1()edxdy （D）()xedxdy4. 若级数11nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5.微分方程yxyx的通解是（）（A）2121xye（B）2121xye（C）212xyCe（D）2121x

33、yCe三、 ( 本题满分 8 分) 设平面通过点3,1, 2 ，而且通过直线43521xyz，求该平面方程四、 ( 本题满分 8 分) 设,zfxy xy ，其中,fu v 具有二阶连续偏导数，试求zx和2zx y五、 ( 本题满分 8 分) 计算三重积分yzdxdydz，其中, ,01, 11,12x y zxyz六、 ( 本题满分 8 分)计算对弧长的曲线积分22xyLeds，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 其中 L 是圆

34、周222xyR 在第一象限的部分七、(本题满分 9 分)计算曲面积分3xdydz zdzdxdxdy，其中是柱面221xy与平面0z和1z所围成的边界曲面外侧八、(本题满分 9 分) 求幂级数11nnnx的收敛域及和函数九、(本题满分 9 分) 求微分方程4xyye 的通解十、(本题满分 11 分)设 L是上半平面0y内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2 ，终点为2,3 ，记2221LxIxydxx ydyyy1证明曲线积分I 与路径 L 无关；2求 I 的值南昌大学 20082009 学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 已知向量1, 1,4a,3,

35、4,0b,则以a,b为边的平行四边形的面积等于449.2.曲面sin coszxy在点1,4 4 2处的切平面方程是210 xyz. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 3.交换积分次序220,xdxfx y dy200,ydyfx y dx . 4.对于级数11nna（a0） ，当 a 满足条件1a时收敛 . 5. 函数12yx展开成x的幂级数为10222nnnxx. 二、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1.

36、 平面20 xz的位置是（A）（A）通过 y轴（B）通过 x 轴（C）垂直于 y轴（D）平行于 xoz平面2.函数,zfx y 在点00,xy处具有偏导数00,xfxy，00,yfxy, 是 函 数 在 该 点 可 微 分 的（C）（A）充要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3. 设cossinxzeyxy ，则10 xydz（B）（A）e（B）()e dxdy（C）1()edxdy （D）()xedxdy4. 若级数11nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（D）（A）敛散性不确定（B）发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

37、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 37 页 - - - - - - - - - - （C）条件收敛（D）绝对收敛5.微分方程yxyx的通解是（D ）（A）2121xye（B）2121xye（C）212xyCe（D）2121xyCe三、 ( 本题满分 8 分) 设平面通过点3,1, 2 ，而且通过直线43521xyz，求该平面方程解:由于平面通过点3,1, 2A及直线上的点4, 3,0B，因而向量1, 4,2AB平行于该平面。该平面的法向量为: (5,2,1)(1, 4,2)(8,9, 22).n则平面方程为 : 8(4)9(3)22(0

38、)0.xyz或：8(3)9(1)22(2)0.xyz即：8922590.xyz四、 ( 本题满分 8 分) 设,zfxy xy ，其中,fu v 具有二阶连续偏导数，试求zx和2zx y解:12zf yfx, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 212zf yfx yy111212122fxfyffxf1112122xyfxy fff五、 ( 本题满分 8 分) 计算三重积分yzdxdydz，其中,01, 11,12x y zxy

39、z解:2211201111 232zzdxdydzdxdyzdz六、 ( 本题满分 8 分)计算对弧长的曲线积分22xyLeds，其中 L 是圆周222xyR 在第一象限的部分解法一 :22xyLeds2200Re arcsinRe2RRRRRRxedxRRx解法二 :22xyLedsRRLe dseL （ L 的弧长）Re2R解法三 :令cosxR，sinyR， 02，22xyLeds20Re2RRe Rd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 37 页 - - - - - - -

40、 - - - 七、(本题满分 9 分) 计算曲面积分3xdydz zdzdxdxdy，其中是柱面221xy与平面0z和1z所围成的边界曲面外侧解: Px ,Qz,3R,由高斯公式：3xdydz zdzdxdxdyPQRdvdvxyz八、(本题满分 9 分) 求幂级数11nnnx的收敛域及和函数解: 收敛半径：1lim1nnnaRa易判断当1x时，原级数发散。于是收敛域为1,11211111nnnnxs xnxxxx九、(本题满分 9 分) 求微分方程4xyye 的通解解: 特征方程为：240r特征根为：2r,2r40yy的通解为：2212xxYC eC e精品资料 - - - 欢迎下载 - -

41、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 设原方程的一个特解为：xyAe, 4xxAA ee31A13A原方程的一个特解为：13xye故原方程的一个通解为：221213xxxyYyC eC ee十、(本题满分 11 分)设 L是上半平面0y内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2 ，终点为2,3 ，记2221LxIxydxx ydyyy1证明曲线积分I 与路径 L 无关；2求 I 的值证明 1: 因为上半平面G是单连通域，在G内：21,P x yxyy，22,xQ x yx y

42、y有连续偏导数，且：212Pxyyy，212Qxyxy，PQyx。所以曲线积分I 与路径 L 无关。解 2:设1,2A，2,3B，2,2C，由于曲线积分I 与路径 L 无关，故可取折线路径：ACB。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 2221LxIxydxx ydyyy2221ACxxydxx ydyyy2221CBxxydxx ydyyy2321212974426xdxydyy南昌大学 20092010学年第二学期期末考试试卷一

43、、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 设2,3,5a，,1, 1b若ab，则_.2. 空间曲线cosxt，sinyt， zt在点22,224处的切线方程是_. 3.计算积分220sinyxIdydxx_. 4.设级数1nna 收敛，1nnb 发散，则级数1nnnab必是 _. 5.函数214yx展开成x的幂级数为 _. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 二、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 直线

44、223314xyz与平面3xyz的关系是（）（A）直线在平面上（B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直（D）直线与平面相交但不垂直2函数,zfx y 在点00,xy处可微分，则（）（A）,fx y 在点00,xy处具有连续偏导数（B）,fx y 在点00,xy处不一定连续（C）lim,00 xxyyfx y存在（D）,fx y 在点00,xy的任一邻域内有界3设lnyxz，则01xydz= （）（A）e（B）dxdy（C）dxdy（D）xxeydxedy4若级数13nnnax在1x处收敛，则此级数在4x处 （）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5函数332

45、2339zxyxyx的极大值点为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 37 页 - - - - - - - - - - （A） 1,2（B）3,0（C） 1,0（D）3,2三、 ( 本题满分 8 分)求通过两点11,1,1M和20,1, 1M且垂直于平面1xyz的平面方程四、 ( 本题满分 8 分)设,yzxfxy e，其中,fu v 具有二阶连续偏导数，试求zx和2zx y五、 ( 本题满分 8 分)计算二重积分222DRxy dxdy，其中 D是由圆周22xyRy0R所围成

46、的闭区域六、 ( 本题满分 8 分)计算对弧长的曲线积分231Lxyds，其中 L是直线2yx从点1, 3 到 1, 1 的直线段七、(本题满分 9 分)计算曲面积分333x dydzy dzdxz dxdy，其中是球面2222xyzR 的外侧八、(本题满分 9 分) 求微分方程244xyyye的通解九、(本题满分 9 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 求幂级数41141nnxn的收敛域及和函数十、(本题满分 11 分)

47、已知函数,uu x y 有2222axyxybdudxdyxyxy（1）求a、 b的值；（2）计算2222LaxyxybIdxdyxyxy，其中 L 为221xy取正向南昌大学 20092010 学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题 (每空 3 分，共15 分) 1. 设2,3,5a，,1, 1b若ab，则4 .2. 空间曲线cosxt，sinyt， zt在点22,224处的切线方程是22224222xyz. 3.计算积分220sinyxIdydxx1 . 4.设级数1nna 收敛，1nnb 发散，则级数1nnnab必是发散. 5.函数214yx展开成x的幂级数为21014nnnnx.

48、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 三、 单项选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 直线223314xyz与平面3xyz的关系是（A ）（A）直线在平面上（B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直（D）直线与平面相交但不垂直2函数,zfx y 在点00,xy处可微分，则（C ）（A）,fx y 在点00,xy处具有连续偏导数（B）,fx y 在点00,xy处不一定连续（C）lim,00 xxyyfx y

49、存在（D）,fx y 在点00,xy的任一邻域内有界3设lnyxz，则01xydz= （C ）（A）e（B）dxdy（C）dxdy（D）xxeydxedy4若级数13nnnax在1x处收敛，则此级数在4x处 （D ）（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5函数3322339zxyxyx的极大值点为 （ D ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 32 页，共 37 页 - - - - - - - - - - （A） 1,2（B）3,0（C） 1,0（D）3,2三、 ( 本题满分

50、 8 分)求通过两点11,1,1M和20,1, 1M且垂直于平面1xyz的平面方程解:设已知平面法向量为1n ，则11,1,1n，121,0,2M M取1122, 1, 1nnM M所求平面方程为21110 xyz即20 xyz四、 ( 本题满分 8 分)设,yzxfxy e，其中,fu v 具有二阶连续偏导数，试求zx和2zx y解: 令 uxyyveuzfxyfx22yyuvuuuuvzxfe fxfxy xfe fx五、 ( 本题满分 8 分)计算二重积分222DRxy dxdy，其中 D是由圆周精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归