2022年三角函数知识点和经典例题 .pdf

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1、遂宁市安居区西眉中学高2017 级数学资料（高中数学必修4 第一章三角函数知识点及典型例题）2014 年 11 月 例 1若 A、B、C是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（）.CAsinsin.CAcotcot.CAtantan.CAcoscosA1 B.2 C.3 D.4错解 ：CACAsinsin，CAtantan故选 B错因 ：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解 ：法 1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin,法 2 考虑特殊情形， A为锐角， C为钝角，故排除B、C、D ，所以选 A . 例 2 已知,角的终边关

2、于y轴对称，则与的关系为.错解 ：,角的终边关于y轴对称，22+k2，（)zk错因 ：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称 .正解 ：,角的终边关于y轴对称)( ,22Zkk即)(,2zkk说明 ：（1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)( ,2Zkk（2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)( ,) 12(Zkk（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)( ,Zkk 例 3已知542cos,532sin，试确定的象限 .错解 ：0542cos,0532sin，2是第二象限角，即.,222zkkk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

3、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 从而.,244zkkk故是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角.错因 ：导出2是第二象限角是正确的，由0542cos,0532sin即可确定，而题中542cos,532sin不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2的大小，即可进一步缩小2所在区间 .正解 ：0542cos,0532sin，2是第二象限角，又由43sin22532sin知zkkk,22432zkkk,24234，故是第四象限角 . 例 4 已知角的终边经过)0)(3,4(a

4、aaP，求cot,tan,cos,sin的值.错解 ：ayxrayax5,3,4223434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa错因 ：在求得r的过程中误认为a0正解 ：若0a，则ar5，且角在第二象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa若0a，则ar5，且角在第四象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa说明 ：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论. 例 5（1）已知为第三象限角，则2是第

5、象限角，2是第象限角；（2）若4，则是第象限角 .解：（ 1）是第三象限角，即Zkkk,2322精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - Zkkk,4322，Zkkk,34224当k为偶数时，2为第二象限角当k为奇数时，2为第四象限角而2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上 .（2）因为423，所以为第二象限角 .点评 ：为第一、二象限角时，2为第一、三象限角，为第三、四象限角时，2为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同

6、区域. 例 6 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm，则扇形的弧长cmrl)220(扇形的面积25)5()220(212rrrS所以当cmr5时，即2,10rlcml时2max25cmS.点评 ：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. 例 7 已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1。解：原式2222sin1)sin1 (sin1)sin1(cossin2cossin1sin1又是第三象限角，0cos所以，原式tan2cossin2。点评： 三角函数

7、化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值. 本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简. 例 8若角满足条件0sincos,02sin，则在第（）象限A.一B.二C.三D.四精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 解：0cos0sinsincos0cossin0sincos02sin角在第二象限 . 故选B. 例 9 已知coscos，且0tan.（

8、1）试判断)cos(sin)sin(cos的符号；（2）试判断)coslg(sin的符号 .解：（ 1）由题意，0cos1，0sin10)cos(sin,0)sin(cos，所以0)cos(sin)sin(cos.（2）由题意知为第二象限角，1cossin，所以0)coslg(sin.四、典型习题导练1已知钝角的终边经过点4sin,2sinP，且5.0cos，则的值为） A21arctanB1arctanC21arctanD432角的终边与角 的终边关于y 轴对称，则 为（）A.-B.-C.（2k+1）-(kZ) D.k-（kZ）3. 若 sin tg 0,k Z，则角 的集合为（）A2k2，

9、2k +2 B.( 2k2,2k+2)C.( 2k2，2k+2) k2 D.以上都不对4当 0 x时,则方程 cos (cosx)=0的解集为 ( )A.65,6B.32,3 C.3 D.325下列四个值 :sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是 ( )A.cos3tg3ctg3sine B.sin3cos3tg3ctg3C.cot3tan3cos3sin3 D.sin3tan3cos3cot3 6已知 x(0, 2),则下面四式 : 中正确命题的序号是. sinxxtgx sin(cosx)cosxcos(sinx) sin3x+cos3x1 cos(sinx)sin(cosx)

10、cosx 7有以下四组角：(1)k+2；(2)k-2；(3)2k2；(4)-k+2(k z) 其中终边相同精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 的是（）A.(1) 和(2) B.(1)、(2) 和(3) C.(1) 、(2) 和(4) D.(1)、(2) 、(3) 和(4) 8 若 角 的 终 边 过 点 (sin30 ，- cos30), 则sin 等 于 （）A. 12 B.12 C.32 D.339函数 y=1)3cos(2x的

11、定义域是 _,值域是 _. 三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学三、典型例题导讲例 1已知cot051cossin），则，（，_ 错解 ：两边同时平方，由，与51cossin2512cossin得57cossin2549cossin4)cos(sincossin4coscossin2sin)cos(sin2222.cot53cos54sin，进而可求，解得：43cot或.cot54cos53sin，进而可求，解得：34cot错因 ：没有注意到条件),0(时，由于0cossin所以cossin的值为正而导致错误. 正解：），（，051cossin两边同时平方，有联立，与51cossin025

12、12cossin求出，53cos54sin43cot例 2若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且 a1,0b1，求 tanA 的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 错解 ：由BbABaAcoscossinsin得 tan A=batan B 错因 ：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解 ：由BbABaAcoscossinsin2+2得 a2sin2B+b2cos2B=1 cos2B

13、=2221baasin2B=2221babtan 2B=1122abB 为锐角tan B=1122ab得 tan A=batan B=1122abba例 3若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a的值 . .15,.444111sin),sin(441sin2cos212cos2sincos4cos2)(:2222aaaxaxaxxxaxxxf解之得由已知有满足其中角解点评 ：本试题将三角函数“,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. 例 4已知tan2=2，求（1）tan

14、()4的值；（2）6sincos3sin2cos的值解：（ 1） tan2=2, 22tan2242tan1431tan2; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（2）由(I), tan =34, 所以6sincos3sin2cos=6 tan13tan2=46()173463()23. 点评 ：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同

15、角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. 例 5化简：)()414cos()414sin(znnn错解 ：原式)4(cos)4(sinnn)4cos()4sin()4cos()4(2sin0)4cos()4cos(错因 ：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解 ：原式)4(cos)4(sinnn（1）当)(12zkkn，时原式)4(2sin k+)4(2cos k)4sin()4cos()4cos()4cos(=0 （2）当)(2zkkn，时原式)4(2sin k+)4(2cos k)4sin(+)4cos(=0 例 6若316sin，则232cos=（）A97B31C31D

16、97错解 ：232cos=)23(cos=)23cos(=12)6(sin2=97错因 ：诱导公式应用符号错. 正解 ：232cos=)23(cos精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - =)23cos(=1+2)6(sin2=97.故选 A. 例 7已知51cossin,02xxx. （1）求 sinxcosx 的值；（2）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值 . 解法一 ：（1）由,251cosco

17、ssin2sin,51cossin22xxxxxx平方得即.2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx又,0cossin, 0cos,0sin,02xxxxx故.57cossinxx（2）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx解法二 ：（1）联立方程.1cossin,51cossin22xxx由得,cos51sinxx将其代入，整理得, 012cos5cos252xx.54c o s,53s i n,02.5

18、4c o s53c o sxxxxx或故.57cossinxx（2）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322xxxxxxsincoscossin1sin2sin22125108)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 点评 ：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. 例 8 (1)化 简 ：si

19、n2sec2 11csccos22+cos2 csc2(2) 设 sin( +2)= 14, 且 sin2 0 求 sin ,tan解 ： 原 式 =sin2tan2cos2cot2+cos2 csc2=cos2 +sin2 +cos2 csc2=1+cot2=csc2(2) 解 ： 由 sin( +2)=-14 cos =- 14 sin2 0 2k 2 2k +k k + 2(k z) 为 第 一 象 限 或 第 二 象 限 的 角 cos =- 14 0 为 第 三 角 限 角sin = -1 cos2 154tan = sin cos= 15 点 评 ：本 题 要 求 同 学 们 熟

20、练 掌 握 同 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 ，在 求 值 过 程 中 特 别 注意 三 角 函 数 值 的 符 号 的 探 讨 . 点评： 有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.例 9 已知)3tan(sin,2572cos,1027)4sin(及求. 解法一 :由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9

21、页，共 11 页 - - - - - - - - - - 即57cossin由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722故51sincos由式和式得54cos,53sin.因此，43tan，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan313tan)4tan(解法二： 由题设条件，应用二倍角余弦公式得2sin212cos257解得53sin,259sin2即由57cossin,1027)4sin(可得由于057sincos,0cos57sin且，故在第二象限，于是53sin. 从而5457sincos（以

22、下同解法一）. 点评 ：cossin，cossin，cossin三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cossin22），在求值过程中要注意符号的讨论. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -