2022年三年高考真题精编解析一专题17椭圆及其综合应用 .pdf

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1、1.【2017 浙江， 2】椭圆22194xy的离心率是A133B53C23D59【答案】 B【解析】试题分析：94533e，选 B2.【2017 课标 3，理 10】已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C的离心率为A63B33C23D13【答案】 A【解析】试题分析：以线段12A A为直径的圆的圆心为坐标原点0,0，半径为ra，圆的方程为222xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：222abdaab，整理可得223ab，即222223,23aacac，从而222

2、23cea，椭圆的离心率2633cea，故选 A. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式eca；只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式 (不等式 )两边分别除以a 或 a2转化为关于e的方程 (不等式 )，

3、解方程 (不等式 )即可得 e(e的取值范围 ). 3.【2016 高考浙江理数】已知椭圆C1：22xm+y2=1(m1)与双曲线C2：22xn y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则（）Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn且 e1e2b0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（ 1，32） ，P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上. （1）求 C的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点 .若直线 P2A 与直线 P2B的斜率的和为 1，证明： l 过定点 . 【解析】试题分析：（1）根据3P ，

4、4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点 .另外222211134abab知，C 不经过点P1，所以点 P2在 C上.因此134,P P P在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线 P2A 与直线 P2B的斜率分别为k1，k2，在设直线l 的方程，当 l 与 x 轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l： ykxm （1m） ，将 ykxm 代入2214xy，写出判别式，韦达定理，表示出12kk ，根据121kk列出等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于 y 轴对称，故由题设知C经过3P ，4P 两

5、点 . 又由222211134abab知， C不经过点 P1，所以点 P2在 C上 . 因此222111314bab，解得2241ab. 故 C的方程为2214xy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 222(41)8440kxkmxm由题设可知22=16(41)0km. 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk. 而12121211yykkxx121211kxmkxm

6、xx1212122(1)()kx xmxxx x. 由题设121kk，故1212(21)(1)()0kx xmxx. 即222448(21)(1)04141mkmkmkk. 解得12mk. 当且仅当1m时，0 ，欲使 l：12myxm ，即11(2)2myx，所以 l 过定点（ 2，1）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 8.【2017 课标 II，理】设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P满足2NPNM。(1) 求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线3x上，且1OP PQ。证明：过点P且垂直于OQ 的直线

7、 l 过 C 的左焦点F。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 【答案】 (1) 222xy。(2)证明略。【解析】试题分析： (1)设出点 P的坐标，利用2NPNM得到点 P与点 ,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222xy。(2)利用1OP PQ可得坐标关系2231mmtnn，结合 (1)中的结论整理可得0OQ PF，即 OQPF ，据此即可得出题中的结论。试题解析：（ 1）设00,P x yMxy,设0,0N x, 00,0

8、,NPxxyNMy。由2NPNM得002,2xx yy。因为00,Mxy在 C上，所以22122xy。因此点 P的轨迹方程为222xy。（2）由题意知1,0F。设3,QtP m n,则3,1,33OQtPFmnOQ PFmtn，,3,OPm nPQm tn。由1OP PQ得2231mmtnn，又由（ 1）知222mn，故330mtn。所以0OQ PF，即 OQPF 。又过点P 存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P 且垂直于OQ的直线l过 C 的左焦点F。【考点】轨迹方程的求解；直线过定点问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

9、- - - - - - - -第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 9. 【2017 山东，理 21】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E ：22221xyab0ab的离心率为22，焦距为 2. （）求椭圆E 的方程；（）如图，动直线l ：132yk x交椭圆 E于,A B 两点， C 是椭圆 E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k，M 是线段 OC 延长线上一点，且:2: 3MCAB，M 的半径为MC，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率. 【答案】（I）2212xy. （）SO

10、T 的最大值为3，取得最大值时直线l 的斜率为122k. 【解析】试题分析： （I）本小题由22cea， 22c确定,a b即得 . （）通过联立方程组2211,23,2xyyk x化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定|AB及圆M的半径r表达式 . 试题解析：（I）由题意知22cea， 22c，所以2,1ab，因此椭圆 E的方程为2212xy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 40 页 - - - - - - - - - - （）设1122,A xyB xy，联

11、立方程2211,23,2xyyk x得2211424 310kxk x，由题意知0 ，且1121222112 31,212 21kxxx xkk，所以22112112211181221kkABkxxk. 由题意可知圆M的半径r为2211211182 2321kkrk由题设知1 224k k，所以2124kk因此直线 OC 的方程为124yxk. 联立方程2211,22,4xyyxk得2221221181,1414kxykk，因此2221211814kOCxyk. 由题意可知1sin21SOTrOCrOCr，而212122112118141182 2321kOCkrkkk212211123 24

12、141kkk，令2112tk，则11,0,1tt，因此2223313112221121119224OCtrttttt，当且仅当112t，即2t时等号成立，此时122k，所以1sin22SOT，因此26SOT，所以SOT 最大值为3.综上所述：SOT 的最大值为3，取得最大值时直线l 的斜率为122k. 【考点】 1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 40 页 - - - - - - - -

13、- - 10.【2017 天津，理 19】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称， 直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A） ，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程 . 【答案】（1）22413yx，24yx.（2）3630 xy，或3630 xy. 【解析】试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为12，则12ac，又椭圆的离心率为12，求出, ,c a b，得出椭圆的标准

14、方程和抛物线方程；则(1,0)A，设直线AP方程为设1(0)xmym，解出PQ、两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ所在直线方程，求出点D的坐标，最后根据APD的面积为62解方程求出m，得出直线AP的方程 . 试题解析：（）解：设F的坐标为(,0)c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx. （）解：设直线AP的方程为1(0)xmym，与直线l的方程1x联立，可得点2( 1,)Pm， 故2( 1,)Qm. 将1xmy与22413yx联 立 ， 消 去x， 整 理 得精品

15、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 22(34)60mymy， 解 得0y， 或2634mym. 由 点B异 于 点A， 可 得 点222346(,)3434mmBmm.由2( 1,)Qm，可得直线BQ的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm， 令0y， 解 得222332mxm， 故2223(,0)32mDm. 所 以2222236| 13232mmADmm. 又 因 为APD的 面 积 为62， 故22

16、1626232|2mmm，整理得232 6 | 20mm，解得6|3m，所以63m. 所以，直线AP的方程为3630 xy，或3630 xy. 【考点】直线与椭圆综合问题11.【2017 江苏， 17】如图 ,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限， 过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 E 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标 . 【答案】（1）22143xy（2）4

17、 7 3 7(,)77【解析】 解： （1）设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12ca，228ac，F1 O F2 xy(第 17 题)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 解得2,1ac，于是223bac，因此椭圆E的标准方程是22143xy. （2）由（ 1）知，1( 1,0)F，2(1,0)F. 设00(,)P xy，因为点P为第一象限的点，故000,0 xy. 当01x时，2l与1l相

18、交于1F，与题设不符 . 当01x时，直线1PF的斜率为001yx，直线2PF的斜率为001yx. 因为11lPF，22lPF，所以直线1l的斜率为001xy，直线2l的斜率为001xy，从而直线1l的方程：001(1)xyxy，直线2l的方程：001(1)xyxy. 由，解得20001,xxxyy，所以20001(,)xQxy. 因为点Q在椭圆上，由对称性，得20001xyy，即22001xy或22001xy. 又P在椭圆 E上，故2200143xy. 由220022001143xyxy，解得004 73 7,77xy；220022001143xyxy，无解 . 因此点 P 的坐标为4 7

19、3 7(,)77. 12.【2016 高考新课标1 卷】 （本小题满分12 分）设圆222150 xyx的圆心为A,直线 l过点 B（1,0）且与 x 轴不重合 ,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B作 AC的平行线交AD于点 E. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - - - （I）证明EAEB为定值 ,并写出点 E的轨迹方程；（II）设点 E的轨迹为曲线C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点 ,过 B 且与 l 垂直的直线与圆A 交

20、于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（）13422yx（0y） （II）)38 ,12【解析】试题分析：根据EAEB可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（ II）分斜率是否存在设出直线方程 ,当直线斜率存在时设其方程为)0)(1(kxky,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为 x 斜率 k 的函数 ,再求最值 . 试题解析：（）因为|ACAD,ACEB /,故ADCACDEBD, 所以|EDEB,故|ADEDEAEBEA. 又圆A的标准方程为16)1(22yx,从而4| AD,所以4|EBEA. 由题设得)0 , 1(A,)0, 1(B,2| AB,由椭圆定义可

21、得点E的轨迹方程为：13422yx（0y）. 过点)0 , 1(B且与l垂直的直线m：)1(1xky,A到m的距离为122k,所以1344)12(42|22222kkkPQ.故四边形MPNQ的面积341112|212kPQMNS. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 可得当l与x轴不垂直时 ,四边形MPNQ面积的取值范围为)38 ,12. 当l与x轴垂直时 ,其方程为1x,3|MN,8|PQ,四边形MPNQ的面积为12. 综上 ,

22、四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12. 考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成 , .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用 . 13.【2016 高考山东理数】（本小题满分14 分）平面直角坐标系xOy中，椭圆 C：222210 xyabab 的离心率是32，抛物线 E ：22xy的焦点 F是 C的一个顶点 . （I）求椭圆 C 的方程；（II）设 P是 E上的动点，且位于第一象限

23、，E在点 P处的切线l与 C交与不同的两点A，B，线段 AB的中点为 D，直线 OD与过 P且垂直于 x 轴的直线交于点M. （i）求证：点M 在定直线上 ; （ii）直线l与 y 轴交于点 G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标 . 【答案】 （）1422yx; （） （i） 见解析； （ii）12SS的最大值为49， 此时点P的坐标为)41,22(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - -

24、 - 【解析】试题分析：（）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（） （i）由点 P的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii）分别列出1S，2S面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标 .试题解析：（）（i）设)0)(2,(2mmmP，由yx22可得xy/，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为)(22mxmmy，即22mmxy. 设),(),(),(002211yxDyxByxA，联立方程222241mymxxy得014)14(4322mxmxm，由0，得520m且1442321mmxx，因此142223210mmxxx, 将其代入22mmxy得) 1

25、4(2220mmy，因为mxy4100，所以直线OD方程为xmy41. 联立方程mxxmy41，得点M的纵坐标为M14y，即点M在定直线41y上. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 40 页 - - - - - - - - - - （ii）由（ i）知直线l方程为22mmxy，令0 x得22my，所以)2,0(2mG，又21(,),(0,),22mP mFD) 14(2,142(2223mmmm，所以)1(41|2121mmmGFS，) 14(8) 12(|2122202mmm

26、xmPMS，所以222221) 12() 1)(14(2mmmSS，令122mt，则211) 1)(12(2221tttttSS，当211t，即2t时，21SS取得最大值49，此时22m，满足0，所以点P的坐标为)41,22(，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(. 考点： 1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质 . 14.【2015 江苏高考， 18】 （本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆222210 xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标

27、准方程；（2）过 F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC =2AB，求直线 AB的方程 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 【答案】（1）2212xy（2）1yx或1yx【解析】试题分析（ 1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为22，二是右焦点F到左准线 l 的距离为 3，解方程组即得（2）因为直线AB过 F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关

28、键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用 PC=2AB解出直线 AB斜率,写出直线 AB方程. （2）当x轴时，2，又C3，不合题意当与x轴不垂直时，设直线的方程为1yk x，11,x y，22,xy，将的方程代入椭圆方程，得2222124210kxk xk，则221,2222 112kkxk，C的坐标为2222,1212kkkk，且2222221212122 2 111 2kxxyykxxk

29、若0k，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而0k，故直线C的方程为222121 212kkyxkkk，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 则点的坐标为22522,12kkk，从而2222 311C12kkkk因为C2，所以222222 3114 2 11212kkkkkk，解得1k此时直线方程为1yx或1yx【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系差法 ” 解决，往往会更简单。15.【2016 高考天津理数】 （本

30、小题满分14 分）设椭圆13222yax（3a） 的右焦点为F， 右顶点为A， 已知|3|1|1FAeOAOF，其中O为原点，e为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程；（）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上）， 垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若HFBF，且MOAMAO，求直线的l斜率的取值范围. 【答案】（）22143xy（）),4646,(【解析】试题分析： （）求椭圆标准方程，只需确定量， 由113|cOFOAFA，得113()ccaa ac，再利用2223acb，可解得21c，24a（）先化简条件：MOAMAO| |MAMO，即 M 再 OA中垂线上，1Mx，再利用直

31、线与椭圆位置关系， 联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后根据HFBF，列等量关系解出直线斜率.取值范围试 题 解 析 ： （ 1） 解 ： 设( ,0)F c， 由113|cOFOAFA， 即113()ccaa ac， 可 得2223acc，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 40 页 - - - - - - - - - - （2） （）解：设直线l的斜率为k（0k） ，则直线l的方程为)2(xky

32、.设),(BByxB，由方程组)2(13422xkyyx，消去y，整理得0121616)34(2222kxkxk. 解得2x，或346822kkx，由题意得346822kkxB，从而34122kkyB. 由 （）知，)0 , 1 (F， 设),0(HyH， 有), 1(HyFH，)3412,3449(222kkkkBF.由HFBF，得0HFBF，所以034123449222kkykkH，解得kkyH12492.因此直线MH的方程为kkxky124912. 所以，直线l的斜率的取值范围为),4646,(. 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程16.【2015 高考山东，理20】平面直角坐标系

33、xoy中，已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，左、右焦点分别是12,FF，以1F为圆心以3 为半径的圆与以2F为圆心以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 40 页 - - - - - - - - - - ()求椭圆C的方程；（） 设椭圆2222:144xyEab，P为椭圆C上任意一点， 过点P的直线ykxm交椭圆E于,A B两点，射线PO交椭圆E于点Q. ( i )求OQOP的值；（ii）求ABQ面积的最大值 . 【答案】

34、（I）2214xy； （ II）( i )2； （ii）6 3. 【解析】试题分析：（I）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b的值， 从而得到椭圆的方程； （ II）（i）设00,P xy，OQOP，由题意知00,Qxy，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值 ; （ii）设1122,A x yB xy，利用方程组221164ykxmxy结合韦达定理求出弦长AB，选将OAB的面积表示成关于,k m的表达式222222 1641214km mSmxxk2222241 414mmkk，然后，令2214mtk，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB的面积的最大值，并结合（i）的

35、结果求出 面积的最大值. 试题解析：（I）由题意知24a，则2a,又2223,2cacba可得1b, 所以椭圆 C 的标准方程为2214xy. （II）由（ I）知椭圆 E的方程为221164xy, （i）设00,P xy，OQOP，由题意知00,Qxy因为220014xy, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 又22001164xy，即22200144xy,所以2，即2OQOP. 所以221224 16414kmxxk因为直线y

36、kxm与轴交点的坐标为0,m所以OAB的面积222222 1641214kmmSmxxk222222222 (164)241 41 414kmmmmkkk令221 4mtk,将ykxm代入椭圆 C 的方程可得222148440kxkmxm由0，可得2214mk由可知01t因此22424St ttt,故2 3S当且仅当1t，即2214mk时取得最大值2 3由（ i）知，ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6 3. 17.【2015 高考陕西，理20】 （本小题满分12 分）已知椭圆:22221xyab（0ab）的半精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

37、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 焦距为c，原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为12c（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆:225212xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（I）32； （II）221123xy【解析】试题分析：（I）先写过点,0c，0,b的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（ I）知椭圆的方程，设的方程，联立2222144yk xxyb，消去y，可得12xx和12x x的值，进而可得k，再利用10可得2b的值， 进而可得椭

38、圆的方程试题解析：（I）过点,0c，0,b的直线方程为0bxcybc+-=，则原点到直线的距离22bcbcdabc，由12dc=，得2222abac=-，解得离心率32ca=. (II)解法一：由（ I）知，椭圆的方程为22244xyb+=. (1) 依题意，圆心2,1是线段的中点，且|AB |10=. 易知，不与x轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x=+，代入 (1)得2222(14)8 (21)4(21)40kxkkxkb+-=设1122(, y ),B(,y ),A xx则221212228 (21)4(21)4,.1 41 4kkkbxxx xkk+-+=-= -+精品资料 - -

39、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 由124xx+= -，得28 (21)4,1 4kkk+-= -+解得12k =. 从而21282x xb=-. 于是22212121215|AB |1|410(2)22xxxxx xb. 由|AB |10=，得210(2)10b -=，解得23b =. 故椭圆的方程为221123xy+=. 解法二：由（ I）知，椭圆的方程为22244xyb+=. （2）因此直线方程为1(2)12yx=+，代入 (2)得2248

40、20.xxb+-=所以124xx+= -，21282x xb=-. 于是22212121215|AB |1|410(2)22xxxxx xb. 由|AB |10=，得210(2)10b -=，解得23b =. 故椭圆的方程为221123xy+=. 考点： 1、直线方程； 2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程； 6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 40 页 - - - - - - - - -

41、 - 18.【2016 高考浙江理数】 （本题满分15 分）如图，设椭圆2221xya（a1）. （I）求直线y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用a、k 表示）；（II）若任意以点A（0,1 ）为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 . 【答案】（I）2222211a kka k； （II）202e【解析】试题分析： （I） 先联立1ykx和2221xya， 可得1x，2x， 再利用弦长公式可得直线1ykx被椭圆截得的线段长； （ II）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a的取值范围，进而可得椭圆离心率

42、的取值范围试题解析：（I）设直线1ykx被椭圆截得的线段为，由22211ykxxya得2222120a kxa kx，故10 x，222221a kxa k因此22212222111a kkxxka k（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点，Q，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 满足Q记直线，Q的斜率分别为1k，2k，且1k，20k，12kk由（ I）知，2211221211a kka k

43、，222222221Q1a kka k，故因此222212111112aakk，因为式关于1k，2k的方程有解的充要条件是22121aa，所以2a因此，任意以点0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a，由21caeaa得，所求离心率的取值范围为202e考点： 1、弦长； 2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率19.【2015 高考新课标2，理 20】 （本题满分12 分）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

44、 - - - -第 24 页，共 40 页 - - - - - - - - - - B，线段AB的中点为M()证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由【答案】 ()详见解析；（）能，47或47【解析】 ()设直线:lykxb (0,0)kb，11(,)A xy，22(,)B xy，(,)MMM xy将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，299MMbykxbk于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk所以直线O

45、M的斜率与l的斜率的乘积为定值（）四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k由 () 得OM的 方 程 为9yxk 设 点P的 横 坐 标 为Px 由2229,9,yxkxym得2222981Pk mxk，即239Pkmxk将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmk kxk四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx于是239kmk2(3)23(9)mk kk解得147k，247k因为0,3iikk，1i，2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行

46、四边形【考点定位】 1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系【名师点睛】 ()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取 “ 点差法 ” 或“ 韦达定理 ” 两种方法求解：设端点,A B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点， 并寻找两条直线斜率关系；（） 根据()中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利

47、用2PMxx以及直线l过点(,)3mm列方程求k的值20.【2016 高考新课标2 理数】已知椭圆:E2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k的直线交E于,A M两点，点N在E上，MANA（）当4,| |tAMAN时，求AMN的面积；（）当2 AMAN时，求k的取值范围【答案】（）14449； （）32, 2. 【解析】试题解析： （I） 设11,Mxy， 则由题意知10y， 当4t时，E的方程为22143xy，2,0A. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AM的方程为2yx. 将2xy代入22143xy得27120yy.解得0y或127y，所以11

48、27y. 因此AMN的面积11212144227749. （II）由题意3t，0k，,0At. 将直线AM的方程()yk xt代入2213xyt得222223230tkxttk xt kt. 由22123t kxttk得21233ttkxtk，故22126213tkAMxtktk. 由题设，直线AN的方程为1yxtk，故同理可得22613k tkANkt，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 由2 AMAN得22233ktkkt，即

49、32321ktkk. 当32k时上式不成立，因此33212kktk.3t等价于232332132022kkkkkkk，即3202kk.由此得32020kk，或32020kk，解得322k. 因此k的取值范围是32, 2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 21. 【2015 高考四川， 理 20】如图，椭圆 E：2222+1(0)xyabab的离心率是22，过点 P （0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆 E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆 E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？

50、若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22142xy； （2）存在， Q 点的坐标为(0,2)Q. 【解析】（1）由已知，点(2,1)在椭圆 E上. 因此，22222211,2,2ababcca解得2,2ab. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 40 页 - - - - - - - - - - 所以椭圆的方程为22142xy. 所以，若存在不同于点P的定点 Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q. 下面证明：对任意的直线l，均有|QAPAQB