2022年上海教材高中数学知识点总结2 .pdf

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1、目录一、集合与常用逻辑二、不等式三、函数概念与性质四、基本初等函数五、函数图像与方程六、三角函数七、数 列八、平面向量九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1集合概念元素：互异性、无序性2集合运算全集 U ：如 U=R 交集：BxAxxBA且并集：BxAxxBA或补集：AxUxxACU且3集合关系空集A子集BA: 任意BxAxBABBABAABA注：数形结合 - 文氏图、数轴4四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p原命题逆否命题否命题逆命题5充分必要条件p 是 q

2、 的充分条件：qPp 是 q 的必要条件：qPp 是 q 的充要条件： p? q 6复合命题的真值q 真（假） ? “q”假（真）p、q 同真? “ pq”真p、q 都假? “ pq”假7. 全称命题、存在性命题的否定M, p(x ）否定为 : M, )(XpM, p(x ）否定为 : M, )(Xp精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 二、不等式1一元二次不等式解法若0a，02cbxax有两实根,)(，则02cbxax解集),(02

3、cbxax解集),(),(注：若0a，转化为0a情况2其它不等式解法转化axaax22axaxax或ax22ax0)()(xgxf0)()(xgxf)()(xgxfaa)()(xgxf（a1）)(log)(logxgxfaaf xf xg x( )( )( )0（01a）3基本不等式abba222若Rba,，则abba2注：用均值不等式abba2、2)2(baab求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1奇偶性f(x)偶函数()( )fxf xf(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数()( )fxf xf(x)图象关于原点对称注：f(x) 有奇偶性定义域关于原点对称f(x)奇函数 , 在

4、 x=0 有定义f(0)=0 “奇+奇=奇” （公共定义域内）2单调性f(x)增函数： x1x2f(x1) f(x2) 或 x1x2f(x1) f(x2) 或0)()(2121xxxfxff(x)减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3周期性T是( )f x 周期()( )f x Tf x 恒成立（常数0T）4二次函数解析式： f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x1)(x-x2) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

5、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 对称轴：abx2顶点：)44,2(2abacab单调性： a0，2,(ab递减，),2ab递增当abx2， f(x)minabac442奇偶性： f(x)=ax2+bx+c 是偶函数b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0 四、基本初等函数1指数式)0(10aannaa1mnmnaa2对数式bNalogNab（ a0,a 1）NMMNaaalogloglogNMNMaaaloglogl

6、ogMnManaloglogabbmmalogloglogablglgnaabbnloglogablog1注：性质01loga1log aaNaNalog常用对数NN10loglg，15lg2lg自然对数NNelogln，1ln e3指数与对数函数y=ax与 y=logax定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与 y=logax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）4幂函数12132,xyxyxyxyxy在第一象限图象如下：1010精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页

7、- - - - - - - - - - 五、函数图像与方程1描点法函数化简定义域讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2图象变换平移： “左加右减，上正下负”)()(hxfyxfy伸缩：)1()(xfyxfy倍来的每一点的横坐标变为原对称： “对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx原点轴轴注：)(xfyax直线)2(xafy翻折：)(xfy|( ) |yf x保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx)(xfy(|)yfx保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴翻折到左边y=f

8、(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx3零点定理若0)()(bfaf，则)(xfy在),(ba内有零点（条件：)(xf在,ba上图象连续不间断）注：)(xf零点：0)(xf的实根在,ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf则)(xf在),(ba上有且仅有一个零点二分法判断函数零点-0)()(bfaf？六、三角函数1概念第二象限角)2,22(kk(Zk) 2弧长rl扇形面积lrS213定义rysinrxcosxytan其中),(yxP是终边上一点，rPO4符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式 ： “奇变偶不变，符号看象限”如sin)2(Sin，sin)2/cos(6特

9、殊角的三角函数值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 0 643223sin0 2122231 0 1cos1 2322210 10 tg0 331 3/ 0 / 7基本公式同角1cossin22tancossin和差sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan倍角cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan降幂 cos2=22cos1

10、 sin2 =22cos1叠加)4sin(2cossin)6sin(2cossin3)sin(cossin22baba)(tanba8三角函数的图象性质单调性：)2,2(增), 0(减)2,2(增注：Zky=sinx y=cosx y=tanx 图象sinx cosx tanx 值域-1 ，1 -1 ，1 无奇偶奇函数偶函数奇函数周期22对称轴2/kxkx无中心0,k0,2/k0 ,2/k精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 9解三角

11、形基本关系 ：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos2sinCBA正弦定理 ：Aasin=Bbsin=CcsinARasin2CBAcbasin:sin:sin:余弦定理 ：a2=b2+c22bccosA（求边）cosA=bcacb2222（求角）面积公式 ：S21absinC注：ABC中， A+B+C= ？BABAsinsina2b2+c2 ?A2七、数列1、等差数列定义 ：daann 1通项 ：dnaan) 1(1求和 ：2)(1nnaanSdnnna)1(211中项 ：2cab（cba,成等差）性质 ：若qpnm，则qpnmaaa

12、a2、等比数列定义 ：)0(1qqaann通项 ：11nnqaa求和 ：)1(1)1 () 1(11qqqaqnaSnn中项 ：acb2（cba,成等比）性质 ：若qpnm则qpnmaaaa3、数列通项与前n项和的关系)2()1(111nssnasannn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1向量 加减三角形法则，平行四边形法则BCABAC首尾相接，OCOB=CB共始点中点公式：ADACAB2D是BC中点2 向量 数量积ba=cosba=2121yyxx注：ba ,夹角 ：00 1800精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

13、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ba,同向 ：baba3基本定理2211eea（21,ee不共线 - 基底）平行 ：ba /ba1221yxyx（0b）垂直 ：0baba02121yyxx模 ：a22yx22)(baba夹角 ：cos|baba注：0acbacba（结合律） 不成立cabacb（消去律） 不成立九、复数与推理证明1复数概念复数 ：biaz(a,b)R，实部 a、虚部 b 分类 ：实数（0b） ，虚数（0b） ，复数集C 注：z是纯虚数0a，0b相等 ：实、虚部分别相等共轭 ：biaz模

14、 ：22baz2zzz复平面 ：复数 z 对应的点),(ba2复数运算加减 ： （a+bi ）(c+di)=？乘法 ： （a+bi ） （c+di ）=？除法 ：dicbia=)()(dicdicdicbia=乘方 ：12i，nirrkii43合情推理类比 ：特殊推出特殊归纳 ：特殊推出一般演绎 ：一般导出特殊（大前题小前题结论）4直接与间接证明综合法 ：由因导果比较法 ：作差变形判断结论反证法 ：反设推理矛盾结论分析法 ：执果索因分析法书写格式：要证 A为真，只要证B为真，即证，这只要证 C为真，而已知C为真，故 A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5数学归纳法：(1) 验证

15、 当 n=1 时命题成立, (2) 假设 当 n=k(kN* ， k1) 时命题成立, 证明 当 n=k+1 时命题也成立由 (1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可 ，归纳假设必须使用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 十、直线与圆1、倾斜角范围0,斜率2121tanyykxx注：直线 向上方向 与x轴正方向 所成的 最小正角倾斜角为90时，斜率不存在2、 直线方程点斜式)(00 xxkyy，

16、斜截式bkxy两点式121121xxxxyyyy，截距式1byax一般式0CByAx注意适用范围 ：不含直线0 xx不含垂直x轴的直线不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系 （注意条件）平行12kk且21bb垂直121k k垂直12120A AB B4、距离公式两点 间距离： |AB|=221221)()(yyxx点到直线 距离：0022AxByCdAB5、圆 标准方程 ：222)()(rbyax圆心),(ba，半径r圆一般方程 ：022FEyDxyx（条件是？）圆心,22DE半径2242DEFr6、直线与圆 位置关系注：点与圆位置关系22020)()(rbyax点00,P xy在圆外7、直

17、线截圆所得弦长222ABrd十一、圆锥曲线一、 定义椭圆 ： |PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|) 双曲线 ：|PF1|-|PF2|= 2a(02ab0) 双曲线12222byax(a0,b0) 中心 原点对称轴 ？ 焦点 F1(c,0) 、F2(-c,0) 顶点 : 椭圆 ( a,0),(0, b) ，双曲线 ( a,0) 范围 : 椭圆 -ax a,-by b 双曲线 |x| a ，yR 焦距 ：椭圆 2c（c=22ba）双曲线 2c（c=22ba）2a、2b: 椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率 ：e=c/a 椭圆 0e1注：双曲线12222byax渐近线xaby方程

18、122nymx表示椭圆nmnm.0,0方程122nymx表示双曲线0mn抛物线 y2=2px(p0) 顶点（原点）对称轴（ x 轴）开口（向右）范围 x 0 离心率 e=1 焦点)0 ,2(pF准线2px十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一程序框图二基本算法语句及格式1 输入语句 ：INPUT “提示内容” ；变量2 输出语句 ：PRINT “提示内容” ；表达式3 赋值语句 ：变量 =表达式4 条件语句“IF THEN ELSE ”语句“IF THEN ”语句程序框名称功能起止框起始和结束输入、输出框输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立循环框重复操作以及运算精品资

19、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1 语句ELSE END IF 语句 2 END IF 5 循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO 循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+ .+a1x

20、+a0的求值秦九韶算法 ： v1=anx+an1v2=v1x+an2 v3=v2x+an3vn=vn1x+a0注：递推公式v0=an vk=vk1X+ank(k=1,2,n) 求 f(x) 值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：0111011.)(.akakakakaaaannnnnn十进制数转换成k 进制数：“除 k 取余法 ”例 1 辗转相除法求得123 和 48 最大公约数为3 例 2 已知 f(x)=2x55x4 4x3+3x26x+7，秦九韶算法求f(5) 123248 27 v0=2 48127 21 v1=2 55=5 27 121 6 v2=55

21、4=21213 63 v3=215+3=108 623 +0 v4=10856=534 v5=5345+7=2677 十三、立体几何1三视图正视图、侧视图、俯视图2直观图 ：斜二测 画法X OY=450平行 X轴的线段，保平行和长度平行 Y轴的线段，保平行，长度变原来一半3体积与侧面积V柱=S底h V锥 =31S底h V球=34R3S圆锥侧=rl S圆台侧=lrR)( S球表=24 R4公理与推论确定一个平面的条件：不共线的三点一条直线和这直线外一点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页

22、，共 14 页 - - - - - - - - - - 两相交直线两平行直线公理 ：平行于同一条直线的两条直线平行定理 ：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。5两直线位置关系相交、平行、异面异面直线 不同在 任何一个平面内6直线和平面位置关系aaAI/a7平行的判定与性质线面平行 ：ab，ab,aa，ba,ab面面平行 ：AB，AC平面ABC，aa8垂直的判定与性质线面垂直 ：ABCpACpABp面,面面垂直 ：aa,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直；若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直三垂线定理 ：aPAaAOPO,aAO

23、aPAPO,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的计算异面直线所成的角范围（ 0， 90 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围 0 ， 90定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围 0 ， 180定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离体积法 - 用三棱锥体积公式注：计算过程， “一作二证三求” ，都要写出10立体几何中的向量解法法向量求法 ：设平面 ABC的法向量nr=（ x,y ）0,0,ACnABnACnABn解方程组，得一个法向量nrabaPOAABC精品资料 - - -

24、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 线线角： 设12,n nu r uu r是异面直线12,l l的方向向量，12,ll所成的角为，则21,coscosnn即12,ll所成的角等于21,nn或12,n nruu r线面角：设nr是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，AB与平面所成的角为，则nABnABABn,cossin二面角：设12,n nu r u u r是面,的法向量，二面角l的大小为，则21,coscosnn或21,cosnn即二面角大小等于2

25、1,nn或12,n nru u r点到面距离：若nr是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B，则点A到平面的距离AB ndn?uuu rrr十四、计数原理1.计数原理加法分类 ，乘法分步2排列组合差异 - 排列有序而组合无序公式mnA=)1() 1(mnnn=！)(mnnmnC=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn关系 ：mnmnCmA！性质 ：mnC=mnnCnnnnnnCCCC22103排列组合应用题原则 ：分类后分步，先选后排，先特殊后一般解法 ：相邻问题“捆绑法” ，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”4二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba22

26、2110)(特例1(1)1nrrnnnxC xC xxLL通项rrnrnrbaCT1)210(nr，注rnC- 第1r项二项式系数性质 ：所有二项式系数和为n2中间项二项式系数最大赋值法 ：取1, 1 ,0 x等代入二项式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 十五、概率与统计1古典概型：()mP An（总的基本事件个数包含的基本事件个数A）求基本事件个数：列举法、图表法2几何概型 ：P A积）区域总长度（面积或体积）的区域长度（面积

27、或体A注：试验出现的结果无限个3加法公式 ：若事件A和B互斥，则P ABP AP B1P AP A互斥事件 : 不可能同时发生的事件对立事件 : 不同时发生，但必有一个发生的事件4 常用抽样（不放回）简单随机抽样 ：逐个抽取（个数少）系统抽样 ：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样 ：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）5用样本估计总体众数 ：出现次数最多的数据中位数 ：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数 ：niixnx11方差)(112niixxnS标准差s6频率分布直方图小长方形面积 =组距组距频率=频率各小长方形面积之和为1 众数最高矩形中点的横坐标中

28、位数垂直于x轴且平分直方图面积的直线与x轴交点的横坐标茎叶图 ：由茎叶图可得到所有的数据信息如众数、中位数、平均数等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -