2022年双曲线知识点归纳与例题分析 .pdf

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1、双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e， 当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa ，yRya ，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a, 虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标

2、1(,0)Fc2( ,0)F c1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab ；焦距：122F Fc顶点坐标（a,0 ） (a,0) (0, a,) (0，a) xyP1F2FxyPxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 离心率eace(1) 准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （

3、2l ）的距离为caa2顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为cac2焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为cca2渐近线方程xabyyabx共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB的弦长2212121()4ABkxxx x通径：21AByy精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

4、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）；（2）其标准方程为 x2-y2=C，其中 C 0；（3）离心率 e=2；（4）渐近线 ：两条渐近线y=x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的 比例中项 ；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条 渐近线 之间的线段，必被 P所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线

5、与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a2；（8） 等轴双曲线 x2-y2=C 绕其中心以逆时针方向旋转45后， 可以得到 XY=a2/2， 其中 C 0。所以反比例函数 y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。例题分析：例 1、动点P与点1(0 5)F，与点2(05)F，满足126PFPF，则点P的轨迹方程为（）221916xy221169xy221(3)169xyy221(3)169xyy同步练习一 : 如果双曲线的渐近线方程为34yx，则离心率为（）535453或543例 2、已知双曲线2214xyk的离心率为2e，则k的范围为（）121k0k50k120k同步练习二 : 双曲线22221xy

6、ab的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为例 3、设P是双曲线22219xya上一点，双曲线的一条渐近线方程为320 xy，12FF，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF，则2PF的值为同步练习三 : 若双曲线的两个焦点分别为(02) (0 2)，且经过点(215)，则双曲线的标准方程为。例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (A)x23-y2=1 和y29-x23=1 (B

7、)x23-y2=1 和 y2-x23=1 (C)y2-x23=1 和 x2-y23=1 (D)x23-y2=1 和92x-32y=1 同步练习四 : 已知双曲线的中心在原点，两个焦点12FF，分别为( 5 0)，和(5 0)，点P在双曲线上且12PFPF，且12PF F的面积为 1，则双曲线的方程为（）22123xy22132xy2214xy2214yx例 5、与双曲线116922yx有共同的渐近线，且经过点A32, 3(的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）（A）8 （B）4 （C ）2 （D）1 同步练习五 : 以xy3 为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为（）例 6、下列方

8、程中，以x2y=0为渐近线的双曲线方程是(A)12yx)D(1y2x)C(116y4x)B(14y16x22222222同步练习六 : 双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是 (0，3)，那么 k 的值是例 7、经过双曲线的右焦点 F2作倾斜角为 30的弦AB，（1）求|AB|. （2）F1是双曲线的左焦点，求 F1AB 的周长同步练习七过点（ 0，3）的直线 l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - -

9、 - - - 高考真题分析1.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线C的中心在原点， 焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,A B两点，4 3AB；则C的实轴长为（）()A2()B2 2()C()D【答案】 C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，=，=，解得=2，的实轴长为 4，故选 C. 2. 【2012高考山东文 11】已知双曲线1C：22221(0,0)xyabab的离心率为 2. 若抛物线22:2(0)Cxpy p的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，

10、则抛物线2C的方程为 (A) 28 33xy(B) 216 33xy(C)28xy(D)216xy【答案】 D 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2 且双曲线中 a，b，c 的关系可知，此题应注意 C2的焦点在 y轴上，即（0，p/2 ）到直线的距离为 2，可知 p=8或数形结合， 利用直角三角形求解。3. 【2012高考全国文 10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C xy的左、右焦点，点P在C上，12| 2|PFPF，则12cosF PF（A）14（B）35（C）34（D ）45【答案】 C 【命题意图】 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。 首先

11、运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。4x222xya4xy216a|AB4 322 16a4 3aCab3xy3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 【解析】 解： 由题意可知， 设， 则，故，利用余弦定理可得。4.（20XX年高考湖南卷文科6) 设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A4 B 3 C 2 D 1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。5.【2012高考辽宁文 15】已知双曲线

12、 x2 y2=1,点 F1,F2为其两个焦点， 点 P为双曲线上一点，若 P F1P F2, 则P F1+P F2的值为 _. 【答案】 2 3【命题意图】 本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】 由双曲线的方程可知【点评】 解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。6.【2012 高考江苏 8】 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为【答案】 2。【考点】 双曲线的性质。2,2abc12| 2 ,|PFx PFx12| |22 2PFPFxa12| 4 2,| 2 2PFPF124F F

13、22222212121212(4 2)(2 2)43cos2422 24 2PFPFF FF PFPFPF2221(0)9xyaa320,xya3yxa2a121,2,22,acPFPFa22112224PFPFPFPF22212121221212,(2 )8,24,()8412,2 3PFPFPFPFcPFPFPFPFPFPF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 【解析】 由得。，即，解得。课后作业1双曲线14322yx的实轴长和虑

14、轴长分别是( ) A. 32，4 B.4，32 C.3，4 D. 2，32双曲线12222byax的焦点到它的渐近线的距离等于( ) A. 22bab B.b C. a D. 22baa3如果双曲线的实半轴长为2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为 ( ) A.23 B. 26 C. 23 D.2 4双曲线的渐近方程是xy21，焦点在坐标轴一，焦距为10，其方程为 ( ) A. 152022yx B. 152022yx或152022xy C. 120522yx D. 152022xy5双曲线116922yx的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( ) A.43 B.34 C. 53

15、 D. 356双曲线1251622yx的两条渐近线所成的角是( ) A.54arctan2 B. 45arctan2 C. 54arctan2 D. 45arctan27双曲线12222byax与其共轭双曲线有 ( ) A.相同的焦点 B. 相同的准线 C. 相同的渐近线 D. 相等的实轴长8已知双曲线的渐近线方程为xy43，则此双曲线的（）A焦距为 10 B实轴长与虚轴长分别为8 与 6 22214xymm22=4=4ambmcmm，24= 5cmmeam244=0mm=2m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

16、 - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - C离心率e只能是45或35 D离心率e不可能是45或359等轴双曲线的一个焦点是F1（4，0），则它的标准方程是，渐近线方程是10若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为_ 11若双曲线1366422yx上的一点 P到它的右焦点的距离是8，则到它的右准线之间的距离为12若双曲线的一条渐近线方程为023yx，左焦点坐标为)0,26(，则它的两条准线之间的距离为 _ 13写出满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）双曲线的两个焦点是椭圆16410022yx的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个

17、焦点： _ （2）双曲线的渐近线方程为xy，两顶点之间的距离为2:_ 14双曲线的其中一条渐近线的斜率为72，求此双曲线的离心率 _ 15已知双曲线)0( 122mmyx的右顶点为 A，而 B、C是双曲线右支上的两点，如果ABC是正三角形，则m的取值范围是 _ 16设圆过双曲线116922yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _ 17已知双曲线191622yx上一点 M到左焦点 F1的距离是它到右焦点距离的5 倍，则 M点的坐标为_ 18已知直线l过定点（ 0，1），与双曲线122yx的左支交于不同的两点A、B，过线段 AB的中点 M与定点)0,2(P的直线交

18、y轴于), 0(bQ，求b的取值范围 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 19已知双曲线116822yx（1）过右焦点 F2作一条渐近线的垂线（垂中为A），交另一渐近线于 B点，求证：线段 AB被双曲线的左准线平分；（2）过中心 O作直线分别交双曲线于C、D两点，且1CDF)(1为左焦点F的面积为 20，求直线 CD的方程。20P为双曲线12222byax（0, 0 ba）上一点，xPM轴于 M ，射线 MP交渐近线于 Q 。求证：22MPMQ是定值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -