2022年三角函数知识点归纳2 .pdf

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1、三角函数1.任意角(1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为匡鱼、负鱼、零角. 正角: 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角 按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角?的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第几象限角 . 第一象限角的集合为&片? 360 ak- 360 + 90； eZ) 第二象限角的集合为aW? 360 +90 k-360。+180 J ez第三象限角的集合为a360 +180。v a v 1360 +270； e Z)第四象限角的集合为a W ? 360 + 270 v a v k ?

2、 360 + 360。, keZ终边在 % 轴上的角的集合为(a = k-l80终边在y轴上的角的集合为a|a = k ? 180 +90：k ez终边在坐标轴上的角的集合为a” = k? 90 ,2Z终边与角a相同的角可写成a +1 360。( MZ).终边与角a相同的角的集合为制0 = k? 360 +a,“ z(3)弧度制?1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 . 弧度与角度的换算：360 =2n弧度 ;180=卫_弧度. 半径为r的圆的圆心角 &所对弧的长为 /, 则角Q的弧度数的绝对值是a = ! 若扇形的圆心角为a(a为弧度制 ) ，半径为r,弧长为 /, 周

3、长为C,面积为S,贝lj/ = r|, C = 2r+/, 2.任意角的三角函数定义设a是一个任意角，角a的终边上任意一点P(x, y),它与原点的距离为心胡宀円, 那么角Q的正弦、余a= tan a =函数值在各象限的符号?规律概括为: 一 ?全疋亠二疋弦、三疋切 - 四余弦 )WO弦 正切分别是：sin a=-精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 3.特殊角的三角函数值；word角度030456090120135150180270

4、360角a的弧度0n/6n/4n/3n/22n/33 n/45n/6n3n/22nsina01/2J 2/2J 3/21J3/2J 2/21/20-10cosa1J 3/2J 2/21/20-1/2-J 2/2-J 3/2-101tana0J 3/3173-J3-1-J 3/300二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系平方关系：sin? +cosGn；( 在利用回角二角函 ?数的平方差系肘若开方- 要特别注意判 ?断符号 ;! (2)商数关系：sin =tan a. (3)倒数关系：tana? cotG = l cos a2.诱导公式公式一：sin( a+2

5、/rn) =sin a, cos ( a +2Wn) =cos_ a , tan(z 4- 2k7r) = tan a其中斤丘乙公式二：sin(n + a) = sin_ a , cos (n + a) = cos_ a , tan(n 4- a) = tan a. ;r_a) = _tana ?公式四：sin ( a) = sin_ a , cos( a) =cos_ a 9 tan(a) = (ana?诱导公式可概括为k a的各三角函数值的化简公式. 口诀：奇变偶不变，符号看象限. 其中的奇、偶是指今的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化. 若是奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，

6、余弦变正弦) ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把a看成锐角时，根据A-v 士a在哪个象限判断原三角函数值的符号，? ? ?Z ? ? ?最后作为结果符号 . B.方法与要点个口诀1. V.M#公式的 -记忆口块为匸奇变偶丕变几符号- 養象限 : .2、 四种方法在求值一与化简肘丄常用方法有丄(1)弦切互化法：主要利用公式tan =込旦化成正、余弦. . cos a ；. 和积转换法：利用(sin &土cos )2=1 2sin &cos &的关系进行变形、转化.公式三：sin(n a) =sin a , cos(rr a) = cos_ a , tan( 公式五 : nn公式六

7、: 22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - sinG + cos&、sina-cosa、sinacosa三个式子知一可求二）43 M1为word格式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ；word(3)巧用U1n的变换 :1 =sin2 +cos26= sin = tan号

8、 . 2 . 4三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法( 如y = |sin.v|与y = |cosx|的周期是兀 ) 。3会判断三角函数奇偶性4会求三角函数单调区间5知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道y = Asin(e.x ? + 0), y = Acos(a)x +(p), y = Atan(ov + ?)的简单性质2%正弦函数y = sinx(xR)%余弦函数y = cosx(xe/?)的性质：(1)定义域：都是R。(2)值域：都是-1,1, 对y = sinX,当x = 2Qr +兰(k wZ)时，y取最大值

9、1；当尤=2兀+三伙uZ)时，y取最小值一1；2 2 对卩 =COSA-,当x = 2k7r(k eZ)时，y取最大值1,当x = 2Qr+;r(k wZ)时，y取最小值一1。(3)周期性：y = sinx , y = cosx的最小正周期都是；(4)奇偶性与对称性：正弦函数y = sinx(xeR)是奇函数，对称中心是(Qr,O)(RwZ),对称轴是直线x = k + -(keZ)i2 兀、余弦函数y = cosx( “/?)是偶函数，对称中心是炽+牛0 (Z),对称轴是直线x = k7r(keZ)；( 正( 余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于X轴的直线，对称中心为图象与X轴的

10、交点 ) 。(5)单调性：龙次式化切法匚已知na = k，则asina + bcosa msina + ncosaa tan a + h m tan a + nak + b mk + n4兀卫-十/ 各- 沐2 = (-) 知识要点梳理1.正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y = sinx和余弦函数y = cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - y = sin x 在一f + * 兀,壬

11、+ 2k 兀仏eZ)上单调递增，在彳+ 2炽, 琴+ 2愿(keZ)单调递减 ; V 为word恪式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ；wordy = cosx在-;r + 2Qr,2Qr(Z)上单调递增 . 在2Qr,23+;r(Z)上单调递减。特别提醒，别忘了RwZ ! 3、正切函数y = tan x的图象和性质：(1)定义域： + eZ。(2)值域是R,无最大值也无最小值；(3)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是冷,0；(

12、 “Z),特别提醒：正 ( 余) 切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(4)单调性：正切函数在开区间+ 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。 2 0, 0)的性质。(1)定义域：R (2)值域：卜扎A (3)周期性：丁 = 2兰I co I jx) = Asn(cox +(p)和/(X)= 4COS(0￥ + 0)的最小正周期都是T = fW = Atan(OY + 0 )的最小正周期都是T = 。(4)单调性：函数y=Asin ( x+ ) (A0, co 0)的单调增区间可由2k兀一x+ k

13、Wz解得；2 2 单调减区间可由2斤穴+兰 W “+ W2k7t +注、AGz解得。2 2 在求y = Asin(ex + 0 )的单调区间时，要特别注意A和 Q的符号，通过诱导公式先将。化正。如函数y = sin(-2x + )的递减区间是 _ ( 答：- 青+如青+肋(ke： Z)sin( 2x+壬) 的递増区间，由 -手+2亦W2勿- 罟今+2阪尿Z得-=十胁We 斗十阪展Z ,所以y的递减区间是 - 寻+血, 詈+血(A：G Z)、知识要点1、 几个物理: 振幅：A ;周期：T =；频率： / = 丄=皀；相位：cox+(p ；初相：(p.coT 2兀2、函数y = Asin (Q ￥

14、 + 0)表达式的确定：A由最值确定；6；由周期确定；0由图象上的特殊点确定. 函数y = Asin(ax+0 )+ E ,当X= V 时，取得最小值为；当v = x2时，取得最大值为儿-, 则1 1 T A = 7( max-min) B =于( 凡和 + ) 贏) =勺一為 (西 勺) 解析：y= sin ( 一2? + 彳)=sin 一(2龙 + 彳)函数y = A sin (ox+(tana + tan/? = tan(7+/7)(l-tan6Ztan/7) ；3、函数y = Asin（cox+（p）图象的画法：“五点法”设X=cox +（p1令X=0,可, 兀, 琴,2龙求出相应的x

15、值, 2 2 计算得岀五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y=sinx的图象经变换可得到y = Asin（co.v +（p）（ 30）的图象横坐标，?左（右）_ y = Asintav - r-r伸（缩）丄倍平移网CD 3左（右）y = Asin （;v + 0）横坐标 平移丽 A5、函数y = Asin（cox + （p） + b的图象与y = sin x图象间的关系：函数y = sinx的图象向左（00）或向右（00 ）或向下（bvO）平移Ibl个单位，得到y = Asin （?x + 0）+ Z?的图象。要特别注意，若由y = sin（y = Asin

16、( QT+0)纵忖sin兀伸（缩）A借伸（缩）丄倍co左精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ；word解析: 原式二sin 50 ?coZtr 73 sin 10cos 10 coslO*72 icosl0/? + sinlO 9 7 =sin 50 = - : - cos 10 Ein5(T 2“n(3( r + 1(T) _ 2sin4(Tcos40 _ sin8(T cosl 0 cos 10 cosl 0 tan20a +

17、tan40+V3tan20tan40 = _ ；( 答案：羽)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin2a = 2sinacosa. = lsin2a = sin2a + cos2 cr 2sinacosa = (sina土cosa) 25n 2n 5n n 90 cos +cos +cosp cos的值等于(2)cos 2a = cos a-sin2a = 2cos2 a 1 = 1 一2sin a=升幕公式1 +cos 2a = 2cos2 a J -cos 2a = 2sin2a3、二弦归一二 把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：asinO + bcos& = +F sin(&

18、 + 0 ) ,其中tan(p = -?a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，学握运算化简的方法? 常用的方法技巧如下：角. 的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往岀现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补, 互奈的吴系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：2a是a的二倍；4a是2d的二倍；a是的二倍；冬是巴的二倍；2 2 4 15 =45-30 =60-45 ：问：sin= ；cos= ；12 12 a = (a + 0)-0；- + ? = -(-?)； 2a = (a + 0) + (a-0) = (? + a)-

19、(?-a)；等等 .4 2 4 4 4 4 4 Ti 3 n 2若cos( a + 0) , cos( a , 且可 a /3(tan a - tan 0 = fan (a-0)(1 +tan a tan 0)?( 答案：I ) =降幕公式cos a =1 + cos 2a2- 1 一cos 2a2 tan 2a = 2 tan al-(an2a( 答案:A) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - i word (3) 赏数代换：在三

20、角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数的代换变形有: 1 = sin2a + cos2a = sin90 = tan45 (4L農的变换 : 降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降扇处理的方法。常用降扇公式有：; _ 。有时需要升强，常用升幕公式有： _ ; _ . 如对无理式Jl+cosa常用升幕化为有理式. 二?L公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如1: cos a cos p一sin a sin 卩=_ ； sin a cos 0 + cos a sin 卩= _ ；tan a + tan 0 =:

21、1 一tan a tan 0 = :tan a一tan 0 =:1 + tan a tan 0 = :sin a cos a =c?a a；2sincos = :2 2cos2 a-sin2a =：2cos2 a-1 = ：2sin2a- =1 + cosa =;1-costz = ;2 tan a =；1-tan2a = ；osin&+bcos& =;( 其中tan(p = ;)?LW角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，髙次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览! 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -