2022年东北三省四市教研协作体高三等值诊断联合考试数学试题 .pdf

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1、2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷( 理科 ) 第卷（选择题，共60 分）一、选择题（本大题包括12 小题，每小题5分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1.已知集合2|20Ax xx，|ln(1|)Bx yx，则()ABIReA. (1,2)B. 1,2)C. ( 1,1)D. (1,22.已知复数1zai()aR（i是虚数单位），3455ziz，则aA. 2B. 2C. 2D. 123.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. cx?

2、 B. xc ? C. cb ? D. bc? 4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. (8)36B. (82 )36C. (6)36D. (92 ) 365.设1130axdx，11201bx dx，130cx dx，则a、b、c的大小关系为A. abcB. bacC. acbD. bca6.在正项等比数列na中，已知1234a a a，45612a a a，11324nnnaa a，则nA. 11 B. 12 C. 14 D. 16 7.直线1l与2l相交于点A，动点B、C分别在直线1l与2l上且异于点A，若ABuuu r与ACuuu r的夹角为60o，2 3BCuuu

3、r，则ABC的外接圆的面积为A. 2B. 4C. 8D. 128.给定命题p：函数sin(2)4yx和函数3cos(2)4yx的图像关于原点对称；命题q：当2xk()kZ时，函数2(sin 2cos2 )yxx取得极小值 . 下列说法正确的是A. pq是假命题B. pq是假命题xa开始输入abc， ，?bxxbxc输出x结束是是否否3122正视图侧视图俯视图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - C. pq是真命题D. pq是真命题9.

4、若两个正实数, x y满足211xy，并且222xymm恒成立， 则实数m的取值范围是A. (, 24,)UB. (, 42,)UC. ( 2,4)D. ( 4,2)10.已知直线0 xyk(0)k与圆224xy交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有3|3OAOBABuuu ruuu ru uu r，那么k的取值范围是A.(3,)B.2,)C.2, 2 2)D.3,22)11.如图，等腰梯形ABCD中，/ABCD且2ABAD，设DAB，(0,)2，以A、B为焦点， 且过点D的双曲线的离心率为1e；以C、D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为2e，则A. 当增大时，1e增大，12e e为定值B.

5、当增大时，1e减小，12e e为定值C. 当增大时，1e增大，12e e增大D. 当增大时，1e减小，12e e减小12.对于非空实数集A，记*|,AyxA yx. 设非空实数集合M、P满足：MP，且若1x，则xP. 现给出以下命题：对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有*PM；对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有*MPI；对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有*MPI；对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的*bM，恒有*abP，其中正确的命题是A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考

6、题， 每个试题考生都必须作答，第 22 题24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题 ( 本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13.若实数, x y满足11211xyxyx，则1yx的取值范围是 _. 14.ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若222acb，且sin6cossinBAC，则b的值为 _. ABDC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 15.若一个正四面

7、体的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS_. 16.定义在R上的函数( )f x满足( )(5)16f xf x，当( 1,4x时，2( )2xf xx，则函数( )fx在0, 2013上的零点个数是_. 三、解答题（本大题包括6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12 分）函数( )sin()(0,0,)()22f xAxAxR的部分图像如图所示. 求函数( )yf x 的解析式； 当,6x时，求( )f x 的取值范围 . 18.（本小题满分12 分）数列na的前n项和是nS，且112nnSa. 求数列na的通项公式； 记23lo

8、g4nnab，数列21nnbb的前n项和为nT，证明：316nT. 19.（本小题满分12 分）如图， 在三棱柱111ABCA B C中，侧面11AAC C底面ABC，112AAACAC，ABBC，ABBC，O为AC中点 证明：1AO平面ABC； 求直线1AC与平面1A AB所成角的正弦值； 在1BC上是否存在一点E，使得/OE平面1A AB?若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由 . 20.（本小题满分12 分）已知椭圆 C:22221(0)xyabab的离心率为22，其左、右焦点分别为1F、2F，点P是坐标平面内一点，且7|2OPuuu r，1234PFPFu uu r u uu u

9、r，其中O为坐标原点 . 求椭圆 C的方程； 如图，过点1(0,)3S，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由21.（本小题满分12 分）已知函数2( )(22)xf xeaxx，aR且0a. Oxy6132xyASOBOCBAC1B1A1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 若曲线( )yf x在点(2,(2)Pf处的切线垂直于y轴

10、，求实数a的值； 当0a时，求函数(|sin|)fx的最小值； 在的条件下，若ykx与( )yf x的图像存在三个交点，求k的取值范围 .请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10 分）选修 41：几何证明选讲.如图，已知O 和M 相交于 A、B 两点， AD 为M的直径， 直线 BD交O 于点 C，点 G 为?BD中点，连结 AG 分别交 O、BD 于点 E、F，连结 CE 求证：GDCEEFAG； 求证：.22CEEFAGGF23.（本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲 . 已知曲线C的极坐标方程为4cos，以极

11、点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为35212xtyt（t为参数） . 求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； 设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积 . 24.（本小题满分10 分）选修 45：不等式选讲 . 设函数( )|1|2|f xxxa. 当5a时，求函数)(xf的定义域； 若函数)(xf的定义域为R，试求a的取值范围 . 2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1. B 2. B 3. A 4. A 5. A

12、 6. C 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 12. C 简答与提示：1.B由220 xx可 得12x， 又ln(1 |)yx中1 | 0 x， 则1 |x即11x，则|11 Bx xx或Re -，因此()1,2)ABIRe，故选 B. 2.B 由题意可知：2222221(1)1212341(1)(1)11155aiaiaiaaaiiaiaiaiaaa，因此221315aa，化简得225533aa，24a则2a，由22415aa可知0a，仅有2a满足，故选B. 3.A由于要取a，b，c中最大项，输出的x应当是a，b，c中的最大者，所以应填AOMGFEDBC精品资料 - -

13、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 比较x与c大小的语句cx，故选 A. 4.A 该几何体由底半径为1 的半圆锥与底面为边长等于2 正方形的四棱锥组成，且高都为3，因此该几何体体积为28311134 313223323636V，故选 A. 5.A由题意可计算得11111231330003312213xaxdxx；131212002111103332xbx dx；141300144xcx dx，综上abc，故选 A. 6.C由3312314a a aa

14、 q与312456112a a aa q可得93q，333111324nnnnaaaaq，因此36436813nqq，所以14n，故选 C. 7.B由题意ABC中60BAC，2 3BC，由正弦定理可知232sin32BCRA，由此2R，24SR，故选 B. 8.Bp命题中3cos(2)cos(2)cos(2)44224yxxxsin(2)4x与sin24yx关于原点对称，故p为真命题；q命题中2 sin 2cos22sin24yxxx取极小值时，2242xk，则38xk()kZ，故q为假命题，则pq为假命题，故选B. 9.D2142(2 )228yxxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即22

15、4yx时等号成立 . 由222xymm恒成立，则228mm，2280mm，解得42m，故选 D. 10.C当3|3OAOBABuuu ruu u ru uu r时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OAOB，120AOBo，从而圆心O到直线0 xyk(0)k的距离为1，此时2k；当2k时3|3OAOBABuu u ruuu ru uu r，又直xyAOB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 线与圆224xy存在两交点，故22k

16、，综上k的取值范围为2, 2 2，故选C. 11.B由题可知：双曲线离心率1|ABeDBDA与椭圆离心率2|CDeBDBC设| |ADBCt则| 2ABt，|22 cosCDtt，|54cosBDt，1254cos1e，222cos54cos1e，0,2时，当增大，cos减小，导致1e减小 . 12222cos154cos154cos1e e. 故选 B. 12.C对于，假设1|02MPxx，则*1|2Mx x，则*MPI，因此错误；对于，假设1|02MPxx，则12M，又*12P，则*MPI，因此也错误，而和都是正确的，故选C. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13

17、. 1,514. 3 15. 6 316. 604简答与提示：13.由题可知1( 1)0yyxx， 即为求区域内的点与(0, 1)点连线斜率k的取值范围，由图可知1,5k. 14.由正弦定理与余弦定理可知，sin6cossinBAC可化为22262bcabcbc，化简可得22223()bbca，又222acb且0b，可计算得3b. 15.设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为2213434Saa，其内切球半径为正四面体高的14，即1664312raa，因此内切球表面积为22246aSr，则212236 36SaSa. 16.由( )(5)16f xf x，可知(5)( )16f xf x，则(

18、5)(5)0f xf x，所xyO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 以( )f x是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期( 1,9上，函数2( )2xf xx在( 1,4x区间内有 3 个零点，在(4,9x区间内无零点，故( )f x在一个周期上仅有3 个零点，由于区间(3,2013中包含 201 个周期，又0,3x时也存在一个零点2x，故( )f x在0, 2013上的零点个数为3 201 1604. 三、解答题（本大题必做

19、题5 小题，三选一中任选1 小题，共70 分）17. (本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】 解： (1)由图像得1A，24362T，所以2T，则1；将(,1)6代入得1sin()6，而22，所以3，因此函数( )sin()3f xx；(6 分) (2) 由于,6x，2336x，所以11sin()32x，所以( )f x 的取值范围是1 1,2.( 12 分) 18.(本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技

20、巧.【试题解析】 解：(1)由题11112nnSa112nnSa-可得1111022nnnaaa，则113nnaa. (3 分 ) 当1n时11112Sa，则123a，则na是以23为首项，13为公比的等比数列，因此111212( )333nnnnaaq. (6 分 ) (2)2233loglog 324nnnabn，(8 分 ) 所以211111 11()22(2)4(2)82nnbbnnn nnn，(10 分) 1 1111111111113()(1)8 1324112821216nTnnnnnnL(12 分) 19.(本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平

21、面几何的基础知识. 同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构. 本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 运算求解能力 . 【试题解析】 解： (1) 112AAACAC，且 O 为AC中点，1AOAC，又侧面11AA C C底面ABC，交线为AC，11AOA AC面，1AO平面ABC. (4 分) (2) 如图，以

22、O 为原点，分别以OB、OC、1OA所在直线为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知(1,0,0)B，(0,1,0)C，1(0,0,3)A，(0, 1,0)A. 1(0,1,3)ACuuu r，令平面1A AB的法向量为( , , )nx y zr，则10n AAn ABr uuu rr uu u r，而1(0,1, 3)AAu uu r，(1,1,0)ABu uu r，可求得一个法向量(3, 3,3)nr，所以111|621|cos,|7| |221n ACAC nnACr u uu ruu ur rru uur，故直线1AC与平面1A AB所成角的正弦值为217. (8 分) (3

23、) 存在点E为线段1BC的中点 . 证明：连结1B C交1BC于点M，连结1AB、OM，则M为1BC的中点，从而OM是1CAB的一条中位线，1/OMAB，而1AB平面1A AB，OM平面1A AB，所以/OM平面1A AB，故1BC的中点M即为所求的E点. (12 分) 20.(本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)设00(,)P xy，由7|2OPuuu r可知220074xy(1 分) 又1234PFPFu uu r u uu u r，00003(,) (,)4cxycxy，即222

24、0034xcy(2 分) 代入得：1c. 又22e，可得2,1ab，故所求椭圆方程为2212xy(4 分 ) (2)设直线1:3lykx，代入2212xy，有22416(21)039kxkx. 设1122(,)(,)A xyB xy、，则121222416,3(21)9(21)kxxx xkk. (6 分) 若y轴上存在定点(0,)Mm满足题设，则11(,)MAx ymuuu r，22(,)MBxymuuu r，x A1B C O C1B1y z A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页

25、，共 12 页 - - - - - - - - - - 21212121212()()()MA MBx xym ymx xy ym yymuuu r uuu rg21212121111()()()3333x xkxkxm kxkxm221212121(1)()()339mkx xkmxxm222218(1)(9615)9(21)mkmmk(9 分) 由题意知，对任意实数k都有0MA MBuuu r uuu rg恒成立，即22218(1)(9615)0mkmm对kR成立 . 2210,96150,mmm解得1m，(11 分 ) 在y轴上存在定点(0,1)M，使以AB为直径的圆恒过这个定点. (1

26、2 分) 21.(本小题满分12 分) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等， 以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力 . 【试题解析】 解：由题意得：22( )()(22)(22)xxfxeaxxeaxx22(22)(22)()(2)xxxe axxeaxaexxa；(2 分) (1) 由曲线( )yf x在点(2,(2)Pf处的切线垂直于y轴，结合导数的几何意义得(2)0f，即22(2)(22)a ea22240aaea，解得1a；(4 分) (2) 设|sin|(01)xtt，则只需求当0a时，函数( )

27、(01)yf tt的最小值 . 令( )0fx，解得2xa或2x，而0a，即22a. 从而函数( )f x在(, 2)和2(,)a上单调递增，在2( 2,)a上单调递减 . 当21a时，即02a时，函数( )fx在0,1上为减函数，min(1)(4)yfae；当201a，即2a时，函数( )f x的极小值即为其在区间0,1上的最小值，2min2()2ayfea. 综上可知，当02a时，函数(| sin|)fx的最小值为(4)ae；当2a时，函数(|sin|)fx的最小值为22ae. (8 分) (3) 令2(22)xexxkx，显然0 x，则2(22)xexxkx. 精品资料 - - - 欢迎

28、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 构造函数2(22)( )xexxg xx，2( )(2)(1)(2)xegxxxxx. 令( )0gx得12x，21x，32x，可知：( )g x在(,2)上单调递减，且( )0g x，当x无限减小时，( )g x保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近x轴负半轴；( )g x在(2,0)上单调递增，当x无限接近于0 时，( )g x无限增大，其图像在左侧向上无限接近y轴正半轴，由于极小值2(2)20ge，所以( )g

29、 x在(2,0)内存在一个零点；( )g x在(0,1)上单调递增，在(1, 2)上单调递减，在( 2,)上单调递增， 因此( )g x在1x处取得极大值(1)3ge，在2x处取得极小值2( 2)2ge. 当0 x并无限靠近0 时，( )g x无限减小， 其图像无限靠近y轴负半轴， 当x无限增大时，( )g x也由负值变为正值无限增大，( )g x在区间(2,)内也存在一个零点. 函数( )g x的大致图像如图所示：根据条件ykx与( )yf x的图像存在三个交点，即方程2(22)xexxkx有三个解，直线yk与函数2(22)( )xexxg xx的图像有三个公共点. 因此(2)0gk或(2)

30、(1)gkg，即220ek或223eke，从而k的取值范围是22( 2, 3 )( 2,0)eeeU. (12 分)22.(本小题满分10 分) 选修 4-1：几何证明选讲【命题意图】 本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识 . 【试题解析】 证明(1)：已知 AD 为M 的直径，连接AB，则BAEBCE，90ABCCEF，由点 G 为弧 BD 的中点可知FCEBAEGAD，故CEFAGD，所以有GDEFAGCE，即GDCEEFAG. (5 分) (2)由(1)知ADGCFEDFG， 故AGDDGF， 所以CEEFAGDGDGGF，即.22CEEFAGGF(10

31、 分) 23.(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.xyOkk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【试题解析】 解：(1)对于C：由4cos，得24cos，进而224xyx；对于l：由35212xtyt（t为参数），得1(5)3yx，即350 xy.(5 分) (2)由

32、(1)可知C为圆，且圆心为(2,0)，半径为 2，则弦心距|23 05|321 3d，弦长223|2 2( )72PQ，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积2|3 7SdPQ. (10 分) 24.(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容 . 【试题解析】解：(1) 当5a时，( )|1|2|5f xxx，由|1|2|50 xx得1220 xx或2120 x或2820 xx，解得1x或4x即函数)(xf的定义域为 x|1x或4x. (5 分) (2) 由题可知|1|2 |0 xxa恒成立，即|1|2 |a

33、xx恒成立，而|1|2| | (1)(2) | 1xxxx，所以1a，即a的取值范围为(,1. (10 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -