2022年不等式选讲基本不等式学案及作业含答案 .pdf

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1、第二课时：基本不等式学习目标：1. 学会推导并掌握均值不等式定理；2. 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。学习重点： 均值不等式定理的证明及应用。学习难点： 等号成立的条件及解题中的转化技巧。学习过程：一、知识学习：定理 1：如果a、bR，那么a 2b 22ab（当且仅当ab时取“”号）定理 2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么ab2ab（当且仅当ab时取“”号）说明： 1）我们称ab2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2b 2 2ab和ab2ab成立的条件是不同的：前者只要求a

2、，b都是实数，而后者要求a，b都是正数 . 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义 . 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高二、例题讲解：例 1 求证：（ 1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大。（2）所有周长相同的矩形中，正方形的周长最短。例 2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证：（abcd）（acbd）4abcd例 3、若正数 a、b 满足 ab=a+b+3分别求 ab 和 a+b 的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - -

3、 - - - - 例 4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为 3m ，如果池底每1m2的造价为150 元，池壁每1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是

4、在应用时，应注意定理的适用条件。课时作业 ( 二) 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 30 分) 1. 设 x,y R+, 且满足 x+4y=40, 则 lgx+lgy的最大值为() A.40B.10C.4D.2 2. 设 x,y R,且 x+y=5, 则 3x+3y的最小值为() A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3. 已知等比数列 an的各项均为正数, 公比 q1, 设 P=a3

5、+a92,Q=a5a7, 则 P与 Q的大小关系是() A.PQ B.P0,b0, 且 2a+b=1, 则 S=2ab-4a2-b2的最大值为. 9. 已知 x0,y0 且满足 x+y=6, 则使不等式1x+9y m恒成立的实数m的取值范围为. 三、解答题 (10 11 题各 14 分,12 题 18 分) 10.(2013 苏州高二检测) 已知 a,b,x,y都是正数 , 且 a+b=1, 求证 :(ax+by)(bx+ay)xy. 11. 已知 a,b,x,yR+,x,y为变量 ,a,b为常数 , 且 a+b=10,ax+by=1,x+y 的最小值为18, 求 a,b. 课时作业二答案解析

6、1.【解析】选D.因为 x,yR+,所以 4xy x+4y2,当且仅当x=4y=20时,等号成立 .所以 xyx+4y4=10, 所以 xy 100, 所以 lgx+lgy=lg(xy) lg100=2. 2.【解析】选D.3x+3y2 3x 3y=2 3x+y=2 35=18 3,当且仅当 x=y=2.5时,等号成立 . 3.【解析】选A.由等比知识 ,得 Q=a5a7=a3a9,而 P=a3+a92,且 a30,a90,q 1, a3a9,所以a3+a92 a3a9,即 PQ. 4.【解析】选C.由a+b2 ab得 ab (a+b2)2=1, 当且仅当a=b=1时 ,等号成立 .又 a2+

7、b22ab? 2(a2+b2)(a+b)2? a2+b2 2,当且仅当 a=b=1时,等号成立 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5.【解题指南】利用余弦定理,结合基本不等式求最值. 【解析】选A.设 AC=b, 则 cosC=b2+22-1222b=b4+34b32,因此C 的最大值是6. 6.【解析】选A.当 a=1 时,2x+ax=2x+1x 2 2(当且仅当x=22时取等号 ),所以 a=1 ? 2x+ax1(x0),

8、反过来 ,对任意正数x,如当 a=2 时,2x+ax1 恒成立 ,所以 2x+ax1a=1. 7.【解析】令 ab=t(t0),由 ab=a+b+3 2 ab+3, 则 t22t+3, 所以 t3 或 t -1( 舍去 ),所以 ab3,ab 9,当 a=b=3时取等号 . 答案 :9,+ ) 8.【解析】因为a0,b0,2a+b=1, 所以 4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab, 且 1=2a+b2 2ab,即 ab24,ab 18, 所以 S=2 ab-4a2-b2=2 ab-(1-4ab)=2 ab+4ab-1 2-12,当且仅当 a=14,b=12时,等号成立 . 答案 :

9、 2-129.【解题指南】由已知条件先求得1x+9y的最小值 ,只要 m 小于等于其最小值即可. 【解析】因为x0,y0,1x+9y=x+y6(1x+9y)=16(10 +yx+9xy) 16(10+6)=83, 当且仅当yx=9xy,又 x+y=6, 得 x=32,y=92时取等号 .所以 m 的取值范围是 (- ,83. 答案 :(- ,8310. 【证明】因为a,b,x,y 都是正数 , 所以 (ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2) ab(2xy)+xy(a2+b2)=(a+b)2xy. 因为 a+b=1,所以 (a+b)2xy=xy, 所以 (ax+by)

10、(bx+ay) xy. 11. 【解析】因为x+y=(x+y)(ax+by)=a+b+bxy+ayxa+b+2 ab=( a+ b)2, 当且仅当bxy=ayx时取等号 .又(x+y)min=(a+b)2=18, 即 a+b+2 ab=18, 又 a+b=10, 由可得 a = 2,b = 8或a = 8,b = 2.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -