控制工程基础-5.pptx

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1、5.5.控制系统的频域分析控制系统的频域分析 控制系统的频域分析法是以传递函数为基础的一种分控制系统的频域分析法是以传递函数为基础的一种分析系统性能的图解方法。分析的基点是：给予线性定常析系统性能的图解方法。分析的基点是：给予线性定常系统不同频率下的三角函数输入，系统的稳态响应输出系统不同频率下的三角函数输入，系统的稳态响应输出是相同频率的三角函数，仅是幅值和初相位不同。是相同频率的三角函数，仅是幅值和初相位不同。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析5.1 5.1 基本概念基本概念频域分析法是自动控制理论的重要方法，主要特点是：频域分析法是自动控制理论的重要方法，主要特点是： (1

2、)基于频率特性函数的系统建模和性能分析的物理意义明确；基于频率特性函数的系统建模和性能分析的物理意义明确； (2)利用开环频率特性的图形分析方法，形象、直观，计算量少；利用开环频率特性的图形分析方法，形象、直观，计算量少； (3)适用于纯滞后系统和非线性系统的性能分析适用于纯滞后系统和非线性系统的性能分析。频率响应频率响应：系统对谐波输入信号（即正弦输入信号）的稳态响应，也：系统对谐波输入信号（即正弦输入信号）的稳态响应，也称为谐波响应，或三角函数响应。称为谐波响应，或三角函数响应。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析)()()()()()(21npspspssBssusy不失一般

3、性，线性系统的频率响应可计算如下：不失一般性，线性系统的频率响应可计算如下：系统传递函数系统输入22)(sin)(sAsutAtu系统输出niiiniipscjscjscsApssBsussy1221)()()()()(ipsiijsjspssuscjAjjssuscjAjjssusc)()(,2)()()()(,2)()()()(pi是系统极点)tjtjtnitjpitjtjeccetyececcesyi)()(1可见：在输入为正弦信号时，线性系统的稳态输出也为正弦信号，可见：在输入为正弦信号时，线性系统的稳态输出也为正弦信号，只是输出的幅值是输入幅值的只是输出的幅值是输入幅值的|(j)|倍

4、，输出的初相位倍，输出的初相位()是输出是输出相位相位(tt+ +)与输入相位与输入相位(tt)之差。于是，定义：之差。于是，定义：5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析)()(,)()(,)()()()(jejjejjjj)(sin()(2)(2)(2)()()()()()()(tAjjeeAjejAejejAejeccetytjtjtjjtjjtjtj频率特性函数频率特性函数：系统在正弦信号输入下，其稳态输出与输入之比系统在正弦信号输入下，其稳态输出与输入之比的关于频率的复变函数的关于频率的复变函数，即，即)()(tan)()()()()()()()()()(122)(RIIRj

5、IRjejjjujyj5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 实际上，频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式，仍然实际上，频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式，仍然是反映系统输入是反映系统输入/输出之间关系的数学模型。频率特性函数是关于输出之间关系的数学模型。频率特性函数是关于频率的复变函数，可以有三种表示方式：频率的复变函数，可以有三种表示方式：)()()(IRjj代数形式代数形式指数形式指数形式三角形式三角形式)()()(jejj)(sin)(cos)()(jjj实频特性函数实频特性函数：系统频率特性函数的实部系统频率特性函数的实部R() )虚频特性函数虚频特性函数：系统频

6、率特性函数的虚部：系统频率特性函数的虚部I() )5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析)()(tan)()()(100RItutyj幅频特性函数幅频特性函数：系统频率特性的幅值函数：系统频率特性的幅值函数，即，即)()()()()(22IRtutyj相频特性函数相频特性函数：系统频率特性的相位函数：系统频率特性的相位函数，即，即 系统幅频特性函数的物理意义是系统幅频特性函数的物理意义是：系统在正弦函数输入下，稳态输系统在正弦函数输入下，稳态输出的幅值与输入幅值之比的关于频率的正实函数出的幅值与输入幅值之比的关于频率的正实函数 系统的相频特性函数的物理意义是系统的相频特性函数的物理意

7、义是：系统在正弦函数输入下，稳态系统在正弦函数输入下，稳态输出的相位与输入相位之差的关于频率的实函数输出的相位与输入相位之差的关于频率的实函数 应当指出应当指出：频率特性函数不仅定义在正弦函数输入下，实际是：频率特性函数不仅定义在正弦函数输入下，实际是定义在三角函数或谐波函数输入下。定义在三角函数或谐波函数输入下。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.15.1：单位反馈系统的开环传递函数为：单位反馈系统的开环传递函数为19)(ssG计算输入信号为计算输入信号为:(1)u(t)=sin(t+30:(1)u(t)=sin(t+300 0) )，(2)u(t)=2cos(2t-

8、45(2)u(t)=2cos(2t-450 0) )，(3)u(t)=sin(t+30(3)u(t)=sin(t+300 0)-2cos(2t-45)-2cos(2t-450 0) )时的稳态输出。时的稳态输出。反馈控制系统的闭环传递函数及其频率特性函数为反馈控制系统的闭环传递函数及其频率特性函数为)(10tan2210tan22| )(|109109109)(109)(1)()(11jjjejeejjssGsGs反馈控制系统幅频特性函数和相频特性函数为反馈控制系统幅频特性函数和相频特性函数为22109| )(| )(| )(|tutyj10tan)()()(100tuty5. 5. 控制系统

9、的频域分析控制系统的频域分析对于正弦、余弦函数输入对于正弦、余弦函数输入u(t)u(t)，系统的稳态输出，系统的稳态输出y(t)y(t)为为9 . 010191109| )(| )(| )(|221tutyj101tan)()(| )(1001tuty)()(sin(| )(|)(|)(sin(| )(|)(00tuttujtyttyty)()(cos(| )(|)(|)(cos(| )(|)(00tuttujtyttyty因此，因此，(1)u(t)=sin(t+30(1)u(t)=sin(t+300 0) )时，即有时，即有=1=1，u(tu(t0 0)=30)=300 0，|u(t)|=1

10、|u(t)|=1) 1 . 0tan30sin(9 . 0)()(sin(| )(|)(|)(1001ttuttujty(2)u(t)=2cos(2t-45(2)u(t)=2cos(2t-450 0) )时，即有时，即有=2=2，u(tu(t0 0)=-45)=-450 0，|u(t)|=2|u(t)|=2)45102tan2cos(10429)()(cos(| )(|)(|)(0102ttuttujty(3)u(t)=sin(t+30(3)u(t)=sin(t+300 0)-2cos(2t-45)-2cos(2t-450 0) )时，时，)()()(21tytyty5. 5. 控制系统的频域

11、分析控制系统的频域分析5.2 5.2 系统频率特性函数的计算与表示系统频率特性函数的计算与表示 系统频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式。求取系统系统频率特性函数是系统传递函数的一种特殊形式。求取系统频率特性函数主要是计算其幅频特性函数和相频特性函数：频率特性函数主要是计算其幅频特性函数和相频特性函数：(1)(1)令令s=js=j，由系统传递函数直接求取，由系统传递函数直接求取例题例题5 5.2.2：已知系统的传递函数为：已知系统的传递函数为)4)(3()2)(1(20)(ssssssG，计算其，计算其频频设设s=j，代入系统的传递函数中，有，代入系统的传递函数中，有)4tan3tan90

12、2tan(tan22222224tan3tan0tan2tan1tan1101111111432120)4()3()()2()1(20)()(jjjjjjjseejejejejejjGsG率特性函数。率特性函数。4tan3tan902tantan)(110112222222432120)(jG幅频特性函数幅频特性函数相频特性函数相频特性函数)16)(9()24()52(100)4)(3()4)(3()2)(1 (20)4)(3()2)(1 (20)()(22242222222jjjjjjjjjjjjGsGjs)16)(9()52(100)(22222RG)16)(9()24()(2224IG实

13、频函数虚频函数5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析(2)(2)由试验方法由试验方法求取求取 由于线性系统在正弦信号（谐波信号）输入下，稳态输出仍由于线性系统在正弦信号（谐波信号）输入下，稳态输出仍为正弦信号（谐波信号），且信号频率一致，只是信号幅值和相为正弦信号（谐波信号），且信号频率一致，只是信号幅值和相位有变化。位有变化。 因此，对于待求系统频率特性的装置，通过因此，对于待求系统频率特性的装置，通过试验输入幅值、试验输入幅值、相位和频率已知的三角函数，测量其稳态输出（包括幅值、相相位和频率已知的三角函数，测量其稳态输出（包括幅值、相位）位）；不断的改变输入信号的频率，就会测量得

14、到不同频率下的不断的改变输入信号的频率，就会测量得到不同频率下的稳态输出稳态输出。|G(j)|(j)5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析(3)(3)频率特性函数的图形表示频率特性函数的图形表示 频域分析法实际上是基于频率特性图的一种图形分析法。系统频域分析法实际上是基于频率特性图的一种图形分析法。系统频率特性图主要有：频率特性图主要有：极坐标图极坐标图和和对数坐标图对数坐标图。极坐标图（极坐标图（Nyquist图）图） 极坐标图是频率变化（极坐标图是频率变化（=0=0）时，频率特性函数的向量）时，频率特性函数的向量（或实部、虚部）在复平面上描绘的图形，即（或实部、虚部）在复平面上描

15、绘的图形，即)()(tan)()()()()()()()(122)(RIIRjIRjejjjReIm)(jG)()(R)(Ij0 因此，对于不同的频率因此，对于不同的频率，依据系统频率特性函数的幅值和相位，依据系统频率特性函数的幅值和相位（或实部和虚部）在复平面上逐点描绘就可绘出极坐标图。这项工作（或实部和虚部）在复平面上逐点描绘就可绘出极坐标图。这项工作目前采用计算机辅助绘图方法很容易实现。目前采用计算机辅助绘图方法很容易实现。极坐标图的规律是：极坐标图的规律是：5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析a) 极坐标图的起点（极坐标图的起点（=0=0）与系统传递函数中所含积分环节）与系

16、统传递函数中所含积分环节的个数有关的个数有关 没有积分环节时，其极坐标图的起点位于复平面上的实轴上；有没有积分环节时，其极坐标图的起点位于复平面上的实轴上；有v(0)个积分环节时，极坐标图的起点位于个积分环节时，极坐标图的起点位于-900v方位的无穷远。方位的无穷远。b) 极坐标图的终点（极坐标图的终点（）与系统传递函数的分子多项式）与系统传递函数的分子多项式阶数阶数m和分母多项式阶数和分母多项式阶数n的差的差(n-m)有关有关 (n-m)0时，其极坐标图的终点以时，其极坐标图的终点以-(n-m)900的方位置于复平面上的的方位置于复平面上的原点；原点；(n-m)=0时，极坐标图的终点位于复平

17、面上的实轴上。时，极坐标图的终点位于复平面上的实轴上。c) 在中频段的极坐标图与频率特性函数的参数有关在中频段的极坐标图与频率特性函数的参数有关 这时与系统性能密切相关的部分，尤其是穿越实轴部分应该准确绘制。这时与系统性能密切相关的部分，尤其是穿越实轴部分应该准确绘制。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.35.3：绘制系统的极坐标图，已知系统的传递函数为：绘制系统的极坐标图，已知系统的传递函数为)2)(1()(sssKsG)(1)(1 )1 ()()(1)(1 )()()tan()tan(90)()(1)(1)(22212212221212102221TTTTKGTTT

18、TKGTTTTKjGIR2121TTTKT)(21TTK0)0()()0(90)0()0(, 0210IRGTTKGjG0)(0)(270)(0)(,0IRGGjG5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.45.4：绘制系统的极坐标图，已知系统的传递函数为：绘制系统的极坐标图，已知系统的传递函数为2) 1()(ssKsG222)2tantan(2244)2(41)(11KjKeKjGj022)0(0jKeKGj0)(0180jKKejGjK2/K5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析对数坐标图（对数坐标图（Bode图）图） 对数坐标图是以频率为横坐标轴，幅频函数、相

19、频函数分别对数坐标图是以频率为横坐标轴，幅频函数、相频函数分别为纵座标轴的二个图形，且为纵座标轴的二个图形，且频率横坐标轴按自然对数分度频率横坐标轴按自然对数分度，幅幅频函数的纵坐标轴按分贝数分度，相频函数的纵座标轴按角度频函数的纵坐标轴按分贝数分度，相频函数的纵座标轴按角度或弧度分度或弧度分度。01020501000.1 0.20.51.01001020502.05.0lg横坐标的分度说明幅频特性的分贝表示)()(lg20)(dBjGL对数坐标图对数幅频特性图对数相频特性图)(lg)(fL)(lg)(gdecdec例题例题5.5.5 5：绘制系统的对数坐标图，已知系统的传递函数为：绘制系统的

20、对数坐标图，已知系统的传递函数为5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析11)(TssG计算系统的幅频特性函数和相频特性函数计算系统的幅频特性函数和相频特性函数)(tan)(,)(11)()(1111)()(12tan21TTjGeTjTjGsGTjjs计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数)(tan)()(1lg10)(1lg201lg20)(lg20)(122/12TTTjGL5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析绘制对数幅频特性图和对数相频特性图绘制对数幅频特性图和对数相频特性图L() () 0 T111时，时，0112190)(t

21、an)(lg201lg20)(,1)(11)(TTLTTjGTT-20dB/dec-3 转折频率转折频率5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.5.6 6：绘制系统的对数坐标图，已知系统的传递函数为：绘制系统的对数坐标图，已知系统的传递函数为)() 1() 1(10)() 1() 1(10)(21TTssssGTssssG计算系统的幅频特性函数和相频特性函数计算系统的幅频特性函数和相频特性函数)(tan0tan)(tan)(,)(1)(110)(1111221TTjG计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数计算对数幅频特性函数和对数相频特性函数)(1tan)()(tan90)

22、(tan)()(1lg20lg20)(1lg2010lg20)()(21210112/122/1221TTTTLL)(1tan)(,)(1)(110)(212222TTTjG)(1 ()1 ()(10)(222TTjTjG5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析绘制对数幅频特性图和对数相频特性图绘制对数幅频特性图和对数相频特性图L() () 0 111时，时，-20dB/dec02010112190)(90)(tan90)(tan)(10lg20lg2010lg20)()(TLL02012190)(90)(lg2010lg20)()(TLL1 1/-20dB/dec0dB/dec20

23、转折频率) 1() 1(10)(1TssssG) 1() 1(10)(2TssssG非最小相位系统最小相位系统5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析控制系统的对数频率特性图的绘制规律：控制系统的对数频率特性图的绘制规律：rlllqjjvmkkkmiinnnmmssTsTssssKsGasasasbsbsbsG12211221011101) 12() !() 12() 1()()(21 将传递函数化为以时间常数表示的典型环节相乘的形式将传递函数化为以时间常数表示的典型环节相乘的形式对数幅频特性图的绘制规律对数幅频特性图的绘制规律 对各典型环节的时间常数求倒数，得到转折频率对各典型环节的

24、时间常数求倒数，得到转折频率i i=1/T=1/Ti i( (i i=1/=1/i i) )。并将转折。并将转折频率标注到横坐标轴上频率标注到横坐标轴上 确定确定=1，L()=20lgK的点，即过点的点，即过点（1 1，20lgK20lgK）画斜率为画斜率为-20v(dB/dec)的直的直线线，并沿频率轴方向每遇到一个转折频率，就在该转折频率处按，并沿频率轴方向每遇到一个转折频率，就在该转折频率处按20k(dB/dec)20k(dB/dec)改变直线斜率。改变直线斜率。k k为转折频率所对应典型环节的阶数；为转折频率所对应典型环节的阶数；“+”+”对应分子多项式的转对应分子多项式的转折频率，折

25、频率，“-”-”对应分母多项式的转折频率对应分母多项式的转折频率5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 以直线型对数幅频特性图为依据，在每个以斜率为以直线型对数幅频特性图为依据，在每个以斜率为20k(dB/dec)20k(dB/dec)的对数幅频的对数幅频直线段内，相应的对数相频特性图的相频渐近线斜率直线段内，相应的对数相频特性图的相频渐近线斜率为为90900 0k k的直线的直线 计算各转折频率处的准确相位数值，并用光滑曲线逼近渐近线计算各转折频率处的准确相位数值，并用光滑曲线逼近渐近线。最小相位系统的对数幅频特性图的绘制规律最小相位系统的对数幅频特性图的绘制规律应当指出：应当指出

26、：l 不论是最小相位系统，还是非最小相位系统，其对数幅频特性图不论是最小相位系统，还是非最小相位系统，其对数幅频特性图的渐近线图绘制都一样的渐近线图绘制都一样l 最小相位系统的对数相频特性图的渐近线与对数幅频特性图有对最小相位系统的对数相频特性图的渐近线与对数幅频特性图有对应关系；非最小相位系统的对数相频特性图需描点绘制应关系；非最小相位系统的对数相频特性图需描点绘制l 系统的频率特性图没必要在每个频段上都精确绘制，尤其是高频系统的频率特性图没必要在每个频段上都精确绘制，尤其是高频段图形可以大致绘出段图形可以大致绘出5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.5.7 7：绘制系

27、统的对数坐标图，已知系统的传递函数为：绘制系统的对数坐标图，已知系统的传递函数为)20)(10)(4 . 0()2(1000)(ssssssG 将已知传递函数转化为时间常数的形式将已知传递函数转化为时间常数的形式) 105. 0)(11 . 0)(15 . 2() 15 . 0(25)()20)(10)(4 . 0()2(1000)(ssssssGssssssG 计算各环节的转折频率：计算各环节的转折频率：1 1=1/2.5=0.4=1/2.5=0.4，2 2=1/0.5=2=1/0.5=2，3 3=1/0.1=10=1/0.1=10，4 4=1/0.05=20=1/0.05=20。将这些转折

28、频率标注在对数（幅。将这些转折频率标注在对数（幅/ /相）相）频率特性图的横坐标上频率特性图的横坐标上 传递函数中有一个积分环节，则在对数幅频图中，过点传递函数中有一个积分环节，则在对数幅频图中，过点=1, =1, L(L()=20lg25=28dB)=20lg25=28dB，即过（，即过（1 1，2828）点画一条斜率为）点画一条斜率为-20(dB/dec)-20(dB/dec)的的直线，该直线沿频率轴方向延伸首先遇到直线，该直线沿频率轴方向延伸首先遇到1 1，它对应一阶惯性环节，它对应一阶惯性环节，则直线的斜率在则直线的斜率在1 1处变化处变化-20(dB/dec)-20(dB/dec)成

29、斜率为成斜率为-40(dB/dec)-40(dB/dec)的直线，的直线，继续沿频率轴方向延伸又遇到继续沿频率轴方向延伸又遇到2 2，它对应一阶微分环节，则直线的，它对应一阶微分环节，则直线的斜率在斜率在2 2处变化处变化20(dB/dec)20(dB/dec)成斜率为成斜率为-20(dB/dec)-20(dB/dec)的直线，直至绘制的直线，直至绘制到到4 4以后以后5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 在频率段在频率段(0(0，1 1) )、( (1 1，2 2) )、( (2 2，3 3) )、( (3 3，4 4) )、( (4 4，）上，对数幅频图的渐近线斜率分别为）上，

30、对数幅频图的渐近线斜率分别为-20-20、-40-40、-20-20、-40-40、-60-60（dB/decdB/dec）。则其相频图在这些频率段内的渐近线分别是）。则其相频图在这些频率段内的渐近线分别是- -90900 0、-180-1800 0、-90-900 0、-180-1800 0、-270-2700 0。（最小相位系统）。（最小相位系统） 计算系统在各转折频率处的准确相位角计算系统在各转折频率处的准确相位角202031017121414 . 0127)05. 0(tan)1 . 0(tan)5 . 0(tan)5 . 2(tan90)(0000111101123428L()-60

31、(dB/dec)-20(dB/dec)-40(dB/dec)-40(dB/dec)-20(dB/dec)1234-900-1800-2700()5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.5.8 8：已知最小相位系统的对数幅频特性图，绘出它的相频：已知最小相位系统的对数幅频特性图，绘出它的相频特性图，并求出系统的传递函数特性图，并求出系统的传递函数L()501000-20dB/dec-40dB/dec) 1100()(ssKsG) 101. 0(50)(501lg50lg)(lg20)/(20sssGKdBKdecdB()1000-900-18005. 5. 控制系统的频域分析

32、控制系统的频域分析5.3 5.3 系统稳定性的频域判据系统稳定性的频域判据 这是根据系统频率特性图（极坐标图、对数图）来判断系统稳定这是根据系统频率特性图（极坐标图、对数图）来判断系统稳定性的判据，也称为奈奎斯特性的判据，也称为奈奎斯特(Nyquist)判据。判据。(1)(1)幅角原理幅角原理)()()()()(11nmpspszszsKsG设系统的传递函数为（设系统的传递函数为（zi、pj是系统的零点、极点）是系统的零点、极点）zizipjpjjs平面zizipjpjReImG(s)平面奈氏围线极坐标曲线5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析幅角原理幅角原理：设：设s平面上的一条不

33、穿越平面上的一条不穿越G(s)的任一极点、零点的封闭的任一极点、零点的封闭奈氏围线内部含有奈氏围线内部含有G(s)的极点数和零点数分别为的极点数和零点数分别为Np、Nz，则其极坐，则其极坐标曲线在标曲线在G(s)平面上也是一条封闭曲线，且内部包围坐标原点的圈平面上也是一条封闭曲线，且内部包围坐标原点的圈数数N为为 N=NN=Nz z-N-Np pN0N0，表明极坐标曲线包围坐标原点的方向与奈氏围线包围极点、，表明极坐标曲线包围坐标原点的方向与奈氏围线包围极点、零点的方向一致；零点的方向一致；N0N0，表明极坐标曲线包围坐标原点的方向与奈，表明极坐标曲线包围坐标原点的方向与奈氏围线包围极点、零点

34、的方向相反；氏围线包围极点、零点的方向相反；N=0N=0，表明极坐标曲线不包围，表明极坐标曲线不包围坐标原点。坐标原点。注意：注意：封闭曲线顺时针包围极点、零点（或原点）是指按顺时针方封闭曲线顺时针包围极点、零点（或原点）是指按顺时针方向沿曲线行进一周时，所包围的极点、零点（或原点）总处于行进向沿曲线行进一周时，所包围的极点、零点（或原点）总处于行进中的右侧。中的右侧。一般规定顺时针方向为封闭曲线的正方向一般规定顺时针方向为封闭曲线的正方向。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析(2)(2)奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据对于控制系统的开环传递函数为对于控制系统的开环传递函数为)()

35、()()()(1)(sBsAsBsHsGsF)()()()(sBsAsHsG则系统的特征多项式为则系统的特征多项式为表明：表明：F(s)的分子多项式是系统的特征多项式，分母多项式是系统开的分子多项式是系统的特征多项式，分母多项式是系统开环传递函数的分母多项式。亦即环传递函数的分母多项式。亦即F(s)的零点是系统的特征根，的零点是系统的特征根，F(s)的的极点是系统开环传递函数的极点极点是系统开环传递函数的极点。 为此，取为此，取s平面上奈氏围线由整个虚轴和半径无穷大的包围整个虚平面上奈氏围线由整个虚轴和半径无穷大的包围整个虚轴右边的半圆弧组成（若轴右边的半圆弧组成（若F(s)在虚轴上有极点和零

36、点，则奈氏围线从在虚轴上有极点和零点，则奈氏围线从其右侧以半径为无穷小的圆弧绕过）。从而可获得其右侧以半径为无穷小的圆弧绕过）。从而可获得F(s)平面上包围坐平面上包围坐标原点的封闭曲线，且满足：标原点的封闭曲线，且满足：N=Nz-Np。（。（Nz、Np是奈氏围线按正方是奈氏围线按正方向包围的向包围的F(s)的零点数和极点数）的零点数和极点数）5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析j-j=-=0-=0+=|s|-1ReIm-1ReIm)()(1)(sHsGsF)()(sHsG 对于对于F(s)，一般分母多项式阶数大于分子多项式阶数，因此奈氏围，一般分母多项式阶数大于分子多项式阶数，因

37、此奈氏围线的线的|s|部分对应部分对应F(s)平面的原点（若分子与分母的阶数相等，则平面的原点（若分子与分母的阶数相等，则奈氏围线的奈氏围线的|s|部分对应部分对应F(s)平面的某点），平面的某点），表明选取的奈氏围线表明选取的奈氏围线主要是考察主要是考察=-=-部分对应的部分对应的F(s)的包围坐标原点的围线部分的包围坐标原点的围线部分。 判别判别F(s)曲线包围坐标原点的情况与判别曲线包围坐标原点的情况与判别G(s)H(s)曲线包围曲线包围(-1,j0)点的情况是一致的。点的情况是一致的。005. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 下面分析所选取奈氏围线下面分析所选取奈氏围线(即

38、虚轴和包含虚轴右边的半径无穷大半圆弧即虚轴和包含虚轴右边的半径无穷大半圆弧)经过经过G(s)H(s)映射的映射的G(s)H(s)的极坐标曲线的情况：的极坐标曲线的情况：奈氏围线的虚轴部分映射情况：此时奈氏围线的虚轴部分映射情况：此时s s=j=j，且，且=-=-，对应的是，对应的是G(j j)H)H(j j) )的极坐标曲线。由于的极坐标曲线。由于G(-jG(-j)H(-j)H(-j) )与与G(jG(j)H(j)H(j) )共轭，即共轭，即G(j)H(j)关于关于=-=-00和和=0=0的极坐标曲线对称于实轴。从而只需绘制的极坐标曲线对称于实轴。从而只需绘制=0=0的的G(j)H(j)的的极

39、坐标图，按对称原理就可绘出极坐标图，按对称原理就可绘出=-=-00对应的极坐标曲线对应的极坐标曲线包含虚轴右边半径无穷大圆弧的映射情况：此时包含虚轴右边半径无穷大圆弧的映射情况：此时ss, ,由于由于G(s)H(s) 的分子多项的分子多项式阶数式阶数m m是小于或等于分母多项式阶数是小于或等于分母多项式阶数n n，因此，因此包含虚轴右边半径无穷大圆弧的映射是包含虚轴右边半径无穷大圆弧的映射是G(s)H(s)平面上的一点（平面上的一点（mnm1时稳定5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析=0+=-=0-131)()(ssHsGc不稳定=0+=-=0-1) 1()()(TssKsHsG不

40、稳定ReImReImReImL()()0-18001-1gcgc穿越频率(截止频率)g相位相交频率基于基于BodeBode图的奈奎斯特稳定判据：图的奈奎斯特稳定判据：若若G(s)H(s)在在s平面右半部分有平面右半部分有Np个极点，在对数幅频特性个极点，在对数幅频特性L()0的频率范围内，其相频特性曲线的频率范围内，其相频特性曲线() )穿越穿越-180-1800 0相位线的总次数的相位线的总次数的2 2倍为倍为N N，且满足，且满足N=-NN=-Np p，则闭环系统是稳定的。，则闭环系统是稳定的。负穿越有关系：有关系：0)Im(180)(0)()(lg201)()(0ggccccorjHjG

41、orjHjGc5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析5.4 5.4 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性(1)(1)相对稳定性的概念相对稳定性的概念 相对稳定性是指稳定系统的稳定状态距离不稳定（或临界稳定）状相对稳定性是指稳定系统的稳定状态距离不稳定（或临界稳定）状态的程度。一般用态的程度。一般用“稳定裕量稳定裕量”指标评价。指标评价。相位裕量相位裕量：闭环系统的开环传递函数在穿越频率处的相位角与闭环系统的开环传递函数在穿越频率处的相位角与-1800的差的差00180)()180()(cc)()(lg20lg20)()()(1gggggggjHjGKLorjHjGK00，表明系统

42、是稳定的，其大小表示稳定的程度；，表明系统是稳定的，其大小表示稳定的程度；011，表明系统是稳定的，其值越大表示稳定程度越高；，表明系统是稳定的，其值越大表示稳定程度越高；K Kg g11，表明系，表明系统不稳定；统不稳定；K Kg g=1=1，表明系统处于临界稳定。，表明系统处于临界稳定。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析相位裕量和增益裕量的几何意义相位裕量和增益裕量的几何意义ReIm-1dKg=1/d0)(c0cgL()()-1800cg)(cL(g)应当指出应当指出：闭环系统的开环传递函数有极点位于虚轴右边时，不：闭环系统的开环传递函数有极点位于虚轴右边时，不能应用稳定裕量

43、来判别闭环系统的稳定性。能应用稳定裕量来判别闭环系统的稳定性。(2)(2)相对稳定性的计算相对稳定性的计算5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.5.9 9：已知反馈控制系统的开环传递函数为：已知反馈控制系统的开环传递函数为) 105. 0)(12 . 0()(sssKsG(1)K=1(1)K=1时的稳定裕量？时的稳定裕量？(2)L(2)L(g g) ) 20dB20dB，40400 0的的K?K?开环传递函数是最小相位系统开环传递函数是最小相位系统520L()0c-20 dB/dec-40 dB/dec-60 dB/dec22)05. 0(1)2 . 0(1)(KjG05

44、. 0tan2 . 0tan90)(11020lgK1K=1时，时，20lgK=0dB，表明此时，表明此时c c=1=15. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析（1）K=1, L(g)=?,=?221)05. 0(1lg20)2 . 0(1lg20lg201lg20)(lg20)(gggggjGL011018005. 0tan2 . 0tan90)(ggg10g22)05. 0(1)2 . 0(1)(KjGdBLLg2825. 1lg205lg2010lg201lg20)10()(10g增益裕量增益裕量相位裕量相位裕量1c011017.10405. 0tan2 . 0tan90)(c0

45、0007617.104180)(180c5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析（2）L(g g)=20dB,40400 0,K=?,K=?1 . 0)()(lg2010lg2020)(1gggjGjGdBL011018005. 0tan2 . 0tan90)(ggg10g5 . 21 . 0)1005. 0(1)102 . 0(110)(22KKjGg10g414005. 0tan2 . 0tan90)(0110cccc000140)(40)(180cc22. 5)05. 0(1lg20)2 . 0(1lg20lg20lg201lg20)(22KKLcccc计算可知：当计算可知：当K

46、=5.22时，时，L(g g)=13.6dB20dB，不满足要求；，不满足要求；K=2.5时，可时，可同时满足同时满足L(g g) 20dB,40400 05. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析例题例题5.5.1010：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为,.)5 , 4 , 3() 1()(nTsKsGn试分析系统稳定时，试分析系统稳定时，k k与与n n的关系。的关系。这是最小相位系统，开环频率函数为这是最小相位系统，开环频率函数为)(tan)()(1| )(|12TnTKjGnTKTKjGncncc11)(1| )(|22系统稳定：系统稳定

47、：1tan2nKn0)(tan)(1Tn5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析(3)(3)系统相对稳定性的频域分析系统相对稳定性的频域分析 系统相对稳定性是很重要的工程问题。系统稳定程度过高，系统系统相对稳定性是很重要的工程问题。系统稳定程度过高，系统的响应就很慢，这很难满足工程实际的要求；系统过低的稳定程度，的响应就很慢，这很难满足工程实际的要求；系统过低的稳定程度，系统的动态响应就会很差，易于造成工程故障或事故。因此，恰当系统的动态响应就会很差，易于造成工程故障或事故。因此，恰当的稳定程度是工程的需要。的稳定程度是工程的需要。-20dB/dec-20dB/decc0-900-18

48、00-2700高频段中频段低频段一般地：一般地： 相位裕量相位裕量= =30300 0-60-600 0 增益裕量增益裕量L(L(g g)6dB)6dB5.5 5.5 闭环系统性能的频域分析闭环系统性能的频域分析5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析(1)(1)闭环系统的动态频域指标闭环系统的动态频域指标控制系统的动态频域指标有二类：控制系统的动态频域指标有二类：闭环系统的动态频域指标闭环系统的动态频域指标闭环系统的开环频域指标闭环系统的开环频域指标闭环系统的典型幅频特性图M()M(0)0.707M(0)Mrrb带宽Mr谐振峰值M(0)零频值。反映系统的稳态性能r峰值频率b带宽。反映

49、系统响应的动态性能(2)(2)闭环系统的开环频域指标闭环系统的开环频域指标穿越频率、相位裕量、增益裕量、相位相交频率。穿越频率大，带宽就大。5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析(3)(3)频域指标与时域指标的关系频域指标与时域指标的关系一阶系统一阶系统 设单位反馈一阶系统的开环传递函数设单位反馈一阶系统的开环传递函数G(s)G(s)和闭环传递函数和闭环传递函数(s)(s)分分别为别为)/1(11)()(KTTsssKsG 单位阶跃响应的调整时间为单位阶跃响应的调整时间为Tts3TTjTMMbbb/11)(111)0(707. 01)0()0(2bst3 表明：带宽越大，调整时间越短

50、，系统响应就越快！表明：带宽越大，调整时间越短，系统响应就越快！5. 5. 控制系统的频域分析控制系统的频域分析二阶系统二阶系统 设单位反馈二阶系统的开环传递函数设单位反馈二阶系统的开环传递函数G(s)G(s)和闭环传递函数和闭环传递函数(s)(s)分分别为别为)21,(2)(222KTTKsssnnnn221222)(2222212tan)(211)()(211)(2)()(nnnnjnnnnnMeMjjjj当当00.7070.707时，系统的二个特征根是共轭复根，表明有谐振产生时，系统的二个特征根是共轭复根，表明有谐振产生22121210)(rnrMddM5. 5. 控制系统的频域分析控制