2022年大学微积分l知识点总结2 .pdf
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1、【第五部分】不定积分1.书本知识(包含一些补充知识)(1)原函数: F (x)=f(x),xI,则称 F(x)是 f(x)的一个“原函数”。(2)若 F(x)是 f(x)在区间上的一个原函数,则f(x)在区间上的全体函数为 F(x)+c(其中 c 为常数)(3)基本积分表cxdxdx1cxdxx111( 1,为常数)cdxxxln1cxxxdxxcxxdxxcxarcxdxxcedxeaaacaadxaxxxxlnlnarccosarcsin11cotarctan1110ln22或或为常数,cxaxaadxxacaxadxxacaxdxxacxxdxxln211arctan11arcsin11
2、ln1122222222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 24 页 - - - - - - - - - - cxxxdcshxdxchxcchxdxshxcoslncoscoscxdxxcxdxxcxdxxcoslntansincoscossincxdxxsinlncotcxdxxxcxdxxxcxdxxcxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcsccotcscsectanseccotcsctanseccotcottantan2sin41
3、2cos2sin412sincoscsclncsctanseclnsec222222cxdxaxax22ln122(4)零函数的所有原函数都是c (5)C 代表所有的常数函数(6)运算法则dxxgdxxfdxxgxfdxxfadxxfa)()()()()()(数乘运算加减运算线性运算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 24 页 - - - - - - - - - - (7)cxFdxxxf)()( )(复合函数的积分:cbxFdxbxfcbaxFabaxdbaxfadxbaxf)(
4、)()(1)()(1)(一般地,(9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。(10)不定积分的计算方法凑微分法 (第一换元法),利用复合函数的求导法则变量代换法 (第二换元法),利用一阶微分形式不变性taxdxaxtaxdxaxtaxdxxatansecsin222222分部积分法 :duvvudvudxxvxuxvxudxxvxudxxvxudxxvxuxvvxuu简写为:并有:也存在存在,则均可导,且若)()( )()()( )()( )()()( )(),(【解释:一阶微分形式不变性】释义:函数对应: y=f(u) duufduydy)( 功能:
5、说明:(8)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 24 页 - - - - - - - - - - 变性。这称为一阶微分形式不,均有是自变量还是中间变量因此,无论带入得:因为的微分形式为:为中间变量,自变量为那么复合函数复合函数求导得:,即变量为函数即为复合函数。自是中间变量,即如果的微分形式为:是自变量,则函数此时如果设函数为duufdyuduufdydudxxgxgudxxgxgfdxydyuxgxxgfyxgxgfyxgyxxguuduufduydyufyuufy)( )( .
6、)( ),(.)( )( )()().( )(,)(:),()( )(),((11)cxdxaxax22ln122(12)分段函数的积分例题说明:dxx2,1max需要调整连续的原则,需要说明的一点,依据)()()()()()(解:321322132222,1323111-1-3231), 1max(111-11-, 1maxcccxcxxcxxcxdxxxxxxxx(13)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一xdxdxxdxcossinsin23的部分。如次方处理到最后化简的目的。并以达到再进行计算或将二者合量将其转化成同一次方要通过三角函数公式尽则需情况
7、同时出现且指数不同的与,若遇到)在做不定积分问题时(,cosxsinx142xcos2xsin2sinxsinx15的问题,则中,如果单独遇到)在计算不定积分过程(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 24 页 - - - - - - - - - - (16)隐函数求不定积分例题说明:,带入。所以:所以:解法带入。,则:令解法确定的隐函数,试求是由方程例题:设cossin;cossinsinsin1cos)(11)()(2,1,113y-x1)(2222222232yxyxyxyxy
8、xxyxyttyttxtyxdxxyxyy(17)三角有理函数积分的万能变换公式2222222212tan2tan,12sin11cos12)12,11(2tan)cos,(sinttxxtttxttxdttttttRxtdxxxR其中:令(18)某些无理函数的不定积分.111121141822122221tt222222222dtttdttttdttttttxxtdxxxxAA令例如:,即个根号变为(根号),变形时将整无理函数中带有欧拉变换attcbxaxtxatcbxaxcxtcbxaxcxatcbxaxacbxax222222222-0-0对于可得:对于可得:,令若,令若的积分含有(19
9、)其他形式的不定积分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 24 页 - - - - - - - - - - cxfxxfdxxfxfxxdfxdxxfx)()( )( )( )( )( xxIIxdxIIdxxxxIdxxxxIcAxAxAedxeBxBxBcAxAxAedxexcxeAxeAdxxexxxxxxxcos2sinln21cos2sincoscos2sinsincossinsin212121322122213221221组合法:待定系数法2.补充知识(课外补充)【例谈不
10、定积分的计算方法】1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法(1)定义: 若函数 f(x) 在区间 I 上连续,则 f(x) 在区间 I 上存在原函数。其中(x)=F(x)+c0,(c0为某个常数),则 (x)=F(x)+c0属于函数族 F(x)+c 被积表达式积分变量被积函数积分号dxxfxxf)()(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 24 页 - - - - - - - - - - dxxfkdxxfdxxfkxfnii
11、iinii)()()()(11则:推论:若(2)一般积分方法值得注意的问题:第一,一般积分方法并不一定是最简便的方法,要注意综合使用各种积分方法,简便计算;第二,初等函数的原函数并不一定是初等函数,因此不一定都能够积出。不能用普通方法积出的积分:.10sin1111ln1sin,sin,223422例如:Kdxxkdxxdxxdxxdxxdxxxdxex2、特殊类型不定积分求解方法汇总(1)多次分部积分的规律精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 24 页 - - - - - - -
12、- - - dxvuvuvuvudxvuvuvudxvuvudxvunnnnnnnnnnn)1(1)2()1()()1()1()()()()1(1. . )sincos()sincos(sincossincossincos2xdxcBxdxcAxbxadxxdxcxbxa求解方法为:令的积分)对于(dxxxxxsincossincos3例如:求即可解:令)sin(cos)sin(cossincos3xxBxxAxx(3)简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式,可以通过根式代换化为有理函数的积分的最小公倍数是其中令令设nmpbaxtdxbaxbaxxRdcxbaxtdxdcxbaxxRbax
13、tdxbaxxRpmnnnnn,),(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 24 页 - - - - - - - - - - dxbxaxbxaxbaIkbadxbxaxdxI)sin()sin()()(sin)sin(1,)sin()sin(4解法:其中)求(nnnnnbxaxtdxbxaxbxaxIndxbxaxdxI令解法:为自然数其中,)求:(,)(1,)()(511txdxcbxaxxIm162解法:令)求(cbxbbxabaedxbxeIcbxbbxabaedxbxeIa
14、xaxaxax)sincos(cos)cossin(sin7222221)统一公式(txxxtxxxtxxxtxxxcosarccos1sinarcsin1sin1tan182222时,令和同时出现时,令和同时出现时,令和同时出现时,令和同时出现)计算技巧(dxxaxaxaxaaIdxxa)()()()(211922解法:令)求(小结:几分钟含有根号,应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页,共 24 页 - - - - - - - - - - cx
15、xxxxxxxxxdxxxxdxxxxxxdxcbxaxdxcbxaxxxxxxxcbxaxcbxaxdx21122211122122212122ln1)()(1)()(.0,)()(010则原不定积分为:的两个解为其中,时,可将原式化为:以下三种情况:的不定积分,可以分为)当遇到形如(的形式求解配方,然后化成:时,可以先给分母进行公式,然后化为:时,可以利用完全平方dxaxkxdkx2210)()(0式化和差,和差化积”公此外,也可以利用“积等式:都是偶数时可以利用恒得到:。这两个积分可以直接或后将得到形如:。最或恒等式:中有一个奇正数时利用和)三角函数的积分:(22cos1sin,22co
16、s1cos,sin11sinsincossincos11coscossincoscossinsincossin1coscos1sincossin1122112222xxxxnmcxqxdxdxxxcxpxdxdxxxdxxxdxxxxxxxnmdxnxxqqqpppqpm计算,然后利用改为奇时,将偶的导数)计算(即均为奇数时,可分出式:均为偶数时,利用恒等)三角函数的积分:(xxxxnmxxxnmxxnmdxxxmnm2222tan1secsectansecsectan,1tansec,sectan12cxanxamdxxanxamdxxaxnxmbabadxxbxaxnxmcoslntan1
17、cossincos000sincossincos1322,则原式,若的解法)关于形如:(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页,共 24 页 - - - - - - - - - - dxxbmxbndxxbxnxmbacot1sinsincos0.0,则原式若以下内容省略),则:至少有一个不为,若.(sincossin)(cos)(sincos)sincos(sincossincossincossincos0,0, 0sinlnnBaAbmBbAadxxbxaxBaAbxBbAadxxb
18、xaxbxaBdxxbxaxbxaAdxxbxaxnxmnmbacxbmxbn代入原式有原式,则:中至少有一个不为,若单为常数,则化简十分简,或,若)不同时为,且为常数的推广对cbanbmalDbanambBbanbmaAlDAcnBaAbmBbAadxcxbxaDdxcxbxacxbxaBdxcxbxacxbxaAlnmcbacbabacbalnmcbadxcxbxalxnxmdxxbxaxnxm222222sincossincos)sincos(sincos)sincos(0,000,0000,sincossincossincossincos的关系得出最后结论。依据(化简之后为:则理不定积
19、分的形式,令,将其转化为有的解,使用万能代换法至此,还需求出cbadtatcbttacIttxttxdttdxxtdxcxbxa,2)211cos,12sin,12,2tansincos122222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页,共 24 页 - - - - - - - - - - dxxxxxnn)1(114如计算:用倒代法。解时,一般使)位于分母,并难以分的高次项(如)计算积分时,如遇到(ctndtttdttttxxdxdtttddxtxnnnnn1ln11111111,11
20、212则解:令22122212222222122212222222212221212222122212122221222527223222)1()()1(21)()1()()121) 1()1(21)1()()1(21)()1(211,41,115nmnmnnmnmnmnmnmnmnmnmnIanbxaxbmdxxbaxbxanxbaxbmdxxbaxbaxnxbaxbmdxxbaxnxbaxbmxbabmdxdxabxxIndxxxdxxxdxxxdxxbaxIn(推导过程:等积分方向:针对如的递推式)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名
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