2022年人教A版高中数学选修1-1课时提升作业2.3.2.2探究导学课型含答案 .pdf

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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。课时提升作业 ( 十七 ) 抛物线方程及性质的应用(25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分 ) 1. 过抛物线 y2=4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.由定义 |AB|=5+2=7 ，因为 |AB|min=4，所以这样的直线有两条. 【补偿训练】 过点 M(3， 2) 作直线l与抛物线 y2=8x 只有一个交点，

2、这样的直线共有( ) A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条【解析】选 B.因为点 M(3，2) 在抛物线 y2=8x 的内部，所以过点M平行 x 轴的直线 y=2 适合题意，因此只有一条. 2.(2015 全国卷 ) 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为， E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，点A，B是 C的准线与 E的两个交点，则= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 选 B.设椭圆 E的方程为+=1(ab0) ，右焦点为 (c ，0)，依题意得解得 a=4，由 b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x 的准精品资料

3、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 线为 x=-2 ，将 x=-2 代入到+=1，解得 A(-2 ， 3) ，B(-2 ，-3) ，故=6. 3. 已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C： y2=8x 相交于 A， B两点，F为 C的焦点 . 若|FA|=2|FB|，则 k= ( ) A.B.C.D.【解析】选D.设 A，B两点坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2) ，由消去 y 得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以

4、x1+x2=，x1x2=4. 由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又因为 |AF|=2|BF|，所以 x1+2=2x2+4，所以 x1=2x2+2 代入 x1x2=4，得+x2-2=0 ，所以 x2=1 或-2( 舍去 ) ，所以 x1=4，所以=5，所以 k2=，因为 k0，所以 k=. 4.(2015 商丘高二检测) 已知抛物线x2=4y 上有一条长为6 的动弦 AB ，则 AB的中点到x 轴的最短距离为( ) A.B.C.1 D.2 【解析】选 D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1 ，过 A作 AA1l于 A1，过 B作 BB1l于 B1，精品资料 - - - 欢迎下

5、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 设弦 AB的中点为 M ， 过 M作 MM1l于 M1， 则|MM1|=.|AB| |AF|+|BF|(F为抛物线的焦点) ，即|AF|+|BF| 6，|AA1|+|BB1| 6，2|MM1| 6，|MM1| 3，故 M到 x 轴的距离 d2. 【拓展延伸】 “两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关. “看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 【补偿训练】

6、已知点P是抛物线y2=2x 上的一个动点，则点P到点 (0，2) 的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.B.3 C.D.【解析】选A.抛物线 y2=2x 的焦点为 F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点 F的距离等于它到准线l的距离， 因此要求点P到点 (0 ，2) 的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值， 可以转化为求点P到点 (0 ， 2) 的距离与点P到焦点 F 的距离之和的最小值，不 难 得 出 相 应 的 最 小 值 就 等 于 焦点F 到 点 (0 ， 2) 的 距 离 . 因 此 所 求 的 最 小 值 等 于=. 5.(2015 青岛高二检测) 在平

7、面直角坐标系内，点P到点 A(1，0)，B(a，4) 及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a= ( ) A.1 B.2 C.2 或-2 D.1 或-1 【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手. 【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0) 为焦点、直线x=-1 为准线的抛物线 y2=4x 上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线 y-2=-(x-)上. 由于要使这样的点P是唯一的，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3

8、页，共 15 页 - - - - - - - - - - 因此要求方程组有唯一的实数解. 结合选项进行检验即可. 当 a=1 时，抛物线y2=4x 与线段 AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意； 当 a=-1 时，线段 AB的中垂线方程是y=x+2，易知方程组有唯一实数解 . 综上所述， a=1 或 a=-1. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 6. 已知点 F为抛物线 y2=-8x 的焦点， O为原点，点 P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|=4 ，则|PA|+|PO| 的最小值是 _. 【解析】由 |AF|=4 及抛物线定义得A到准线的距离为4. 所以 A点横坐

9、标为 -2，所以 A(-2 ，4) 或 A(-2 ，-4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0) ，所以 |PA|+|PO| 的最小值为 |AB|=2. 答案： 27.(2015 延安高二检测 ) 过抛物线y2=2px(p0) 的焦点 F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于 A，B两点，则的值是 _. 【解析】设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，且 x1x2，易知直线AB的方程为y=x-p，代入抛物线方程y2=2px，可得 3x2-5px+p2=0，所以 x1+x2=p，x1x2=，可得x1=p，x2=，可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

10、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 得=3. 答案： 3 8.(2015 黄石高二检测 ) 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0) ，直线l与抛物线 C相交于 A，B两点. 若 AB的中点为 (2 ，2) ，则直线l的方程为 _. 【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x. 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则=4x1，=4x2，两式相减得-=4(x2-x1). 整理得=， 由于 kAB=， 而 AB中点为 (2 ，2)，所以 y2+y1=4，于是 kAB=1，因此直线方程为y-2=x

11、-2 ，即 y=x. 答案： y=x 三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分) 9. 已知抛物线y2=-x 与直线 y=k(x+1) 相交于 A,B 两点 . (1) 求证 :OAOB. (2) 当 OAB的面积等于时, 求 k 的值 . 【解析】 (1) 如图所示 , 由消去 x 得,ky2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-. 因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上, 所以=-x1,=-x2, 所以=x1x2. 因为 kOAkOB=-1, 所以 OA OB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

12、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (2) 设直线与 x 轴交于点 N,显然 k0. 令 y=0, 得 x=-1, 即 N(-1,0). 因为=+=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON| |y1-y2|, 所以=1=. 因为=, 所以=, 解得 k=. 10.(2015 大连高二检测 ) 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1) ，B(x2，y2) 均在抛物线上 . (1) 写出该抛物线的方程及其准线方程. (2) 当 PA与 PB的斜率存

13、在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率 . 【解题指南】 (1) 利用点 P(1，2) 在抛物线上可求方程. (2) 倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解. 【解析】 (1) 由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p0). 因为点 P(1，2) 在抛物线上，所以22=2p1，解得 p=2. 故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1. (2) 设直线 PA的斜率为 kPA，直线 PB的斜率为 kPB，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15

14、页 - - - - - - - - - - 则 kPA=(x11) ，kPB=(x21) ，因为 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA=-kPB. 由 A(x1，y1) ， B(x2，y2) 均在抛物线上，得所以=-，所以=-，所以 y1+2=-(y2+2). 所以 y1+y2=-4. 由 - 得，-=4(x1-x2) ，所以 kAB=-1(x1x2). (20 分钟40 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 1.(2015 银川高二检测) 已知抛物线y2=2px(p0) ，过点E(m，0)(m0) 的直线交抛物线于精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

15、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 点 M ，N，交 y 轴于点 P，若=，=，则 += ( ) A.1 B.-C.-1 D.-2 【解析】选C.由题意设过点E 的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0. 设 M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，则 x1+x2=，x1x2=m2. 由可得则+=+=-1. 【补偿训练】设双曲线-=1(a0，b0) 的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.B.

16、2 C.D.【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=x. 因为渐近线与y=x2+1 相切，所以 x2+x+1=0 有两相等根，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以 =-4=0，所以 b2=4a2，所以 e=. 2.(2014 四川高考 ) 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点， 点 A，B在该抛物线上且位于x 轴的两侧，=2( 其中 O为坐标原点 ) ，则 ABO与 AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.D.【解析】

17、选B.可设直线 AB的方程为： x=ty+m，点 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则直线AB与 x 轴的交点 M(m ，0) ，由? y2-ty-m=0 ，所以 y1y2=-m，又=2? x1x2+y1y2=2? (y1y2)2+y1y2-2=0 ，因为点 A，B在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y1y2=-2，故 m=2 ，又 F，于是 SABO+SAFO=2|y1-y2|+|y1|=|y1+|+|y1|=|y1|+2=3，当且仅当|y1|=，即|y1|=时取“ =” ，所以 ABO与 AFO面积之和的最小值是3. 【补偿训练】 (2015 龙岩模拟 ) 已知 P是抛物线 y2=4

18、x 上的一个动点， Q是圆 (x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，N(1，0) 是一个定点，则|PQ|+|PN| 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.+1 【解析】选A.N 恰好为抛物线的焦点，|PN| 等于 P到准线的距离，要想|PQ|+|PN| 最小，过圆心 (3 ，1)作抛物线 y2=4x 的准线 x=-1 的垂线交抛物线于点P，交圆于 Q，最小值等于圆心(3，1) 到准线 x=-1 的距离减去半径，即4-1=3. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 3.(2015 南通高二检测) 过抛物线y2=2px(p0) 的焦点 F的直线l与抛物线在第一象限的交精品资

19、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 点为 A， 直线l与抛物线的准线的交点为B，点 A在抛物线的准线上的射影为C， 若=，=36，则抛物线的方程为_. 【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数p 的方程求解 . 【解析】由=知 F 为 AB的中点，设准线与x 轴的交点为D，则 |DF|=|AC|=p ，所以|AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p ，所以 ABC=30 ， |BC|=2p，=|BA|BC| cos 30=4p2p

20、=36，解得 p=，所以 y2=2x. 答案： y2=2x 4. 已知抛物线y2=2x, 点 A 的坐标为,P 为抛物线上的点, 当 |PA| 最小时 ,P 的坐标为_; 当 P到直线 x-y+3=0 的距离最短时 , 最短距离是 _. 【解析】 (1) 设 P(x,y),则|PA|2=+y2=+2x=+. 因为x0 且在此区间上函数单调递增, 故当x=0 时 ,|PA| 有最小值, 离 A 点最近的点P(0,0). (2) 设点 P(x0,y0) 是抛物线 y2=2x 上任一点 , 则 P到直线 x-y+3=0 的距离为d=, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

21、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以当 y0=1,d 有最小值. 答案 :(0,0) 【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错. 【补偿训练】设圆C位于抛物线y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域( 包含边界 ) 内，则圆C的半径能取到的最大值为_. 【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于 x 轴上且与 x=3 相切时才有可能，可设圆心坐标是(a ，0)(0a3) ，则由条件知圆的方程是(x-a)2+y2=(3-a)2. 由消去 y 得 x

22、2+2(1-a)x+6a-9=0，结合图形分析可知，当=2-4(6a-9)=0且 0a0) 的焦点为 F, 直线 y=4 与 y 轴的交点为P,与 C的交点为 Q,且|QF|=|PQ|. (1) 求 C的方程 . (2) 过 F的直线l与 C相交于 A,B 两点, 若 AB的垂直平分线l与 C相交于 M,N两点 , 且 A,M,B,N四点在同一圆上, 求l的方程 . 【解题指南】 (1) 设点 Q的坐标为 (x0,4), 把点 Q的坐标代入抛物线C的方程 , 求得 x0=, 根据|QF|=|PQ| 求得 p 的值 , 可得 C的方程 . (2) 设l的方程为 x=my+1(m0), 代入抛物线

23、方程化简, 利用根与系数的关系、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|, 把直线l的方程线代入抛物线方程化简, 利用根与系数的关系、弦长公式求得 |MN|, 由于 MN 垂直平分线段AB,故 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|, 求得m的值 , 可得直线l的方程 . 【解析】 (1) 设点 Q的坐标为 (x0,4),把点 Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p0), 可得 x0= , 因为点 P(0,4),所以 |PQ|=. 又|QF|=x0+=+ ,|QF|=|PQ|, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

24、 - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以+=, 求得 p=2, 或 p=-2( 舍去 ). 故 C的方程为 y2=4x. (2) 由题意可得 , 直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为x=my+1(m 0), 代入抛物线方程可得y2-4my-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 显然判别式=16m2+160,y1+y2=4m,y1y2=-4, 所以 AB的中点坐标为D(2m2+1,2m), 弦长 |AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又直线l的斜率为 -m, 所以直线l的方程为x=-y+2m2+3. 把直线l的方程

25、代入抛物线方程可得y2+y-4(2m2+3)=0, 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 所以 y3+y4=,y3y4=-4(2m2+3). 故线段 MN 的中点 E的坐标为 (+2m2+3,), 所以 |MN|=|y3-y4| =, 因为 MN垂直平分线段AB,故 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|, 所以|AB|2+|DE|2=|MN|2, 所以 4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2=, 化简可得 m2-1=0, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13

26、页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以 m= 1, 所以直线l的方程为 x-y-1=0,或 x+y-1=0. 关闭 Word 文档返回原板块精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -