球的体积和表面积公式的推导-完整版PPT课件.ppt

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1、一、知识储备一、知识储备 . 1 Vhr，则则圆圆柱柱的的体体积积为为，高高为为若若圆圆柱柱的的底底面面圆圆半半径径为为 . 2 Vhr，则则圆圆锥锥的的体体积积为为，高高为为若若圆圆锥锥的的底底面面圆圆半半径径为为 321. 32222 n求求和和：hr2 hr231 ) 12)(1(61 nnnR.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球?V半球331RV 圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比二、球的体积公式的猜想二、球的体积公式的猜想 学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来，所以我们先来回忆圆面学习球的知识要注意和圆的有关知

2、识结合起来，所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是长是把一个圆近似的看成是长是RR、宽是、宽是R R的矩形的矩形. .三、球的体积公式的推导三、球的体积公式的推导那么圆的面积就近似等于那么圆的面积就近似等于R2.R2.当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式求值的步骤是：了圆的面积公式求值的步骤是：下 面 我 们 就 运 用 上

3、述 方 法 导 出 球 的 体 积 公 式即先把半球即先把半球 成成n n部分，再求出每一部分的部分，再求出每一部分的 ，并将这，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑 的情形，由半球的近似体积推出的情形，由半球的近似体积推出分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和三、球的体积公式的推导三、球的体积公式的推导分割分割近似体积近似体积n变为无穷大变为无穷大 准确体积准确体积AO,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2三、球的体积公式的推导三、球的体

4、积公式的推导解：如图，将此球的上半球自下而上解：如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，22(1) ,nnRrRn则各截面圆的半径为：则各截面圆的半径为：22(1 ) ,iRrRin,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2三、球的体积公式的推导三、球的体积公式的推导解：如图，将此球的上半球自下而上解：如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，22(1) ,nnRrRn则各截面圆的半径为：则各截面圆的半径为：22(1 ) ,iRrRin23111;RVrRnn各部分可近似的看做一个各部分可近似

5、的看做一个圆柱，各部分的积体为：圆柱，各部分的积体为：22322211(1);RVrRnnn22333212(1);RVrRnnn22321(1)1;iiRiVrRnnn22321(1)1.nnRnVrRnnn已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .AOB2C2三、球的体积公式的推导三、球的体积公式的推导解：如图，将此球的上半球自下而上解：如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，23111;RVrRnn各部分可近似的看做一个圆柱各部分可近似的看做一个圆柱, ,各部分的面积为：各部分的面积为：22322211(1);RVrRnnn22333212(1);RVrRnnn

6、22321(1)1;iiRiVrRnnn22321(1)1.nnRnVrRnnn12nVVVV半球3222212(1)Rnnnn321(1)(21)6Rnnnnnn321(1)( 21)16nnRn222112(1)(1)(21).6nn nn（这个公式今后公：将会学到）式已知球的半径为已知球的半径为R,R,求球的体积求球的体积. .AOB2C2三、球的体积公式的推导三、球的体积公式的推导解：如图，将此球的上半球自下而上解：如图，将此球的上半球自下而上n n等分，等分，321(1)(21)16nnVRn半球311(1)( 2)16nnVR半 球1,0 .nn当时33234.3VRVR半球从而3

7、43RVR半径是 的球的体积为：定理：这种解题的思想，称为极限思想这种解题的思想，称为极限思想. .RROORR一个半径和高都等于一个半径和高都等于R R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后的圆锥后, ,所得的几何体的体积与一个半径为所得的几何体的体积与一个半径为R R的半球的体积相等。的半球的体积相等。结论结论: :球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 322221 1 RR-RR- RRRR3 3你还有什么办法来说明这个结论吗？你还有什么办法来说明这个结论吗？（

8、结合（结合P30P30页课后探究一下）页课后探究一下）思考思考: :通过以上试验你还有什么发现？通过以上试验你还有什么发现？AOO OO O1 1R Rr r成果展示（一）成果展示（一）: :为球的半径）为球的半径）（球的体积公式：球的体积公式：RRV334. 1 直直线线与与截截面面圆圆所所在在平平面面垂垂）小小圆圆圆圆心心与与球球心心的的连连（否否则则叫叫小小圆圆心心，则则所所得得圆圆叫叫大大圆圆；）若若截截面面圆圆的的圆圆心心为为球球（得得截截面面形形状状为为圆圆用用一一个个平平面面去去截截球球，所所21. 2O OO O1 1R Rr r半半球球圆圆锥锥圆圆柱柱即即其其体体积积比比值值

9、为为的的圆圆锥锥、半半球球和和圆圆柱柱，同同底底且且高高为为底底面面圆圆半半径径VVV 3:2:1. 3成果应用成果应用: : 1. 1，则这个大球的半径为，则这个大球的半径为的铁球，熔化成一个球的铁球，熔化成一个球两个半径为两个半径为 1 2. 2，则该球体积为，则该球体积为该截面的距离为该截面的距离为，已知球心到，已知球心到截面的面积为截面的面积为用一个平面去截球所得用一个平面去截球所得 32O OO O1 1R R1 1r r 34(2)(2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为顶点便得球心作为顶点便得到到n n个棱

10、锥个棱锥, ,越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的趋近于无穷大时就精确到等于球的体积体积. .(1)(1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表每小块表面可近似看作一个平面面可近似看作一个平面, ,趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和等于球的表小块平面面积之和等于球的表面积面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式

11、呢求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, ,是否也可借助于这种极是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢限思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式思路如下：下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式思路如下：四、球的表面积公式的推导四、球的表面积公式的推导oiS o四、球的表面积公式的推导四、球的表面积公式的推导第一步：分割第一步：分割球面被分割成球面被分割成n n个网格个网格, ,表面积分别为：表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则

12、球的体积为：iV设“小锥体”的体积为：iVnVVVVV 321iSO OO O四、球的表面积公式的推导四、球的表面积公式的推导第二步：求近似和第二步：求近似和ihO OiSiViiihSV 31 由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 第三步：化为准确和第三步：化为准确和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小锥体小锥体”就越接近小棱就越接近小棱锥锥. .RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 343VR又 球 的 体 积 为 ：，RiS iVihiSO OiV

13、3241,4.33RR SSR从 而ihR的 值 就 趋 向 于 球 的 半 径，四、球的表面积公式的推导四、球的表面积公式的推导成果展示（二）成果展示（二）: :为为球球的的半半径径）（球球的的表表面面积积公公式式：RRS24. 4 成果应用成果应用: :列列）北北面面，则则它它的的体体积积为为已已知知球球的的表表面面积积为为2( 64. 3 列列）中中间间，则则它它的的表表面面积积已已知知球球的的体体积积为为3( 3500. 4 3256列列）南南面面积积之之比比为为，那那么么这这两两个个球球的的表表面面两两个个球球的的体体积积之之比比为为2( 27:8. 5 1009:4例题例题: :的

14、的侧侧面面积积）球球的的表表面面积积等等于于圆圆柱柱（；积积的的）球球的的体体积积等等于于圆圆柱柱体体（求求证证：与与高高都都等等于于球球的的直直径径，如如图图，圆圆柱柱的的底底面面直直径径2321形形状状是是怎怎样样的的？柱柱什什么么关关系系？轴轴截截面面的的思思考考：此此图图形形中中球球与与圆圆关关系系？棱棱长长与与球球的的半半径径有有什什么么有有什什么么特特点点？四四棱棱柱柱的的思思考考：球球的的外外切切四四棱棱柱柱五、课堂小结：五、课堂小结：思思想想方方法法：球球与与其其他他几几何何体体的的组组合合球球的的截截面面特特点点：球球的的表表面面积积公公式式：球球的的体体积积公公式式：. 5. 4. 3. 2. 1334RV 24 RS 连连线线与与截截面面圆圆垂垂直直圆圆形形，小小圆圆圆圆心心与与球球心心）内内切切与与外外接接（待待续续数数形形结结合合、极极限限思思想想