有限元进展报告课件.ppt

《有限元进展报告课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元进展报告课件.ppt（101页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022-4-201有限元方法研究进展有限元方法研究进展西安交通大学西安交通大学航天航空学院航天航空学院2022-4-202 不连续力学问题分析的新型数值不连续力学问题分析的新型数值方法方法（包括扩展有限元方（包括扩展有限元方法、数值流形方法、多尺度有限元方法等）；法、数值流形方法、多尺度有限元方法等）； 无限元无限元方法方法：建议使用一种新思路，构造无限单元的形状：建议使用一种新思路，构造无限单元的形状插值函数，藉此提出一种广义无限单元法；插值函数，藉此提出一种广义无限单元法； 复合材料宏观等效特性研究：提出宏观等效特性预估的一复合材料宏观等效特性研究：提出宏观等效特性预估的一种统一种统一方

2、法方法； 有限元有限元形状函数插值精度研究：提出一种判断准则，构造形状函数插值精度研究：提出一种判断准则，构造一种四边形八结点单元（一种四边形八结点单元（Q8 ）；）； 高频振动与噪声问题的高频振动与噪声问题的数值求解数值求解； 压电片优化布置的压电片优化布置的数值方法数值方法研究。研究。研究兴趣：研究兴趣：关键词：关键词：1）数值求解）数值求解2）方法研究）方法研究3）有限元方法）有限元方法2022-4-203 主持国家自然科学基金项目：用新型有限元法研究功能梯度材料中的主持国家自然科学基金项目：用新型有限元法研究功能梯度材料中的多裂纹扩展（批准号：多裂纹扩展（批准号：10472090；20

3、05年）年） 主持教育部新世纪优秀人才支持计划项目：非均匀材料断裂问题的新主持教育部新世纪优秀人才支持计划项目：非均匀材料断裂问题的新型数值模拟（批准号：型数值模拟（批准号：NCET-04-0930; 2005-2007年）年） 主持国家自然科学基金项目：具有曲界面的薄膜主持国家自然科学基金项目：具有曲界面的薄膜/基底结构中裂纹的生基底结构中裂纹的生长规律研究（长规律研究（10572109；2006-2008年）年） 负责负责X973专题专题 主持国家自然科学基金项目：用覆盖数值方法研究非均匀固体中的累主持国家自然科学基金项目：用覆盖数值方法研究非均匀固体中的累积破坏（积破坏（10972172

4、； 2010-2012年年 ） 其它项目其它项目支撑项目：支撑项目：2022-4-204近年来主要期刊论文：近年来主要期刊论文：1. Engineering Analysis with Boundary Elements 34 (2010) 619-624 2. Engineering Analysis with Boundary Elements 34 (2010) 41503. Finite Elements in Analysis and Design 45(2009): 721-729 4. International Journal of Fracture (2009)156: 21

5、-355. 应用力学学报，2009年第1期，96-1086. Int J for Numerical Methods in Engineering, 76(2008): 1285-12957. Composites Science and Technology, 68 (2008): 1649-16538. 力学进展，37, 2 (May 25, 2007): 161-1749. Computational Materials Science, 41, 2 (Dec 2007): 145-15510. Computational Materials Science, 39, 3 (May 20

6、07): 684-69611. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 127(February, 2005): 2-1112. Materials Characterization, 54,1 (2005): 49-622022-4-205近年来主要期刊论文：近年来主要期刊论文：13. 力学进展, 35, 1(Feb. 25, 2005): 5-2014. 复合材料学报，第22卷第2期（2005年4月）：160-16515. International Journal of Engineering Science 43, 13-14 (2005):

7、1138-115616. Journal of Computational Acoustics 12, 4 (2004): 543-57017. Communications in Numerical Methods in Engineering, 20(2004): 671-67918. Finite Elements in Analysis & Design, 41,1(2004): 91-10819. Applied Acoustics , 64(2003): 55-7020. Journal of Sound and Vibration, 261(2003): 945-95121. J

8、ournal of Computational Acoustics, 10, 1 (2002): 113-12122. Smart Materials and Structures, 10, 2(April 2001): 421-42623. Smart Materials and Structures, 9, 4(August 2000): 485-491 2022-4-206 基于区域基于区域的数值方法，如的数值方法，如FEM，FDM和和FVM。Meshfree方法也归为这一类。方法也归为这一类。 基于边界基于边界的数值方法，如的数值方法，如BEM。总论（总论（1 1）：）：科学研究和复杂

9、工程问题的解决离不开数值计科学研究和复杂工程问题的解决离不开数值计算。数值方法可分为：算。数值方法可分为：2022-4-207FEM的优点：的优点： 系统矩阵的对称、稀疏和带状性，利于存贮和求解。系统矩阵的对称、稀疏和带状性，利于存贮和求解。 非常灵活，适用于任意几何形状和边界条件；适用于非常灵活，适用于任意几何形状和边界条件；适用于任何材料和几何非线性问题；适用于各向异性材料和任何材料和几何非线性问题；适用于各向异性材料和非均匀问题。非均匀问题。 单一位移场方法，极易于编程实现。单一位移场方法，极易于编程实现。 总论（总论（2 2）：）： 有限元方法（有限元方法（FEM）已得到了广泛的普及和

10、应用，已）已得到了广泛的普及和应用，已有很多商用软件：现在常用的有有很多商用软件：现在常用的有Ansys, Abaqus, Nastran等；等；早先还有早先还有SAP，Adina等。最近几年出现的商用软件等。最近几年出现的商用软件StressCheck等专用有限元软件。等专用有限元软件。2022-4-208它只适用于有界域（它只适用于有界域（bounded）问题，而诸如声、电磁波、地基）问题，而诸如声、电磁波、地基等等无界域（无界域（unbounded）问题）问题只能通过近似方法加以解决。只能通过近似方法加以解决。单元形状不规则时单元形状不规则时，单元的插值精度将严重退化，这样，在处理，单元

11、的插值精度将严重退化，这样，在处理大变形问题时，会出现较大的误差，或需要更高的单元密度。大变形问题时，会出现较大的误差，或需要更高的单元密度。处理弱不连续问题时处理弱不连续问题时，需要考虑详细的内部结构，显得非常笨拙，需要考虑详细的内部结构，显得非常笨拙，对实际中的复杂结构问题，效率低下，有时无能为力。对实际中的复杂结构问题，效率低下，有时无能为力。处理强不处理强不连续问题时连续问题时，需要高得难以接受的网格密度，而且数值模拟的精，需要高得难以接受的网格密度，而且数值模拟的精度较差。度较差。 总论（总论（3 3）：）：FEM的缺点：的缺点： 总之，总之，FEM至少在以上至少在以上三个方面三个方

12、面还有许多工作可以开还有许多工作可以开展，才能成为科学研究和工程应用中一种展，才能成为科学研究和工程应用中一种真正的高效真正的高效、高高精度的精度的数值手段。数值手段。2022-4-209专题一：无限元方法及研究进展专题一：无限元方法及研究进展专题二：有限元形状函数研究专题二：有限元形状函数研究专题三：不连续问题及新型有限元方法专题三：不连续问题及新型有限元方法报告提纲报告提纲2022-4-2010专题一：无限元方法及研究进展专题一：无限元方法及研究进展专题二：有限元形状函数研究专题二：有限元形状函数研究专题三：不连续问题及新型有限元方法专题三：不连续问题及新型有限元方法报告提纲报告提纲202

13、2-4-2011 工程背景及问题的提出工程背景及问题的提出 研究现状分析研究现状分析 存在问题及解决方案存在问题及解决方案 专题一专题一无限元方法及研究进展无限元方法及研究进展2022-4-2012实际问题的地形图及数值模型实际问题的地形图及数值模型工程背景（工程背景（1 1）2022-4-2013-500050010001500200000.050.10.150.20.250.3Time(s)Pressure (Pa)典型爆破声源的声压变化曲线：典型爆破声源的声压变化曲线：)exp()1 (ddmtttt工程背景（工程背景（2 2）2022-4-2014 这类问题的最主要特点在于几何上是这类

14、问题的最主要特点在于几何上是无无界的界的而不是有界的，而不是有界的，开放的开放的而不是闭合的；而不是闭合的；要综合运用有限元法要综合运用有限元法(FEM)与无限元法与无限元法(IEM)来求解来求解: FEM用于模拟近场用于模拟近场，即声源附近和几何边界复杂的，即声源附近和几何边界复杂的区域区域 IEM用于用于模拟模拟剩余的剩余的无界声场无界声场研究现状（研究现状（1 1）2022-4-2015 无限元的特点：无限元的特点： 严格地讲，应被称为严格地讲，应被称为半无限元半无限元（如下图）；（如下图）； 广义地讲，是一种广义地讲，是一种特殊的有限元特殊的有限元（二者的（二者的“体积体积”都不是无限

15、小）；都不是无限小）； 一端（或是有一维、一个方向上）趋于无限远，且单元在此过一端（或是有一维、一个方向上）趋于无限远，且单元在此过 程中是发散的、永不相交的。程中是发散的、永不相交的。IIIIIIIV研究现状（研究现状（2 2）2022-4-2016 1977年英国人年英国人Bettess等首先提出无限元（等首先提出无限元（IEM）的）的概念概念 1985年年Zienkiewicz和和Bettess提出映射无限元提出映射无限元（Bettess元）元） 1994年新西兰人年新西兰人Astley等结合他们多年研究的波包等结合他们多年研究的波包络线法提出了映射包络线无限元（络线法提出了映射包络线无

16、限元（Astley元）元） 1994年美国贝尔实验室的年美国贝尔实验室的Burnett提出了基于提出了基于“多多极展开极展开”的三维无限元（的三维无限元（Burnett 元）元）研究现状（研究现状（3 3）2022-4-2017几种无限元间的比较几种无限元间的比较Bettess元元Astley元元Burnett元元坐标系坐标系直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标共焦椭圆共焦椭圆几何映射几何映射映射映射映射映射非映射非映射形状函数形状函数虚拟声源虚拟声源虚拟声源虚拟声源多极展开多极展开加权函数加权函数非共轭非共轭共轭共轭非共轭非共轭数值积分数值积分特殊处理特殊处理Gauss积分积分特殊处理特殊处理系

17、统矩阵系统矩阵对称对称非对称非对称对称对称瞬态问题瞬态问题不适合不适合适合适合不适合不适合无限方向无限方向与有限方向混合与有限方向混合与有限方向混合与有限方向混合与有限方向分离与有限方向分离单元生成单元生成灵活灵活灵活灵活不灵活不灵活声源形状声源形状近球形近球形近球形近球形椭球形椭球形声源类型声源类型闭、开闭、开闭、开闭、开封闭形封闭形研究现状（研究现状（4 4）2022-4-2018第一个问题：第一个问题：“拇指法则拇指法则”对网格的限制对网格的限制控制方程：控制方程：Helmholtz 方程方程拇指法则：拇指法则：每波长内要保证有每波长内要保证有7-10个单元，才能获得有个单元，才能获得有

18、意义的数值（有限元）解。意义的数值（有限元）解。例如，对于例如，对于40Hz的声波，若波速为的声波，若波速为340m/s，则单元尺，则单元尺寸不能超过寸不能超过 340/40/7=1.2(m)220pkp存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（1-11-1）2022-4-2019一种解决方案一种解决方案引入变换引入变换使得使得Helmholtz方程变成方程变成存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（1-21-2）( ,)exp()( ,)p x yikr p x y220 xyxyikpikppprrr2022-4-2020引入新方案后的效果（稳态解之一）引入新方案后的效果（稳态解之一）单极子

19、的辐射单极子的辐射 f(Hz) 5 40 85 170 500 1000 2000 IWEE 0.0969 0.9848 4.915 -22.15 -43.90 -45.99 -46.51 Present 0.0703 0.0025 0.0000 0.0025 0.0012 0.0012 0.0012 声压计算结果比较（dB）存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（1-31-3）2022-4-2021引入新方案后的效果（稳态解之二）引入新方案后的效果（稳态解之二）偶极子的辐射偶极子的辐射 f(Hz) 5 40 85 170 500 1000 2000 p(Pa) 38.83 340.8 425

20、.4 419.5 412.6 411.7 411.4 IWEE 0.4566 -0.1963 0.3739 -0.1286 -2.429 0.2559 -4.215 Present 0.4569 -0.2097 0.2828 -0.1752 -0.0324 -0.0577 -0.0319 声压计算结果比较（dB）存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（1-41-4）2022-4-2022引入新方案后的效果（瞬态解之一）引入新方案后的效果（瞬态解之一）存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（1-51-5）2022-4-2023引入新方案后的效果（瞬态解之二）引入新方案后的效果（瞬态解之二）存在问

21、题及解决方案（存在问题及解决方案（1-61-6）2022-4-2024研究展望研究展望存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（1-71-7） 应该注意，应该注意，“拇指法则拇指法则”在电磁波等高频在电磁波等高频（短波）波室内传播问题中显得尤为突出。（短波）波室内传播问题中显得尤为突出。如何对这类问题进行有效数值求解，是目前如何对这类问题进行有效数值求解，是目前这一领域研究的难点，也是热点。这一领域研究的难点，也是热点。2022-4-2025第二个问题：第二个问题：“虚拟声源虚拟声源”概念的合理概念的合理性性虚拟声源：虚拟声源：是指在映射无限元的几何映射中，中结点相对是指在映射无限元的几何映射中

22、，中结点相对于角结点的映像，如下图。它在解释映射无限元形状函数于角结点的映像，如下图。它在解释映射无限元形状函数的物理含义时非常有用，是的物理含义时非常有用，是在局部坐标系内建立映射无限在局部坐标系内建立映射无限元形状函数元形状函数的理论基础。的理论基础。虚拟声源虚拟声源中结点中结点角结点角结点存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-12-1）2022-4-2026解决方案解决方案 舍弃舍弃“虚拟声源虚拟声源”概念，代之以更广义的概念，代之以更广义的“多极展开多极展开”理论。理论。 多极展开理论：多极展开理论：任何一个衰减问题（波的辐任何一个衰减问题（波的辐射或散射等）的场变量都可以展开成

23、射或散射等）的场变量都可以展开成衰减变量衰减变量的的级数和形式，即：级数和形式，即：0),(),();,(),(nnnmikkFep存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-22-2）2022-4-2027 藉此，我们首次导出了无限元形状函数的统藉此，我们首次导出了无限元形状函数的统一表达式，即一表达式，即其中其中 它精确满足多极展开理论，且当虚拟声源位于坐标原它精确满足多极展开理论，且当虚拟声源位于坐标原点时退化成点时退化成Bettess元与元与Astley元中所用的形状函数。元中所用的形状函数。1( )(1, 2,)()kmjjjjjPjk 1()()njiiij存在问题及解决方案（存在

24、问题及解决方案（2-32-3）2022-4-2028 用局部坐标表示即为用局部坐标表示即为其中其中 为传统的为传统的(n-1)次次Lagrange多项式，且多项式，且满足满足而而 为新出现的因子，其形式为为新出现的因子，其形式为其中其中 称为特征映射，它对应于所称为特征映射，它对应于所使用的几何映射。使用的几何映射。)()(jjjPSP)(jPjlljP)()(jSmnjmjjRRS1)()(11)()1 (2)(R存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-42-4）2022-4-2029虚拟声源概念不适当的算例虚拟声源概念不适当的算例 下面是用下面是用Astley元计算单极子辐射问题的例子

25、，我元计算单极子辐射问题的例子，我们使用了极端情况下的几何映射，但都符合虚拟声源概们使用了极端情况下的几何映射，但都符合虚拟声源概念的要求。念的要求。存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-52-5） 1.3 1.4 1.5 2 3 4 5 2nd 37.41 25.52 16.54 0.00 33.08 99.25 178.7 5th 9.38 3.67 1.26 0.00 6.95 98.24 383.0 7th 3.70 1.00 0.22 0.00 2.43 97.57 644.0 9th 1.45 0.27 0.04 0.00 0.85 96.89 1084 不同阶Astley元

26、计算结果的相对误差2022-4-2030引入新形状函数后的效果（之一）引入新形状函数后的效果（之一）单极子辐射单极子辐射存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-62-6）不同方法数值计算结果比较 Present Cremers et al x Exact 1st 2nd 1st 2nd 7th 8th 9th 10th 9 .11111 .11115 .11115 .03518 .07484 .11102 .11109 .11112 .11114 10 .10000 .10003 .10006 .01759 .05920 .09998 .10003 .09999 .10003 100 .0

27、1000 .01000 .01003 .00038 .00175 .00873 .00922 .00956 .01021 500 .00200 .00200 .00201 .00007 .00033 .00170 .00181 .00188 .00204 1000 .00100 .00100 .00100 .00004 .00016 .00085 .00090 .00094 .00102 2022-4-2031引入新形状函数后的效果（之二）引入新形状函数后的效果（之二）所使用的三个模型之一（等比模型）所使用的三个模型之一（等比模型）rIr0rIIIFE zoneIE zone存在问题及解决方案

28、（存在问题及解决方案（2-72-7）2022-4-2032引入新形状函数后的效果（之三）引入新形状函数后的效果（之三）所使用的三个模型之二（单调比率模型）所使用的三个模型之二（单调比率模型）rIr0rI IIFE zoneIE zone存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-82-8）2022-4-2033引入新形状函数后的效果（之四）引入新形状函数后的效果（之四）所使用的三个模型之三（随机比率模型）所使用的三个模型之三（随机比率模型）rIr0rIIIFE zoneIE zone存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-92-9）2022-4-2034引入新形状函数后的效果（之五）引入新

29、形状函数后的效果（之五）等比模型的计算结果比较（偶极子辐射）等比模型的计算结果比较（偶极子辐射）0510152025300306090120150180Angle ( )Relative error(%)Present(=1.2, 5)Astley (=1.2)Astley (=5)01002003004005006000306090120150180Angle ()Pressure (Pa)AnalyticPresent(=1.2, 5)Astley (=1.2)Astley (=5)存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-102-10）2022-4-2035引入新形状函数后的效果（之六

30、）引入新形状函数后的效果（之六）单调比率模型的计算结果比较（偶极子辐射）单调比率模型的计算结果比较（偶极子辐射）01002003004005006000306090120150180Angle ( )Pressure (Pa)AnalyticPresent(=1.26.6)Astley (=1.26.6)010203040500306090120150180Angle ( )Relative error(%)Present(=1.26.6)Astley(=1.2 6.6)存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-112-11）2022-4-2036引入新形状函数后的效果（之七）引入新形状函数

31、后的效果（之七）随机比率模型的计算结果比较（偶极子辐射）随机比率模型的计算结果比较（偶极子辐射）01002003004005006000306090120150180Angle ( )Pressure (Pa)AnalyticPresent(=1.56.5)Astley (=1.56.5)051015200306090120150180Angle ( )Relative error(%)Present(=1.56.5)Astley (=1.56.5)存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-122-12）2022-4-2037引入新形状函数后的效果（之八）引入新形状函数后的效果（之八）等比模

32、型的计算结果比较（圆柱体散射）等比模型的计算结果比较（圆柱体散射）00.20.40.60.811.21.40306090120150180angle ( )Scaled pressureAnalyticPresent (=1.2, 5)Astley (=1.2)Astley (=5)0204060801000306090120150180angle ( )Relative error(%)Present (=1.2, 5)Astley (=1.2)Astley (=5)存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-132-13）2022-4-2038引入新形状函数后的效果（之九）引入新形状函数后

33、的效果（之九）单调比率模型的计算结果比较（圆柱体散射）单调比率模型的计算结果比较（圆柱体散射）00.20.40.60.811.21.40306090120150180angle ( )Scaled pressureAnalyticPresent (=1.26.6)Astley (=1.26.6)010203040506070800306090120150180angle ( )Relative error(%)Present(=1.26.6)Astley(=1.2 6.6)存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-142-14）2022-4-2039引入新形状函数后的效果（之十）引入新形状函

34、数后的效果（之十）随机比率模型的计算结果比较（圆柱体散射）随机比率模型的计算结果比较（圆柱体散射）00.20.40.60.811.21.40306090120150180angle ( )Scaled pressureAnalyticPresent (=1.56.5)Astley (=1.56.5)0204060801001200306090120150180angle ( )Relative error(%)Present(=1.56.5)Astley(=1.56.5)存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（2-152-15）2022-4-2040引入广义形状函数后的效果（之一）引入广义形状

35、函数后的效果（之一）所使用的两个模型所使用的两个模型zr FE zoneIE zoneopistoninfinite baffleenclosingcirclemid-side pointszr FE zoneIE zoneopistoninfinite baffleenclosingellipsemid-side points存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（3-13-1）2022-4-2041引入广义形状函数后的效果（之二）引入广义形状函数后的效果（之二）第一种模型的计算结果比较第一种模型的计算结果比较010203040500102030405060708090Angle ()Amp

36、litude error(10-2)PresentAstley01020304050600102030405060708090Angle ()Amplitude error(10-2)PresentAstley6kD8kD存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（3-23-2） 时的计算结果 时的计算结果2022-4-2042引入广义形状函数后的效果（之三）引入广义形状函数后的效果（之三）第二种模型的计算结果比较第二种模型的计算结果比较6kD8kD01020300102030405060708090Angle ()Amplitude error(10-2)PresentAstley0510150

37、102030405060708090Angle ()Amplitude error(10-2)PresentAstley存在问题及解决方案（存在问题及解决方案（3-33-3） 时的计算结果 时的计算结果2022-4-2043专题一：无限元方法及研究进展专题一：无限元方法及研究进展专题二：有限元形状函数研究专题二：有限元形状函数研究专题三：不连续问题及新型有限元方法专题三：不连续问题及新型有限元方法报告提纲报告提纲2022-4-2044l 研究现状研究现状l 问题的提出问题的提出l 对问题的分析对问题的分析l 一个判断准则及其应用一个判断准则及其应用l 一种新单元及应用一种新单元及应用l 结论结

38、论专题二专题二有限元形状函数研究有限元形状函数研究2022-4-2045有限元方法的插值精度有限元方法的插值精度 出发点：出发点：有限元方法的插值精度取决于单元形状有限元方法的插值精度取决于单元形状 函数构造的优劣。函数构造的优劣。 基本概念：单元及其形状函数基本概念：单元及其形状函数 类型类型（维数、变形特性等）、（维数、变形特性等）、形状形状（三角形、四边形或六面体）（三角形、四边形或六面体）阶数阶数（线性或高阶）等（线性或高阶）等描述单元内待求场变描述单元内待求场变化的近似函数。化的近似函数。2022-4-2046研究现状研究现状(1)(1)第一步：利用几何映射引入局部坐标系和母单元。第

39、一步：利用几何映射引入局部坐标系和母单元。实际单元实际单元母单元母单元 (a)(b)(c)(d)2022-4-2047研究现状研究现状(2)(2)第二步：在局部坐标系内，以母单元为对象，根据单元的形第二步：在局部坐标系内，以母单元为对象，根据单元的形状和节点数，构造单元的插值形函数。状和节点数，构造单元的插值形函数。 四节点四边形单元的映射函数以八节点四边形单元（以八节点四边形单元（Q8） 为为例，其几何映射函数和插值形例，其几何映射函数和插值形函数如左式所示：函数如左式所示：(注：由于是注：由于是等参元，二者完全相同）等参元，二者完全相同）八节点四边形单元的第5-8个映射函数(8)1185(

40、8)2256(8)3367(8)4478(8)(8)5566(8)(8)778822222222;PNNNPNNNPNNNPNNNPNPNPNPN2022-4-2048研究现状研究现状(3)(3) 优点：很容易构造出满足协调性条件的形状优点：很容易构造出满足协调性条件的形状 函数函数 含义：如右图，协调性含义：如右图，协调性是指单元形状函数是指单元形状函数在单元在单元边上的插值仅取决于该边边上的插值仅取决于该边上的节点上的节点，与单元上的其，与单元上的其它节点无关。此属性将保它节点无关。此属性将保证单元间公共边上的插值证单元间公共边上的插值函数是连续的。函数是连续的。ABC2143576891

41、02022-4-2049研究现状研究现状(4)(4) 缺点缺点：由于没有考虑单元的实际形状，当单元形：由于没有考虑单元的实际形状，当单元形 状不规则或单元的朝向与整体坐标轴成一状不规则或单元的朝向与整体坐标轴成一 定夹角时，其插值精度严重退化。定夹角时，其插值精度严重退化。单元的实际形状与插值精度的劣化单元的实际形状与插值精度的劣化(图示规律是许多研究者得到的共识）图示规律是许多研究者得到的共识） 正矩形正矩形（较好）（较好） 斜正方形斜正方形（较好）（较好）平行四边形平行四边形（较好）（较好）正梯形正梯形（较差）（较差） 一般四边形一般四边形（较差）（较差）2022-4-2050问题的提出问

42、题的提出出现了两个问题：出现了两个问题：1）对于给定的单元，怎样确定形状函数能够精确达到的插）对于给定的单元，怎样确定形状函数能够精确达到的插值精度？值精度？2）我们）我们是否能够找到一种有效途径来改善单元的插值精是否能够找到一种有效途径来改善单元的插值精度？度？毕竟过去构造的形状函数（例如毕竟过去构造的形状函数（例如Q8单元）在其它单元）在其它方面有着诸多卓越的性能。方面有着诸多卓越的性能。 二者插值精度不同，二者插值精度不同，判断准则？可否改善？判断准则？可否改善？2022-4-2051对问题的分析对问题的分析(1)(1)在整体坐标系中，在整体坐标系中，R8单元的形状函数取下列形式单元的形

43、状函数取下列形式(8)222211112131415161718(8)222222122232425262728(8)222233132333435363738(8)2224414243444546474Paa xa ya xya xa ya x ya xyPaa xa ya xya xa ya x ya xyPaa xa ya xya xa ya x ya xyPaa xa ya xya xa ya x ya28(8)222255152535455565758(8)222266162636465666768(8)222277172737475767778(8)2228818283848586

44、87xyPaa xa ya xya xa ya x ya xyPaa xa ya xya xa ya x ya xyPaa xa ya xya xa ya x ya xyPaa xa ya xya xa ya x288ya xy2022-4-2052对问题的分析（对问题的分析（2 2） 用矩阵形式用矩阵形式(8)(8)(8)( , )PKfx y1112131415161718212223242526272831323334353637384142434445464748(8)51525354555657586162636465666768717273747576777881828384858

45、6878aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaKaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 8 (8)(8)(8)18TPPP22221Txyxyxyx yxy2022-4-2053对问题的分析（对问题的分析（3 3） 形状函数的必要条件形状函数的必要条件(8)(,)jiiijPx y22221234567822221234567810iiiiiiiiiiiiiiiiiijjijijiijijijiijiiaa xa ya x ya xa ya x ya x yaa xa ya x ya xa ya x ya x y(8)(8)KMI (8)(8

46、)(8)1188(,)(,)Mfx yfxy (8)(8)(8)( , )fx yMP 插值性条件！插值性条件！(8)(8)(8)( , )PKfx y2022-4-2054一个判断准则一个判断准则(8)(8)(8)( , )fx yMP形状函数与所要精确插值的精度之间的关系。形状函数与所要精确插值的精度之间的关系。第一个方程：第一个方程：1； 第二个方程：第二个方程：x；第三个方程：第三个方程：y； 第四个方程第四个方程:x*y；第五个方程第五个方程:x*x； 第六个方程：第六个方程：y*y；第七个方程第七个方程:x*x*y; 第八个方程：第八个方程：x*y*y；可推广至任意节点数目的任意单

47、元！可推广至任意节点数目的任意单元！2022-4-2055准则的应用之一准则的应用之一 Q8单元插值精度的校核单元插值精度的校核 (1)2x2y1jjP jjjP xxjjjP yy映射函数的映射函数的基本属性基本属性准则中前三个准则中前三个方程恒满足方程恒满足那么二次完备性那么二次完备性到底怎样到底怎样xy 一次完备性条件！一次完备性条件！?2022-4-2056准则的应用之一准则的应用之一 Q8单元插值精度的校核单元插值精度的校核 (2)1123411234212342123431234312344123441234() 4;() 4() 4;() 4() 4;() 4() 4;() 4X

48、xxxxYyyyyXxxxxYyyyyXxxxxYyyyyXxxxxYyyyyxy123412341 11 22 13 11 3222 33 21 44 12 23 322222 44 23 44 34 4()()()()()XXXXYYYYX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YX Y 左端2022-4-2057准则的应用之一准则的应用之一 Q8单元插值精度的校核单元插值精度的校核 (3)112233445566778811223344668811223344557711223344211223344557711223() 4 () 2()

49、4() 2() 4() 2() 4() 4() 2(x yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx y 2344668821122334455772112233446688) 4() 2() 4() 2() 4() 2x yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx y jjjjP x y右端2022-4-2058准则的应用之一准则的应用之一通过比较通过比较 Q8单元插值精度的校核单元插值精度的校核 (4)1

50、111223344556677881 22 11122334466881 33 11122334455772 33 21 44 111223344221122() 4 () 2() 4() 2() 4() 2() 4(X Yx yx yx yx yx yx yx yx yX YX Yx yx yx yx yx yx yX YX Yx yx yx yx yx yx yX YX YX YX Yx yx yx yx yX Yx yx y 334455773 311223344668824421122334455773 44 311223344668844) 4() 2() 4() 2() 4() 2