2022年对数与对数函数知识点与题型归纳 .pdf

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1、高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解 对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念， 理解 对数函数的单调性， 掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，且 a1) 备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点 . 一、知识梳理

2、 名师一号 P27 注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式abN，我们把“以 a 为底 N 的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 对数 b”记作 logaN，即 blogaN(a0，且 a1)其中，数a 叫做对数的底数， N 叫做真数，读作“ b 等于以 a 为底 N的对数”注意： ( 补充)关注定义 - 指对互化的依据2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么log

3、a(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnnmlogaM. (2)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0，且 a1)(3)对数的重要公式换底公式： logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于1)；logab1logba，推广 logab logbc logcdlogad. 注意： ( 补充)特殊结论 : log 10,log1aaa知识点二对数函数的图象与性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页

4、，共 31 页 - - - - - - - - - - 1.对数函数的图象与性质（注意定义域 !）a10a0，a1，N0)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 练习: (补充) 已知1135,2abkab求k答案: 15k例 3. 名师一号 P28 高频考点例 1(2) 已知函数 f(x)log2x，x0，3x1，x0，则 f(f(1)f log312的值是()A5B3C1D.72因为 f(1)log210，所以 f(f(1)f(0)

5、2. 因为 log31204x314x30，即34x1. 故原函数的定义域是 x|340 x11164x0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - - x1x0 x2即1x2，且 x0. 故原函数的定义域为 x|1x0，或 0 x0 恒成立， a24a0 4a0，即 a 的范围为 (4,0) 例 2. 名师一号 P27 对点自测 5 (2014 重庆卷 )函数 f(x)log2x log2(2x)的最小值为_精品资料 - - - 欢迎下载 -

6、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 解析根据对数运算性质，f(x)log2x log2(2x)12log2x 2log2(2x) log2x(1 log2x) (log2x)2 log2x log2x12214，当 x22时，函数取得最小值14. 注意：换元后“新元”的取值范围练习：1、求下列函数的值域（1）ylog15(x22x4) 答案1， ) （2）f(x)log22x3log2x2212x2解析令 tlog2x，12x21t1. 函数化为 yt26t2(t3

7、)27 1t1. 当 t1，即 x12时，ymax9. 当 t1，即 x2 时，ymin3，函数的值域为 3,9. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 2、已知集合22logy yxaxaR求实数 a 的取值范围分析当且仅当 f(x)x2axa 的值能够取遍一切正实数时，ylog2(x2axa)的值域才为 R. 而当0 恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏 ) 要使 f(x)能取遍一切正实数，

8、 作为二次函数， f(x)图像应与 x 轴有交点 (但此时定义域不再为 R) 正解要使函数 ylog2(x2axa)的值域为 R， 应使 f(x)x2axa 能取遍一切正数，要使f(x)x2axa 能取遍一切正实数，应有a24a0，a0 或 a 4，所求 a 的取值范围为 (， 40， ) 例 3.（1） 名师一号 P27 对点自测 4 已知 a0 且 a1，则函数 yloga(x2 015)2 的图象恒过定点 _ 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 31 页 - - - - -

9、 - - - - - 解析令 x2 0151，即 x2 014时，y2，故其图象恒过定点 (2 014,2)练习:无论 a 取何正数 (a1) ，函数33logayx恒过定点【答案】4 3,注意：对数函数01log,ayx aa且图象都经过定点 (1, 0) 例 3. （2） ( 补充)如右下图是对数函数 ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是() Aab1cdBba1dcC1abcd Dab1dc 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

10、 -第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 【答案】 B 在上图中画出直线y1，分别与 、 、 、 交于 A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知 cd1a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是() ABCD答案：B. 例 4. 名师一号 P28 高频考点例 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 已知函数 f(x)log4(ax22x3)(1)若 f(1)1，求

11、f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解析 :(1)f(1)1，log4(a5)1，因此 a54，a1. 这时 f(x)log4(x22x3)由 x22x30得 1x0，3a1a1，解得 a12. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 故存在实数 a12使 f(x)的最小值为 0. 练习：温故知新P32 第 5 题三、比较大小例 1. 名师一号 P29 特色

12、专题典例，则() AabcBbacCacbDcab【规范解答】方法 1：在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x 的图象，如图所示由图象知： log23.4log3103log43.6. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 方法 2：log3103log331，且1033.4，log3103log33.4log23.4. log43.61，log43.6log3103log43.6. 由于 y5x为增函数

13、，故 acb. 注意： 名师一号 P28 问题探究问题 3 比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习: 1、若 0 xy1，则() A3y3xBlogx3logy3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - - Clog4xlog4yD. 14x14y解析： 0 xy1，由 y3u为增函数知 3x3y，排除 A；log3u 在(0,1)内单调递增， log3xlog3ylogy3，B 错由 ylog4u 为增函数

14、知 log4x14y，排除 D. 答案： C2、对于 0a1，给出下列四个不等式loga(1a)loga(11a)；a1aa11a. 其中成立的是 () A与B与C与D与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 答案： D 解析： 由于 0a1? a1a? 1aloga(11a)，a1aa11a. 选D. 四、对数方程与不等式例 1.(1) ( 补充)方程 log3(x210)1log3x 的解是_答案 x5 解析 原方程化为 log3

15、(x210)log3(3x)，由于 log3x在(0，)上严格单增，则 x2103x，解之得 x15，x22.要使log3x 有意义，应有 x0，x5. 注意：依据对数函数恒单调求解。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例 1.(2) 温故知新 P32 第 9 题已知函数2log030 xx xfxx，且关于x的方程0fxxa有且只有一个实根，则实数a的取值范围是练习：温故知新P31 第 5、6 题温故知新 P29 第 10 题例

16、 2. （1） ( 补充)已知 0a1，loga(1x)logax 则()A0 x1 Bx12C0 x12D.12x1 分析： 底数相同，真数不同，可利用对数函数ylogax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析： 0a0 x01xx，解得 0 x12. 例 2.(2) ( 补充)设 0a1，函数 f(x)loga(a2x2ax2)，则使 f(x)0的 x 取值范围是 () A(， 0) B(0， ) C(， loga3) D(loga3， ) 解析： 0a1 loga(a2x2ax2)1 a2x2ax30 ax3 或 ax1(舍) xloga3，故选 C. 注意：关于含对数式 (或指

17、数式 )的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解例 2. （3） 名师一号 P28 高频考点例 2(2) 当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - - A. 0，22B.22，1C(1，2) D( 2，2) 解析： 由题意得，当 0a1时， 要使得 4xlogax 0 x12，即当 0 x12时，函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方又当 x12时， 4122， 即

18、函数 y4x的图象过点12，2 ，把点12，2 代入函数 ylogax，得 a22，若函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方， 则需22a1 时，不符合题意，舍去所以实数 a 的取值范围是22，1 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 答案：B. 练习: 当(1,2)x时，不等式2(1)logaxx 恒成立，则实数a的取值范围是 _ 。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的

19、对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设21( )(1)fxx，2( )logafxx，则1( )fx 的图象为右图所示的抛物线，要使对一切(1,2)x，12( )( )fxfx恒成立，1a, 观察图象得：只需21(2)(2)ff即可。故log 211aa，取值范围是12aa。变式: 名师一号 P28 变式思考 2(2) 不等式 logax(x1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为() x y 0 1 2 y1=(x-1y2=logaP 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共

20、 31 页 - - - - - - - - - - A165，94 B165，94)C(1，165 D(1, 94 解析:不等式 logax(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知 a1，其整数解为 2,3,4，则应满足loga4 412，loga5 512，得165a0.原方程有两个实数解， 即方程 t22t 3k10 有两个正实数解，则(2)24(3k1)0t1t220t1t23k10，解得13k23. 练习 3: 对任意的222(45)43411,()( )33mxxmx m xxR恒成立，求m的范围. 解：1013由题意即对任意的222,(45)434xRmxxmxm x恒成立即对任意

21、的,xR22(45)(44)30mmxm x恒成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 2222450450(44 )12(45)0440mmmmmmmm或15151191mmmmmm或或或119m练习 4: 已知函数)43lg(112xxxxy的定义域为 M ，（1）求 M（2）当xM时，求xxaxf432)(2)3(a的最小值. 解 (1)21011340 xxxxxQ且由题可得1,1)M可解得(2)2( )234xxf xa=

22、22243(2)33xaa 1,1)xQ,1222x，, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 3aQ，223a若2132a，即34a时，min( )f x=( 1)f=324a，若12223a，即334a时，所以当22,3xa即22log ()3ax时，min( )fx=243amin2332()44( )43( 3)34aaf xaa练习：1、不等式 x2logax0 在 x(0，12)时恒成立，则 a 的取值范围是 () A0

23、a1B.116a1 D0a116解析： 我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数 yx2与 ylogax 的图象与性质，因此可在同一坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 系中画出 yx2，x(0，12)与 ylogax 的图象，由图象易得0a1，loga12122，即116a1.故选 B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 31 页 - - - - - - - - - -