2022年基本初等函数知识点 .pdf

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1、基本初等函数中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。一、一次函数初中的一个函数，Primary 基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b 或 y=ax+b，通常我们会这样设。 那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下画出以下解析式的图像：要求快（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1

2、(6)y=1 (7)y=2x 根据以下条件，设出一次函数的解析式：(1) 直线经过 (1,2)点(2) 直线的斜率是2 总结： 两个参数主宰斜率和与y 轴的交点位置。 因为两个参数， 所以要有两个条件才能解得解析式。二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质1、二次函数的三种表示形式(1)一般式： yax2bxc，(a

3、0)；(2)顶点式： ya(xh)2k(顶点坐标为 (h，k)；(3)双根式： ya(xx1)(x x2)( 图象与 x 轴的交点为 (x1,0) ，(x2,0) 求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg：已知二次函数f(x) 同时满足条件：(1)f(1x) f(1x)；(2)f(x) 的最大值为15；(3)f(x) 0 的两根平方和等于7.求 f(x) 的解析式Ans：f(1 x) f(1 x) 知二次函数对称轴为x1. 已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)a(x 1)215 ax22ax15a. x21x227 即(x1x2)22x1x27 精品资料 -

4、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 42(15 a)a7， a 6. 2、二次函数在特定区间上的最值问题EX：函数 y=x2+4x+3 在-1,0 上的最大值是 _ ,最小值是 _ . 解析 :y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴 x=-2, 在-1,0 的左侧 ,所以在 -1,0 上单调递增 .故当 x=0时,f(x) 取最大值 f(0)=3; 当x=-1 时,f(x) 取最小值 f(-1)=0. 答案 :3 0 进阶 Eg：(建议一做

5、)：已知函数f(x)=-x2+2mx+1-m在 0 x1 时有最大值2, 求 m 的值(1)若(2bxa=0)(2)若(02bxa=1)key:m=-1 or m=2解析：每种情况分别画出草图。原草图作法：求根得到与x 轴的交点， c 与 y 轴的交点， a看开口， 估计着画。 但是这里 m 为参数解不出根， c 也未知。 题目的条件是固定区间的最值，我们只要知道定义域内的增减性（单调性）即可，由于已经知道开口向下，所以只要分类讨论对称轴的位置即可。123 问分别是分类讨论的三种情况进阶 Ex：已知 f(x)=x2+3x-5,x t,t+1, 若 f(x)的最小值为h(t), 写出 h(t)

6、的表达式 . 解析：所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动 ,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性 ,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值. 22,x1t1,t,h tft1t13 t15,h3,23551.2223533291,.2222tt5t24tt, h tttf解 如图所示函数图象的对称轴为当即 时即当 即时22232551,22953( ),3t,h tf tt3t54223.352ttth ttttt当时综上可得3、方法技巧：待定系数法，恒成立问题之分离变量Eg/Ex:已知二次函数f(x) 满足 f(x1)f(x) 2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)

7、的解析式；(2)在区间 1,1上，函数 f(x) 的图象恒在直线y2xm 的上方，求实数m 的取值范围2222222min1(0)(1)(1)112221.1.1111,1112231.1(3 )2121.fxaxbxaa xb xaxbxxabbafxxxabbxxxxmxxmxxxmm设函数， f(x+1)-f(x)=2x带入假设的解析式则 ，整理得，解得所以 当时，由 ，得 当 时，【解析】，所以 ，则 故实数(1)m的取值范围是，Ex：若函数 f(x) 是一次函数，且ff(x) 4x3，且 f(1)=3 。X2+m+2f(x) 在 R 上恒成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

8、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （1）求 f(x)的解析式；(2)求 m 的取值。Key:f(x)=2x+1;m0 三、幂函数解析式( )af xx，当 a=1 时，一次函数；当a=2 时，二次函数；当a=-1 时，反比例函数；当 a=12时， y=x。幂函数只要求掌握a 为某些特殊值的时候的图象即可。幂函数性质的推广(1)一般地 ,当 0 时,幂函数 y=x 有下列性质 : 图象都通过点(0,0),(1,1); 在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大【也就是x0 单调

9、递增咯】在第一象限内,1 时,图象是向下凹的;01 时,图象是向上凸的; 在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展. (2)当0 单调递减咯】在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近 ,向右与 x 轴无限地接近 ; 在第一象限内,过(1,1)点后,|越大 ,图象下落的速度越快. 1、看指数判断图象前人归纳的结论： 幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x 轴(简记“指大图低”)在(1， )上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴Eg：如上图，为幂函数yxn 在第一象限的图象，则

10、C1、C2、 C3、C4 的大小关系为 ( ) AC1C2C3C4BC2C1C4C3 CC1C2C4C3 DC1C4C3C2 【解析】观察图形可知，C10，C20，且 C11，而 0C21，C30，C40，且 C3C4. 【答案】C Ex:如上图是幂函数yxm 和 yxn 在第一象限内的图象，则() A 1n0m1 Bn1,0m1 C 1n1 Dn1 key:A 2、比较大小 -利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - -

11、 - - - - - (1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式(2)构造的幂函数，要分析其单调性(3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到(4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小（中间值通常选用0、1）3、幂函数的概念（补加的）221(2 )1234mmfxmm xmfx 已知，实数为何值时，是：正比例函数；反比例函数；二次函数；幂函数2222201112011112mmfxmmmmmfxmmm若是正比例函数，则，解得 ；若是反比例函数，则，解得 ；222201132122112.34mmfxmmmfxmmm若是二次函数，则，解得；若是幂函数，则，解得221Ex :

12、(21)mmfxmmxm已知函数是幂函数且其图象过坐标原点，则实数_22211()2.10(a0)mmmmm幂函数【解前面的系数是 1由题设知，解得过原点析就是】四、指数函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 指数函数是高中新学的，反应相同的底数a 被自乘 x 次的结果。 同时它也是理解对数函数的基础。1、指数运算能力* 根 式 的 性 质 ：()nnaa； 当n为 奇 数 时 ，nnaa； 当n为 偶 数 时 ， (0)| (0)

13、nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n0 的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂：11()( ) (0,mmmnnnaam nNaa且1)n0 的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0, ,)rsrsaaaar sR如果是除法就相减咯。()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba babrR解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地 ,进行指数幂的运算时 ,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简 . 1211

14、21333225:( 3)(4);6EGa baba bab1111311316222222513555(2).232444ababa baba bbb原式12120317:(0.027)2( 21) ;79ex1132272510572149145.1000933原式2、图像性质：( )xf xa自变量在指数的位置，注意跟幂函数( )af xx区别精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - (1) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置

15、与底数大小的关系如图所示,则0cd1ab. 在 y 轴右侧 ,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧 ,图象从下到上相应的底数由大变小; 即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大. *另记，作 x=1，从下往上，底数从小到大3、比较大小比较 0.7a与 0.8a的大小。利用上述的图象性质设函数 y=0.7x 与 y=0.8x,则两个函数的图象关系如图. 当 x=a0 时,0.8a0.7a;当 x=a0 时,0.8a30=1,又 y=0.4x是减函数 ,所以 0.430.43. 0.90.481233122113123132.5y4,y8,y()A.yyy B.yyy C.y

16、yy D.1y,y2yex: 设则1.51.50.91.80.481.44123x132: y42, y82,yfx2R,1.81.51.44,yyy ,1D.2.2解析由于指数函数在上是增函数且所以选110.33.10.90.481.53211 0.8 0.92 1.70.93 48().2Ex: 比较下列各组实数的大小，；，；，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 111111133222220.33.10.33.10.91.80.

17、481.44-1.51.50.9-1.50.480.12380.90.90.90.80.9 .1.71,0.911.70.9.114282()24()8.22yx由函数 的单调性得； 由指数函数的单调性得，所以因为，所以因为， ， 所以由指数函数的单调性得【解析】五、对数对数其实是指数的逆过程。指数函数是相同的底数a被自乘 x 次之后的结果； 对数就是知道了这个结果和底数，求一下究竟自乘了多少次。1、 (1)定义 :一般地 ,对于指数式ab=N,把数 b叫做以 a 为底 N 的对数 ,记作 logaN,其中 a叫做对数的底数 ,N 叫做真数 . (2)对数性质零和负数没有对数,即 N0; 1

18、的对数为 0,即 loga1=0(a0 且 a1); 底的对数等于1,即 logaa=1(a0 且 a1). 对数恒等式 :log NaN(a0a1,N0).a且logaab b(a0，且 a1，bR) (4)常用对数 :通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数log10N 简记为 lgN. (5)自然对数 :以无理数 e=2.71828 为底的对数称为自然对数,N 的自然对数logeN 简记作 lnN. 2、对数的运算性质如果 a0 且 a1,M0,N0, 那么aaaaaanaa1 log (M N)log Mlog N;2 loglog Mlog N;3 log Mnlog

19、M nR .(4)loglog(5)loglog1log(6)loglogmnaaababaMNnbbmbaNNb3、运算能力在对数运算中，要注意以下几个问题：(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并(2)abN? blogaN(a0，且 a 1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化4831942. log 3log 3log 2log 232.logeg: 求下列式子的值23253241222332323211153322232453555532.62444log3log 3logo2

20、2l g 2logloglogloglogloglog解 原式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2lg 2lg3111lg 0.36lg823ex: 化简、求值：2lg 2lg 32lg 2lg 31.1lg 0.6lg 21lg 2lg 31lg 2原式4、图象性质f(x)=logax 对数函数的图象:经过点 (1,0),且图象都在第一?四象限 ;都以 y 轴为渐近线 (当 0a1 时,图象向下无限接近y 轴) 无论在 x 轴的上

21、侧还是下侧,底数随顺时针方向变大. *另记，作 y=1,从左往右，底数从小到大。Eg：已知下图中曲线C1、C2、C3、C4是函数 ylogax 的图象，则曲线C1、C2、C3、C4对应的 a 的值依次为 ( )注意第一象限内最左是C3，第二是 C4，接着才是C1、C2 A3、2、13、12 B2、3、13、12 C2、3、12、13 D3、2、12、135、大小比较Eg： （如上图）若loga2logb20，则下列结论正确的是( ) A0ab1 B0bab1 Dba1 key： B Ex：(2010天津卷 )设 alog54，b(log53)2，clog45，则 () Aacb Bbca Ca

22、bc Dbac 【解析】由于b(log53)2log53 log53log53a log541log45 c，故 bac，选 D. 【归纳】比较对数的大小，有三种具体情况：同底数，不同真数，利用对数函数的单调性进行判断；同真数，不同底数，利用对数换底公式转化为同底的对数；不同底数，也不同真数，利用指数、对数互化或寻找中间量进行判断(1)中是同真不同底的两个对数，用对数换底公式比较简便；(2)题是函数值大小的比较，一般方法是作差，寻找自变量的取值范围或临界点，再作判断六、总结归纳几种基本初等函数，另外一个资料。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -