2022年导数知识点归纳及应用4 .pdf

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1、导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x） f（x0） ， 比值xy叫做函数 y=f（x） 在 x0到 x0+x之间的平均变化率， 即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点 x0处的导数，记作 f （x0）或 y|0 xx。即 f （x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。注意：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数

2、在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x0处的导数的步骤：求函数的增量y=f（x0+x）f （x0） ；求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。例：设 f(x)= x|x|, 则 f ( 0)= . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 解析 ：0|lim|lim)(l

3、im)0()0(lim0000 xxxxxxfxfxfxxxxf ( 0)=0 2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x） 在点 p （x0，f （x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方程为yy0=f/（x0） （xx0） 。例：在函数xxy83的图象上， 其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A3 B2 C1 D0 解析 ：切线的斜率为832/xyk又切线的倾斜角小于4，即10k故18302x解得：338383xx或故没有坐标为整数的点3. 导

4、数的物理意义若物体运动的规律是s=s （t） ， 那么该物体在时刻 t的瞬间速度 v=s（t） 。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t） ，则该物体在时刻t 的加速度 a=v（t ） 。例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）答：A。练习：已知质点 M按规律322ts做直线运动（位移单位： cm ，时间单位：

5、 s） 。（1）当 t=2 ，01. 0t时，求ts；（2）当 t=2 ，001. 0t时，求ts；（3）求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。答案： （1）8.02scm（2）8.002scm； （3）8scm二、导数的运算1基本函数的导数公式 : 0;C（C为常数）1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 例1：下列求导运算正确的是s t O As t O s t O s t O BCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

6、 - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - ( ) A(x+211)1xx B(log2x) =2ln1xC(3x) =3xlog3e D (x2cosx) =-2xsinx 解析 ：A错，(x+211)1xx B正确，(log2x) =2ln1xC错，(3x) =3xln3 D错，(x2cosx) =2xcosx+ x2(-sinx) 例 2：设f0(x) sinx，f1(x) f0(x)，f2(x)f1(x) ，fn1(x) fn(x) ，nN，则f2005(x)( ) Asinx Bsinx CcosxDcosx 解析 ：f0(x) si

7、nx，f1(x) f0(x)=cosx，f2(x) f1(x)= -sinx，f3(x) f2(x)= -cosx， f4(x) f3(x)=sinx，循环了则f2005(x) f1(x)cosx2导数的运算法则法则 1：两个函数的和 (或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和( 或差)，即： (.)vuvu精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 法则 2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘

8、以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若 C为常数 ,则0)(CuCuCuuCCu. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu2vuvvu（v0） 。例：设 f(x) 、g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当 x0时,)()()()(xgxfxgxf0. 且 g(3)=0. 则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 ( ) A (-3,0)(3,+ ) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+ ) D (-,- 3) (0, 3) 解析 ：当

9、 x0 时,)()()()(xgxfxgxf0，即0)()(/xgxf当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x) 是偶函数且 g(3)=0 ，g(-3)=0 ，f(-3)g(-3)=0 故当3x时，f(x)g(x)0，又 f(x)g(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)g(x)为减函数，且 f(3)g(3)=0 故当30 x时，f(x)g(x)0 故选 D 3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

10、 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 法则： y|X= y |Uu|X或者 ( )()*( )fxfx.练习： 求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy解：(1) ,sinsin23232521xxxxxxxxyy.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx（2）y=（x2+3x+2） （x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11. （3）y=,sin212cos2sinxxx.cos21)(sin21sin21xxx

11、y（4）xxxxxxxy12)1)(1 (111111，.)1(2)1()1 (21222xxxxy三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数)(xfy在某个区间（ a，b）可导，如果f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数； 如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内 恒有f0)(x，则)(xf为常数 。例：函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) A), 2( B)2,( C )0,( D （0，2） 解析 ：由xxxf63)(2/0，得 0 x0， 当11x时，)(/xf0，故)(xf的极小值、极大值分别为1)1(3)1(ff、，而1)0(17)3(

12、ff、故函数13)(3xxxf在-3 ， 0 上的最大值、最小值分别是 3、 -17。经典例题选讲例 1. 已知函数)(xfxy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数） ，下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 解析 ：由函数)(xf xy的图象可知：当1x时，)(xf x0，此时)(xf增当01x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当10 x时，)(xf x0，)(xf

13、0，)(xf0，此时)(xf增故选 C 例 2. 设xaxxf3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。解：13)(2axxf若0a，0)(xf对),(x恒成立，此时)(xf只有一个单调区间，矛盾若0a，01)(xf),(x，)(xf也只有一个单调区间，矛盾若0a)|31()|31(3)(axaxaxf，此时)(xf恰有三个单调区间0a且单调减区间为)|31,(a和),|31(a，单调增区间为)|31,|31(aa例 3.已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0,2 ）, 且在点M)1(, 1(f处的切线方程为076yx. （）求函数)(xfy的解析式；（）求函数)

14、(xfy的单调区间 . 解： （）由)(xf的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 由在)1(, 1(fM处的切线方程是076yx，知.6) 1(, 1) 1(, 07)1(6fff即.3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是.233)(23xxxxf（）.012,0363.363)(222xxxxxxxf

15、即令解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21 ,(233)(23在xxxxf内是增函数，在)21 ,21(内是减函数，在),21(内是增函数 . 例 4.设函数32()fxxbxcx xR，已知( )( )( )g xf xfx是奇函数。（）求b、c的值。（）求( )g x的单调区间与极值。解： （）32fxxbxcx，232fxxbxc。从而322( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2 )xbxcb xc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（）由（）知3( )6g xxx，从而2(

16、)36g xx，由此可知，(,2)和(2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调递减区间；( )g x在2x时，取得极大值，极大值为4 2，( )g x在2x时，取得极小值，极小值为4 2。例 5.已知 f （x）=cbxaxx23在 x=1，x=32时，都取得极值。（1）求 a、b 的值。（2）若对2, 1x，都有cxf1)(恒成立，求 c 的取值范围。解： （1）由题意 f/（x）=baxx232的两个根分别为1 和32由韦达定理，得： 132=32a，)32(13b则21a，2b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

17、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）由（1） ，有 f （x）=cxxx22123，f/（x）=232xx当)32, 1x时，0)(/xf，当) 1 ,32(x时，0)(/xf，当2,1 (x时，0)(/xf，当32x时，)(xf有极大值c2722，cfcf2)2(,21)1(， 当2, 1x，)(xf的最大值为cf2)2(对2, 1x，都有cxf1)(恒成立，cc12，解得,120c或, 12c例 6.已知1x是函数32( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m，（I ）求

18、m与n的关系式；（II ）求( )f x的单调区间；（III ）当1,1x时，函数( )yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求m的取值范围 . 解：(I)2( )36(1)fxmxmxn因为1x是函数( )f x的一个极值点 , 所以(1)0f, 即36(1)0mmn，所以36nm（II ） 由 （I ） 知，2( )36(1)36fxmxmxm=23 (1)1m xxm当0m时，有211m，当x变化时，( )f x与( )fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m1 1,( )fx00 00 0( )f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减精品资料 - - - 欢迎下载 -

19、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 故有上表知，当0m时，( )f x在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减 . （III ）由已知得( )3fxm，即22(1)20mxmx又0m所 以222(1)0 xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm设212( )2(1)g xxxmm，其函数开口向上， 由题意知式恒成立，所以22( 1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,03例 7： （2009

20、天津理 20）已知函数22( )(23 )(),xfxxaxaa exR其中aR（1）当0a时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数( )f x的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识， 考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。解： （I）.3)1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1(,1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II）.42)2()( 22xeaaxaxxf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

21、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - . 2232.220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若32，则a22a. 当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+ 0 0 + 极大值极小值.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若32，则a22

22、a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+ 0 0 + 极大值极小值内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -