基于模糊逻辑的pmsm转矩谐波反馈控制-帅海燕.pdf

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1、 D驱动控制rive and control 2018年第46卷第1期 帅海燕等基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制26 收稿日期:2017-06-27基金项目:湖北省教育厅科学技术项目(B20128702)基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制帅海燕1,邹必昌2(1.武汉交通职业学院,武汉430065;2.长江大学,荆州434023)摘 要:为了应对永磁同步电机(PMSM)驱动系统的转矩脉动问题,设计了一种基于模糊逻辑和转速谐波反馈的PMSM转矩脉动优化控制策略。控制方案中使用转速谐波幅值和增量作为闭环模糊逻辑电流控制器的输入,以达到控制转矩脉动的目的,由于采用的是电机转速测量,故不依赖于

2、电机参数,且避免了一些系统非线性因素影响,从而鲁棒性较好。分析了PMSM输出转矩谐波和转速谐波的相关性,并基于分析建立了转矩谐波数学模型,方便了控制器的设计。基于PMSM驱动系统实验室平台,进行了不同负载工况下的驱动试验,试验结果验证了该控制策略的有效性。关键词:永磁同步电机;模糊逻辑;谐波;反馈;转矩脉动中图分类号:TM351 文献标志码:A 文章编号:1004-7018(2018)01-0026-06Harmonic Feedback Control for PMSM Torque Ripple Based on Fuzzy LogicSHUAI Hai-yan1,ZOU Bi-chang

3、2(1. Wuhan Technical College of Communications,Wuhan 430065,China;2. School of Electronics and Information of Yangtze University,Jingzhou 434023,China)Abstract:In order to solve the problem of torque ripple in permanent magnet synchronous motor (PMSM) drive sys-tem, a PMSM torque ripple optimal cont

4、rol strategy based on fuzzy logic and speed harmonic feedback was designed. In thecontrol scheme, the amplitude and increment of the harmonic was used as the input of the closed-loop fuzzy logic currentcontroller to achieve the purpose of controlling the torque ripple. As a result of the motor speed

5、 measurement, it was not de-pendent on the motor parameters and not affected by the system nonlinearity, and thus a better robustness. The correlationbetween the output torque harmonics and the speed harmonics of PMSM was analyzed, and the mathematical model oftorque harmonics was established based

6、on the analysis, which facilitated the design of the controller. Based on the labora-tory PMSM drive system test platform, the driving tests under different load conditions were carried out. The test resultsverify the effectiveness of the new control strategy.Key words:permanent magnet synchronous m

7、achine (PMSM); fuzzy logic; harmonic; feedback; torque ripple0引 言基于永磁同步电机(以下简称PMSM)的伺服系统存在的转矩脉动将产生机械振动和噪声,这将降低系统性能和应用范围,如电动汽车或机器人系统等1-2。故有较多文献开展了对转矩脉动优化控制的研究3-6,具体而言,大多数控制策略可分为两类,一种是优化电机设计3-4,以降低齿槽转矩或特定次磁链谐波;另一种是施加先进的控制策略5-6,控制定子电流以对转矩脉动进行抑制。其中后一类方案具有较好的通用性从而应用广泛。转矩脉动控制的关键是优化定子电流以补偿对应的转矩谐波7,可分为前馈补偿方

8、法和反馈控制方法。前馈补偿方法需要准确的转矩脉动模型来确定最优定子电流。例如,文献8中设计了一种基于神经网络的最优定子电流计算方法,但高度依赖于电机参数。由于模型和预测受到磁饱和和其他系统非线性因素影响,难度较大9。而反馈控制方法则基于转矩估计实现反馈控制以降低转矩脉动,但需要较高的估计精度。文献10提出了一种转矩预测控制来最小化转矩脉动。然而,依然对电机参数变化敏感,即预测转矩没有独立的实际测量,若测量转矩则意味着高昂的成本,是难以工程应用的。此外,文献11和文献12使用转速误差进行转矩脉动抑制,原理是速度谐波和转矩谐波相关联的。其中文献12结合使用了转速误差反馈和迭代学习控制策略用于控制转

9、矩脉动,但并未考虑转速误差包含了一些非转矩脉动引起的谐波,且计算负担重。本文基于上述研究提出了一种使用转速谐波幅值作为反馈控制信号的新型转矩脉动抑制方案。由于转速谐波可从转速编码器获得,所以避免了一些系统非线性因素的影响。首先,对转矩谐波与转速之间的关系进行了建模。然后,分析定子谐波电流万方数据 2018年第46卷第1期 D驱动控制rive and control 帅海燕等基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制27 如何对转矩脉动产生影响,为电流控制器的设计奠定基础。最后通过试验对新方案进行了验证。1转速谐波和转矩谐波关系分析PMSM的机械方程10:Te - TL = J dmdt + Bm

10、(1)式中:Te为PMSM的输出转矩;TL为负载转矩;J为转动惯量;B为粘性摩擦系数;m为转子机械转速。从式(1)可以看出,转矩谐波可以导致相同次的转速谐波。为此,将转矩和转速写成直流分量和谐波分量组合的如下形式:Te = Te0 + kTekcos(k - ek) (2)m = m0 + kmkcos(k - k) (3)式中:Te0为平均转矩;Tek和ek为第k次转矩谐波的幅值和相角;m0为平均转速;mk和k为第k次转速谐波的幅值和相角;为转子位置。将式(2)和式(3)代入式(1),同时假设负载转矩不存在谐波,则可得到:Te0 - TL = Bm0 (4)Tekcos(k - ek) =

11、Bmkcos(k - k) - kJpm0mksin(k - k) (5)式中:p是极对数。基于式(5),转矩谐波幅值和转速谐波幅值的关系:Tek = mk B2 - (kJpm0)2 (6)考虑到实际中B远小于kJpm0,所以式(6)可简化:Tek = kJpm0mk (7)从式(7)可看出,第k次转速谐波幅值mk正比于第k次转矩谐波幅值Tek,而与平均转速m0成反比。 mk可从转速测量中获取,故考虑作为反馈信息。根据文献7,PMSM的转矩谐波通常由几个数量有限的频次为主导,如6次和12次谐波,根据实际测试,试验用PMSM的转矩谐波以12次谐波为主导,图1为试验测得的第12次转矩谐波幅值和转

12、矩谐波幅值的关系曲线。曲线验证了式(7)的正确性,下面将利用m12作为反馈信号进行转矩脉动优化控制。图1 第12次转矩谐波幅值和转速谐波幅值的关系曲线2转矩脉动建模由PMSM输出转矩公式10:Tek = 32 p (Ldqidq + dq)T idq + iTdq ddqd + Tcog(8)式中:Ldq = diagLd, Lq为d-q轴电感矩阵;dq =d, qT和idq =id, iqT分别为d,q轴磁链矢量和电流矢量;Tcog为齿槽转矩;“”是交叉乘积符号,具体定义:a b c dT = ad - bc (9)从式(8)可看出,转矩谐波主要是由磁链谐波、电流谐波和齿槽转矩引起的。当电机

13、设计完成后,磁链谐波和齿槽转矩不可控,但可以通过注入受控电流抑制转矩纹波。d-q轴磁链表达式和齿槽转矩13表达式如下:dq = dq0 + kdqk = 0 0+kdkcos(k - k)kqksin(k - k)(10)Tcog = kTckcos (k - ck) (11)式中:0为磁链直流分量;dk和qk为第k次d,q轴磁链谐波分量;k为对应相角;Tck是齿槽转矩的第k次谐波分量;ck为对应相角。图2为试验用电机的额定工况下转矩波形和主要频次的频谱。从图2中明显看出,第12次谐波占(a)转矩波形(b)谐波频谱图2 额定负载条件下的PMSM转矩波形和频谱谐波含量的主导,故后续采用其作为控制

14、对象,令k=12,如果电机含有多个主导谐波分量则可以分别对其进行建模。将式(10)和式(11)代入式(8),可得:Te = Te0 + Te12m (12)Te0 = 1.5p0iq0 + (Ld - Lq)id0iq0 (13)Te12m = cos(12 - ) + Tc12cos(12 - c12)(14) = 1.5p i2q0 (d12 + 12q12)2 + i2d0 (q12 + 12d12)2(15) = 12 + tan-1 - id0(q12 + kd12)iq0(d12 + kq12)(16)式中:id0和iq0为d,q轴电流的直流分量。为了抑制转矩谐波,控制定子电流分为

15、两个部分:一部分用于产生所需转矩平衡负载转矩;另一部分为谐波电流万方数据 D驱动控制rive and control 2018年第46卷第1期 帅海燕等基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制28 用于最小化转矩脉动。具体如下:idq = idq0 + kidqk = id0iq 0+kidkcos(k - ik)kiqksin(k - ik)(17)式中:idq0 =id0, iq0T为d,q轴直流电流矢量;idqk是第k次谐波电流;idk和iqk为谐波电流幅值;ik为对应相角。如前所分析,第12次谐波占主导,故考虑k=12后的式(17)简化:idq = idq0 + idq12 = id0i

16、q 0+ id12cos(12 - i12)iq12sin(12 - i12 )(18)将式(18)代入式(8)中,则由第12次电流谐波产生的第12次转矩谐波:Te12c = cos(12 - ) (19) = 1.5p(Ld - Lq)iq02i2d12 +0 + (Ld - Lq)id02i2q12 12 (20) = i12 + tan-1 0 + (Ld - Lq)id0iq12(Ld - Lq)iq0id12(21)基于式(14)和式(19),第12次转矩谐波总和:Te12 = Te12m + Te12c = cos(12 - ) + cos(12 - ) +Tc12cos(12 -

17、 c12) (22)控制电流idq12可使得Te12c和Te12m相互抵消,以实现转矩脉动抑制。考虑到电流谐波将导致一定的铁损和铜耗,约和谐波幅值的平方成正比14。因此,还需要尽量降低谐波幅值。理想情况下,为实现Te12 =0控制目标,从而有:cos(12 - ) + cos(12 - ) +Tc12cos(12 - c12) = 0 (23)简单推导即有:cos(12 - ) =- cos(12 - ) - Tc12cos(12 - c12) (24)仅考虑上式的幅值,结果: = (cos +Tc12cos c12)2 +(sin +Tc12sin c12)2 12 =2 + T2c12 +

18、 2Tc12cos( - c12) (25)基于上式,谐波电流幅值必须满足: 2 + T2c12 + 2Tc12 = + Tc12 (26)此外,从式(20)可以看出,对于表贴式PMSM:1) d轴电流谐波不会产生转矩纹波;2)若幅值相同,d轴谐波电流较之q轴谐波电流将产生较少的转矩脉动。故仅考虑注入q轴谐波电流,从而式(20)和式(21)可以简化: = 1.5p0 + (Ld - Lq)id0iq12 (27) = i12 + 2 (28)将式(27)代入式(26)可得:iq12 2( + Tc12)3p0 + 3pid0(Ld - Lq)(29)i12 0,2 (30)从式(19) 式(2

19、2)可以看出,iq12和i12对第12次谐波幅值都具有影响,故分析计算了两者不同取值下,第12次转矩谐波幅值的分布如图3所示。图3中iq12从1 A变化至3 A,而i12从2变化至32 。基于图3,给定一个固定的iq12,随着i12的增加,Te12的幅值先减小,然后再增加。当i12在0. 7,1. 3范围内,对于一个固定的i12,随着iq12的增加,Te12的幅值也是先减小,然后再增加。下面将基于此进行模糊逻辑控制器(以下简称FCL)的设计。图3 第12次电流谐波幅值、相角与第12次转矩谐波的关系3基于模糊逻辑的闭环电流控制设计FLC的主要目标是使用第12次电流转矩谐波幅值作为反馈来抑制转矩脉

20、动Te12,其次尽量减少谐波电流的幅值以减小谐波电流带来的损耗。图4为FLC控制器的框图。 FLC的输入参数是转速谐波幅值m12及其导数m12,具体如下:m12(t) = H Dm(t) (31)m12(t) = m12(t) - m12(t - 1)t (32)式中:t代表时间;t为采样时间。在实际控制器实施中,为了减小计算负担,采用一种新型的速度谐波检测H D(m(t)取代FFT算法来检测速度谐波,具体见后续试验部分。图4 分层模糊逻辑控制器框图FLC控制器的输出谐波电流的幅值iq12和相角i12用于最小化Te12,iq12和i12需要满足式(29)和式(30)。 FLC可以被视为输入语言

21、变量m12和m12到输出语言变量iq12和i12的映射,可表示:u(t + 1) = FLCm12(t),m12(t) (33)式中:u包含两个输出iq12和i12。 FLC设计采用分万方数据 2018年第46卷第1期 D驱动控制rive and control 帅海燕等基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制29 层结构,即iq12和i12输出解耦,然后两个控制单元FLC1和FLC2交错控制,直至转矩谐波幅值最小化。首先,控制器初始设置较小电流量级并调节相角,直到转速谐波幅度最小化。如果转速谐波大小在可接受水平内,即进行保持;否则,控制器就将增加电流幅值,再次调节相角以期达到更好效果。持续上述

22、步骤直至转速谐波到可接受水平。如图4所示,FLC的两个单元FLC1和FLC2具体:i12(t + 1) = FLC1m12(t),m12(t)iq12(t + 1) = FLC2m12(t),m12(t )(34)从式(34)更明显地看出,FLC1控制i12,FLC2控制iq12。每个FLC单元都由3个部分组成,模糊化模块、模糊推理模块和去模糊化模块。即模糊化模块用于将输入变量m12和m12转化为相应的语言变量,模糊推理模块的任务是根据输入语言变量获取控制规则,去模糊化模块将控制规则转换为输出控制量iq12和i12。图5为标幺后m12和m12的隶属函数,其中m12分解为两个模糊区,即零和正,而

23、m12转化分解为3个模糊区,即零、正和负。具体的模糊分区阈值如图5所示。(a) m12的隶属函数(b) m12的隶属函数图5 隶属函数示意图控制器采用了Takagi-Sugeno型模糊推理用于电流控制。具体来说,FLC1单元的目标是在时间t内通过适当调节相角i12减小m12,从而FLC1的模糊控制规则如下:1)如果m12为零,则保持i12。2)如果m12为零,则保持i12。3)如果m12为正,m12为正,则增加i12。4)如果m12为正,m12为负,则减小i12。FLC2单元的目标是在时间t内通过适当调节电流iq12减小m12,从而FLC2的模糊控制规则如下:5)如果m12为零,则保持iq12

24、。6)如果m12为正,m12为零,则增加iq12。7)如果m12为正,并且m12不为零,则保持iq12。应该注意的是,在初始阶段,iq12设置为较小的正值,例如最大值的5%。从规则5)至规则7)可看出,iq12更新事件的发生只有在时间t-1内已获取i12(t-1)。因此,层次化FLC控制器的思路是首先初始化iq12,然后找到最优的i12。如果m12最小化,则停止,否则增加iq12并找到最佳的i12。故iq12和i12将迭代更新,直到找到各自最优值。其中iq12每次的增加步长不宜过大,以保证能搜索到最佳值。下面将证明FLC2单元获得的谐波电流幅值是使得转矩脉动最小化的最佳值。假设有存在较小的i*

25、q12可使得转矩脉动更小,对应相角为*i12,则当初始iq12增加到i*q12,控制器将找到*i12,根据规则,将停止搜索,控制器收敛到i*q12和*i12,从而i*q12和*i12即为最佳iq12和i12。去模糊化模块将计算输出最终的iq12和i12。具体如下:i12(t + 1) = i12(t) + Km12(t)iq12(t + 1) = iq12(t) + Kim12(t )(35)式中:K和Ki为控制增益参数,具体由以下去模糊化规则决定:8)增加i12,则设置K0。9)保持i12,则设置K =0。10)减小i12,则设置K0。12)保持iq12,设置Ki =0。通常控制增益K和Ki

26、的绝对值应该较小,以确保控制器收敛到最佳值。但对于控制增益参数K和Ki,没有一般的方法来选择,通常经过实际试验进行确定,具体见下一节。由于iq12和i12需符合式(29)和式(30)的范围,故增加下面两条规则:13)如果i122,则i12 =i12-2。14)保持iq12iq12max,则iq12 =iq12max。其中iq12max是式(29)限制的最大幅值。此外,转矩谐波的大小取决于定子电流,定子电流发生变化则谐波电流应重新初始化。4试验验证为了验证控制策略,搭建试验平台如图6所示。平台包含测试用PMSM、负载电机、RT-Lab实时控制系统、变频器和各类传感器等,其中PMSM参数如表1所示

27、。图7为空载时的PMSM转矩波形和频谱,而额定负载时的转矩波形和频谱如图2所示。考虑到需要使用转速谐波反馈,故使用了高精度高分辨率的光学编码器用于转速测量。试验中采样频率为50 kHz,开关频率为5 kHz。图6 测试平台万方数据 D驱动控制rive and control 2018年第46卷第1期 帅海燕等基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制30 表1 永磁同步电机参数参数数值参数数值额定电流i/ A 15额定转速n/ (r min-1) 575额定转矩T/ (N m) 70额定电压u/ V 275永磁磁链/ Wb 0.67 d轴电感Ld / mH 30.4q轴电感Lq / mH 87.5

28、极对数p 4槽数48(a)转矩波形(b)谐波频谱图7 空载时的PMSM转矩波形和频谱首先,对电机反电动势进行测试,并根据式(29)获得谐波电流上限。设abc三相磁链:a = kabc,kcos(k)b = kabc,kcosk( - 23 )c = kabc,kcos k( + 23)(36)式中:a,b和c为a,b,c轴的磁链;而abc,k为磁链幅值,k=1,3,5,7, ,k为谐波次数。对式(36)进行旋转坐标变换,可得d-q轴磁链:d = 0 + k(abc,k-1 + abc,k+1)cos(k)q = k(abc,k+1 - abc,k-1)sin(k )(37)式(37)中,0 =

29、abc,1为直流分量;k=6,12, ,k为谐波次数。如图8(a)为基于FLC的PMSM控制框图。电流的直流分量控制采用了PI控制单元,谐波电流控制采用了PR控制单元,两个控制单元输出进行了叠加形成最终控制输出。图8(b)为第12次转速谐波检测和提取模块。(a)控制整体框图(b)转速谐波检测和提取模块图8 基于FLC的PMSM控制框图(1)试验1在试验1中,负载转矩大约为35 N m,d,q轴参考电流分别为0和10 A,电机转速为100 r/ min,K和Ki设置为0. 001。试验1的目的是为了分析i12升级规则,图9(a)至图9(d)分别为FLC的两个输入语言变量,m12和m12,以及两个

30、控制输出iq12和i12。从图9中可看出,36 s后FLC输出收敛到最佳幅值和相角1.5 A和196。(a) m12 (b) m12(c) iq12 (d) i12图9 未考虑i12升级规则时试验1的FLC输入输出波形图10(a)至图10(c)分别为q轴电流波形和转矩波形和第12次转矩谐波波形。从图10(a)中可看出,在FLC控制器作用下,q轴谐波电流逐渐增加,直至找到最佳控制点。从图10(b)可看出,转矩脉动得到有效抑制,进一步如图10(c)所示,第12次转矩谐波幅值从4 N m降至0. 35 N m。然后从图10中还可看出,控制器收敛过程中存在振荡过程,这是需要避免的,这是在搜索i12时发

31、生的,即i12升级规则需要进一步设计。(a) q轴电流波形(b)转矩波形(c)第12次转矩谐波波形图10 未考虑i12升级规则时试验1的试验波形为了消除这种收敛过程中的振荡,需要设计相角的搜索规则,具体如下:15)如果iq12,则将i12设为上一步的最佳值,并忽略其他规则对i12的调节。其中为给定阈值,通过试验测试设置为最大谐波电流的40%。设计好i12升级规则后的FLC输入输出波形和试验电流、转矩波形分别如图11和图12所示。对比之前的图9和图10可看出,在消除了收敛振荡的基础上,控制性能保持了不变,转矩脉动得到了有效抑制。万方数据 2018年第46卷第1期 D驱动控制rive and co

32、ntrol 帅海燕等基于模糊逻辑的PMSM转矩谐波反馈控制31 (a) m12 (b) m12(c) iq12 (d) i12图11 增加i12升级规则时试验1的FLC输入输出波形(a) q轴电流波形(b)转矩波形(c)第12次转矩谐波波形图12 增加i12升级规则时试验1的试验波形(2)试验2试验2中设置的工况和试验1一致,但设置3组K和Ki:K =Ki =0. 01;K =Ki =0. 005;K =Ki =0.001,从而分析两者如何影响控制器收敛速度。图13为3组参数下转矩试验波形。从图13中可以看出,随着K和Ki的增大,FLC的收敛速度加快,但同时还需谨慎选择,以避免谐波电流增加太快

33、,导致动态性能降低。图13 参数变化时的转矩试验波形(3)试验3试验3中电机转速设定为100 r/ min,然后设置K =Ki =0.01,进行了较大负载70 N m工况和较小负载20 N m工况下的测试,图14为转矩试验波形。从图14(a)中可以看出,负载为70 N m时,转矩脉动在FLC控制器作用下明显减小,收敛大约需要12 s。而从图14(b)中可看出,当负载为20 Nm时,转矩脉动在约6 s后即收敛到最小值。试验结果验证了控制策略在不同负载工况下效果都较好。(a)负载转矩70 N m (b)负载转矩20 N m图14 不同负载下的转矩试验波形5结 语围绕PMSM转矩脉动问题,本文设计了

34、一种基于FLC和转速谐波反馈的转矩脉动优化控制,通过分析设计和试验,现总结主要结论如下:1)通过对转矩脉动建模,转矩谐波和转速谐波存在内在联系,并可通过谐波电流进行抑制。2)试验结果表明,通过引入转速谐波反馈,并基于FLC设计闭环控制器,可有效降低转矩脉动。3)新型控制策略针对的是主导转矩谐波抑制,可推广到不同型号PMSM,只需提前对转矩脉动进行测量分析即可。4)FLC闭环具有计算简单易于实现的优点,但是也存在动态性能慢的不足,进一步研究方向可以分析如何提高转速暂态下的转矩谐波抑制。参考文献1 戴彦.基于电动汽车的永磁同步电动机模糊自抗扰控制研究J.微特电机,2015,43(7):85-88.

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39、第40页)万方数据 D驱动控制rive and control 2018年第46卷第1期 诸德宏等分数阶滑模趋近率在SMVS-DTC中的应用40 (b)改进后图6 电磁转矩图从图3 图6可以看出,分数阶滑模面和分数阶趋近率相结合的方法能使系统收敛较快,其转速和转矩波动也比较小。从图4(a)和图4(b)的对比也可以看出,改进后分数阶滑模控制器能使定子电流波形更加平滑。为了验证动态特性,系统稳定运行后,对给定的负载转矩进行突变,然后观测其运行效果。图7和图8分别是给定的负载转矩在0. 1 s时从10 N m突然增加到15 N m的转矩响应曲线以及电机转速响应曲线。图7 突加负载时转速响应图(a)分

40、数阶滑模DTC(b)改进型分数阶滑模DTC图8 突加负载时转矩响应图从图7、图8可以看出,分数阶滑模面和分数阶趋近率相结合能明显减小转速和转矩脉动,系统响应速度也比改进前的要快。通过对比不难看出,改进后的分数阶滑模控制器对参数突变带来的外部干扰有更好的鲁棒性,具有更好的抗干扰能力。从以上的仿真结果可以看出,用分数阶趋近率替代传统指数趋近率,构建的新型分数阶滑模控制器,不仅保留了转矩、磁链抖振小等原有的性能,而且还能提高系统收敛速度、减小超调量、柔化了运动轨迹,提高了PMSM调速性能。4结 语改进后的滑模控制器充分利用了分数阶微积分具有微分和积分两个可变的自由度的性质。在滑模切换面的设计中引入分

41、数阶积分项,利用分数阶积分方程中积分阶次越小,下降速度越快,趋于稳定时的速度越缓慢的性质,不仅保留了原来积分滑模控制器中原有的优点,还很好地抑制传统积分滑模控制器中存在的积分饱和的问题。在趋近率设计中引入分数阶微分方程,利用分数阶微分特性,使得系统在远离滑模面时能更快地到达滑模面,接近滑模面时趋近速度又比较小,从而抑制因为冲击带来的抖振。参考文献1 贾洪平,贺益康.永磁同步电机滑模变结构直接转矩控制J.电工技术学报,2006,21(1):1-6.2 李政,胡广大,崔家瑞,等.永磁同步电机调速系统的积分型滑模变结构控制J.中国电机工程学报,2014(3):431-437.3 HUANG J,XU

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43、速系统滑模变结构控制若干关键问题研究D.哈尔滨:哈尔滨工业大学,2014.7 宋申民,邓立为,陈兴林.分数阶微积分在滑模控制中的应用特性J.中国惯性技术学报,2014(4):439-444.8 顾文军. Lorenz混沌电路的分数阶控制D.南京:南京林业大学,2012.9 AGHABABA M P. Finite-time chaos control and synchronizationof fractional-order nonautonomous chaotic (hyperchaotic) systemsusing fractional nonsingular terminal sliding mode techniqueJ.Nonlinear Dynamics,2012,69(1-2):247-261.10 张文芳.分数阶微积分概念的起源和演化D.西安:西北大学,2014.11 TEPLJAKOV A,PETLENKOV E,BELIKOV J. FOMCON:Frac-tional-order modeli