专题23立体几何中的计算(解析版).docx

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1、专题23 立体几何中的计算一、 例题选讲题型一、简单几何体的体积与表面积简单的几何体一般指简单的柱、锥和球，在历年的高考考查中涉及到求体积或者与面积有关的问题，解决此类问题的关键是要把几何体的高、斜高等基本量求出然后运用体积或者面积公式求出。例1、（2019江苏卷）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_.【答案】10.【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.例2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为，侧面积为2，则该圆锥的体积为_【答案】 【解析】先求出圆锥的底面半径和高

2、设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h.圆锥的体积VSh.例3、（2017江苏卷）如图，圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_ 【答案】 【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为h2R.因为V1R2h2R3，V2，所以.【】 因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R1，不会影响结果题型二、运用等积法求几何体的体积或者高若一个几何体的高或者底面积不好求时，要考虑运用等积法求体积，要换顶点，以便高以及底面积都可以求出，有时几何体往往会涉及到换体，但要主要体之间的关系。运用等积法也可以求几何体的

3、高。例4、(2019南京、盐城一模）如图，PA平面ABC，ACBC，PA4，AC，BC1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为_【答案】. 【解析】：VBEFCVFBECVPBEC(SBECPA)4.例5、（2016无锡期末） 如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OAOB，且OAVO1，则O到平面VAB的距离为_【答案】【解析】思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算解法1 因为VO平面AOB，OA平面AOB，所以VOOA，同理VOOB，又因为OAOB，OAV

4、OOB1，所以VAVBAB，所以SVABVAABsin60.设O到平面VAB的距离为h，由VVAOBVOVAB，得SAOBVOSVABh，得OAOBVOh，解得h.解法2 取AB中点M，连结VM，过点O作OHVM于H.因为OAOB，M是AB中点，所以OMAB，因为VO平面AOB，AB平面AOB，所以VOAB，又因为OMAB，VOOMO，所以AB平面VOM，又因为AB平面VAB，所以面VAB平面VOM，又因为OHVM，OH平面VOM，平面VAB平面VOMVH，所以OH平面VAB，所以OH为点O到平面VAB的距离，且OH.题型三、几何体的展开与折叠问题解决这类问题一定要把握住几何体折叠前和折叠后的

5、不变的量，以及前后之间量的关系。例6、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为_（图1）（图2）【答案】 【解析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG2，EO1，则点E到线段AB的距离为1，EB.SO2，故正四棱锥SEFGH的体积为()22.例7、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x6cm时，该容器的容积为_cm3

6、【答案】48【解析】： 由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，而侧面高为5cm，则正四棱锥的高为4cm，所以所求容积为62448（cm3）例8、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段B1B上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_【答案】.【解析】： 如图，沿BB1将侧面ABB1A1与BCC1B1展开成平面图，连结AC1交BB1于点M，则AC1为AMMC1的最小值，此时BMAB1，B1MB1C12，从而AMC1的三条边长分别为AM，C1M2，AC1，由余弦定理知AMC1120，故AMC1的面积为SAMC1Msin120，即

7、S2.题型四、求的切、接问题球的切与接的问题要选择恰当的截面，选择截面的标准就是尽量包含多的关系，如球的半径与边长的关系。例9、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA2 m，PB3 m，PC4 m，则球O的表面积为_m2.【答案】 29【解析】根据题意，可知三棱锥PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，因为PA2，PB3，PC4，所以长方体的体对角线的长为，即外接球的直径2R，可得R，因此外接球的表面积为S4R2429，例10、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国

8、古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)【答案】 30【解析】 设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R，得4R230.从而S球面4R230. 本题由于背景文字较多，易出现没有读懂题意，没有正确理解图形的情况本题的关键在于理解球的直径与两

9、个并排长方体体对角线之间的关系二、达标训练1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是_【答案】 【解析】圆锥的高为h2，圆锥的体积V122.2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为，侧面积为2，则该圆锥的体积为_【答案】. 【解析】 先求出圆锥的底面半径和高设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h.圆锥的体积VSh.3、(2019苏北三市期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，高为1，则该正四棱锥的侧面积为_【答案】 . 8【解析】：如图，在正四棱锥中，BC2，SO1，取BC的中点E，连续OE，SE，则OEBC，侧面是四个全等的等腰三角形，设侧面积为S

10、，则S4SSBC4SEBC22228.所以正四棱锥的侧面积为8.4、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是_【答案】【解析】解法1(割补法) 设ABC的面积为S，三棱柱的高为h，则V1VA1ABCVMABCShShSh，V2VABCA1B1C1VA1ABCShShSh，所以.解法2(等积转换)V1VBA1MCVBA1ACVA1ABC，V22VA1BC1B12VBA1B1C12VA1ABC，所以. 计算几何体的体积一般可以选用等积转换和割补法这两种方法，要注意多观察，将所求的体积

11、合理地转化. 5、(2018南通、泰州一调） 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗)【答案】2【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为64249460，设所求正三棱柱的底面边长为x cm，则有x2660，解得x2，所以所求边长为2cm.6、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积

12、为_【答案】 2【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a2，面积Sa23，高h2.所以正三椎锥的体积VSh2.7、（2017全国1）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_【答案】【解析】 取的中点，连接，因为所以，因为平面平面所以平面设所以，所以球的表面积为8、（2017南京三模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 【答案】【解析】如图，沿BB1将侧面ABB1A1与

13、BCC1B1展开成平面图，连结AC1交BB1于点D，则AC1为ADDC1的最小值，此时BDAB1，由题意可知平面，且，9、如图，在矩形ABCD中，AD2，AB4，E，F分别为边AB，AD的中点现将ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.（1）求证：EF平面ABC；（2）若平面ADE平面BCDE，求四面体FDCE的体积【解析】 (1) 如图1，取线段AC的中点M，连结MF，MB.因为F，M为AD，AC的中点，所以MFCD，且MFCD.图1在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BECD，且BECD.所以MFBE，且MFBE.所以四边形BEFM为平行四边形，故EFBM.又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF平面ABC.(2) 在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD2，AB4，E为AB的中点，所以ADE，CBE都是等腰直角三角形，且ADAEEBBC2.所以DEACEB45，且DEEC2.又DEADECCEB180，所以DEC90，即DECE.又平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，CE平面BCDE，所以CE平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高因为F为AD的中点，所以SEFDADAE221.所以四面体FDCE的体积VSEFDCE12.