专题24 以几何体为载体的应用题（解析版）.docx

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1、专题24 以几何体为载体的应用题在江苏高考的试题中，应用题是每年必考的题型，应用题主要体现了学生运用数学知识解决实际问题的能力。近几年来应用题以几何背景呈现的居多，特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关。因此，在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。一、 例题选讲题型一、多面体有关的应用题例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，

2、左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM5 m，BC10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH.(1) 求屋顶面积S关于的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ (1)先通过线面垂直得到FHHM，放在RtFHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于的函数关系式(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于的函数关系式，再

3、通过导数法求函数的最小值(1)规范解答 由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM平面ABCD，得FHHM.(2分)在RtFHM中，HM5，FMH，所以FM.(4分)因此FBC的面积为10.从而屋顶面积S2SFBC2S梯形ABFE222.2.所以S关于的函数关系式为S.(6分)(2)在RtFHM中，FH5tan，所以主体高度为h65tan.(8分)所以别墅总造价为ySkh16kkk96k80k96k.(10分)记f()，0，所以f()，令f()0，得sin，又0，所以.(12分)列表：f()0f()所以当时，f()有最小值答：当为时，该别墅总造价最低(14分) 理解题意，建立出函数的关系式，

4、是处理最优解类型应用问题的关键，第(1)问，抓住条件”梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍”，只要用表示出FBC面积，即可得到屋顶面积第(2)问，需要先设出总造价为y元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积，就可以建立函数关系式题型二、与球、圆有关的应用题例2、(2018苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成，如图2，已知圆O的半径为10 cm，设BAO，0，圆锥的侧面积为S cm2.

5、(1) 求S关于的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大，求S取得最大值时腰AB的长度（图1）（图2） (1) 母线长l是OA在AB上的射影的两倍，可用表示底面半径r是l在底面上的射影，可用l和表示从而Srl可用表示；(2) 求导数，找导函数的零点，列表确定极大值，唯一的极大值也是最大值规范解答 (1) 设AO交BC于点D，过O作OEAB，垂足为E.在AOE中，AE10cos，AB2AE20cos.(2分)在ABD中，BDABsin20cossin，(4分)所以S220sincos20cos400sincos2.(6分)(2) 由(1)得S400sincos2400(

6、sinsin3)(8分)令xsin(0x，所以4x2，即x，所以44x2.答：四根木条总长的取值范围为.(6分)(2) 解法1 设AB所在的木条长为am，则BC所在的木条长为(3a)m.因为a(0,2)，3a(0,2)，所以a(1,2)(8分)S矩形ABCD4 ，(11分)设f(a)a46a3a224a20，则f(a)4a318a22a242(a1)(2a3)(a4)，令f(a)0，得a或a1(舍去)或a4(舍去)(14分)列表如下：af(a)0f(a)极大值所以当a时，f(a)maxf，即Smax.答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分)解法2 设AB所在的木条长为am，BC所在的木

7、条长为bm.由条件知，2a2b6，即ab3.因为a，b(0,2)，所以b3a(0,2)，从而a，b(1,2)(8分)由于AB2，BC2，S矩形ABCD4，(10分)因为，(14分)当且仅当ab(1,2)时，S矩形ABCD.答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分) 第(1)问中，最容易出错的地方是忽略“四根木条将圆分成9个区域”这一条件，从而导致变量的取值范围出错 本题的本质是直线与圆的位置关系问题，第(1)问是由圆心到直线的距离的要求来求弦长的范围；而第(2)问是已知弦长的要求来求圆心到直线的距离的范围，弄清这一本质，问题就很容易求解4、为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，

8、已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m（1） 考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2） 考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽解析：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知点在抛物线上，得，所以抛物线的方程为. （1）为了使填入

9、的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，设点， 则此时梯形APQB的面积 ， ,令，得，当时，单调递增，当时， 单调递减，所以当时，有最大值，改挖后的水渠的底宽为m时，可使填土的土方量最少. （2） 为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点，则函数在点M处的切线方程为， 分别令得，所以梯形OABC的面积， 当且仅当时，等号成立，此时.所以设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使挖土的土方量最少. 5、一个帐篷的形状如图，下部分是高为1m的正六棱柱，上部分是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大?解析 设OO1为xm，则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函.所以当x=2时，V(x)最大.答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大.