9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法.pptx

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1、 连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件 当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法 各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似由度的系统进行近似集中质量法集中质量法 假设模态法假设模态法有限元法有限元法集中质量法集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上假设模态法假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解有限元法有限

2、元法兼有以上两种方法的特点兼有以上两种方法的特点连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法 集中质量法集中质量法 工程系统的物理参数常常分布不均匀工程系统的物理参数常常分布不均匀 惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体 惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上可以不计或折合到集中质量上 物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量 集中质量的数量取决于所要求的计算精度集中质量的

3、数量取决于所要求的计算精度 连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的分析方法进行分析分析方法进行分析连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法 集中质量法集中质量法以等截面梁为例以等截面梁为例材料密度材料密度长度长度 l抗弯刚度抗弯刚度 EI将梁均分为四段将梁均分为四段l4/ l4/ l4/ l4/ l4/m4/m4/m并将每段的质量平均分到该段的两端并将每段的质量平均分到该段的两端支座处的集中质量不影响梁的弯曲支座处的集中质量不影响梁的弯曲连续梁可用三个集中质量代替：连续梁可用三个集中质量代替：4321mmmm

4、质量矩阵：质量矩阵： 1000100014mM梁质量：梁质量：Slm 横截面积度横截面积度 S连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法三个质点之间的梁段具有相同三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质的弹性性质l4/ l4/ l4/ l4/ l4/m4/m4/m由材料力学，得柔度影响系数：由材料力学，得柔度影响系数：EIlff768933311 质量矩阵：质量矩阵： 1000100014mMEIlffff76811332232112 EIlf76816322 EIlff768733113 柔度矩阵：柔度矩阵： 911711161171197683EIlF可以求解系统可以求解系统固有频

5、率固有频率连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法也可将连续梁离散为两自由度也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统或单自由度系统l4/ l4/ l4/ l4/ l4/m4/m4/m3/ l3/m3/m3/ l3/ l2/ l2/m2/ l在求得质量矩阵和柔度矩阵后在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统固有，可以计算出相应的系统固有频率频率连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法连续梁三自由度系统两自由度系统单自由度系统固有频率精确解近似解误差近似解误差近似解误差0.03%0.73%6.3%0.1%3.3%0.7%SEIl2870. 9123SEIl248

6、.39SEIl283.88SEIl2867. 9SEIl2859. 9SEIl2798. 9SEIl219.39SEIl218.38SEIl221.83（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；（）基频精度较高；（3）频率阶数增高，误差增大）频率阶数增高，误差增大注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于悬臂梁系统，计算精度明显下降悬臂梁系统，计算精度明显下降连续系统的振动连续系统的振动 / 集中质量法集中质量法 假设模态法假设模态法利用有限个已

7、知的模态函数来确定系统的运动规律利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合：解写作全部模态函数的线性组合：1)()(),(iiitqxtxy)(xi：模态函数：模态函数)(tqi：模态坐标：模态坐标若取前若取前 n 个有限项作为近似解，则有：个有限项作为近似解，则有： niiitqxtxy1)()(),()(xi：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但因而代以假

8、设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的不一定满足动力学方程的试函数族试函数族)(tqi：与假设模态所对应的广义坐标：与假设模态所对应的广义坐标 动力学方程动力学方程 瑞利法瑞利法 里兹法里兹法连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法假定模态函数假定模态函数 已经确定已经确定)(xi梁的近似解可写为：梁的近似解可写为：q niiitqxtxy1)()(),(nnR 121,121, nTnRqqqq以均质梁的横向振动为例以均质梁的横向振动为例动能：动能： ldxttxyST02),(21 lTTdxS0)(21qqqMqT21 nnlTRdxS 0M质量阵质量阵

9、yxl0 ljijiijdxxxSmm0)()(质量阵为对称阵质量阵为对称阵连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法假定模态函数假定模态函数 已经确定已经确定)(xi梁的近似解可写为：梁的近似解可写为：q niiitqxtxy1)()(),(nnR 121,121, nTnRqqqq以均质梁的横向振动为例以均质梁的横向振动为例yxl0势能：势能： ldxxtxyEIV0222),(21 lTTdxEI0)(21qqKqqT21 nnlTRdxEI 0K刚度阵刚度阵 ljijiijdxxxEIkk0)()(刚度阵为对称阵刚度阵为对称阵连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设

10、模态法有激励存在的拉格朗日方程：有激励存在的拉格朗日方程：qMqTT21 nnlTRdxS 0MKqqTV21 nnlTRdxEI 0KiiiiQqVqTqTdtd iiiQqLqLdtd 或或VTL 拉氏函数拉氏函数iQ：对应于广义坐标：对应于广义坐标 的广义力的广义力iq设沿梁作用有分布力设沿梁作用有分布力 p (x, t)当梁有虚位移当梁有虚位移 时，时， niiiqy1分布力的虚功：分布力的虚功： lydxtxptW0),()( lniiidxqtxp01),( niiliqdxxtxp10)(),(连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法有激励存在的拉格朗日方程：有激励

11、存在的拉格朗日方程：qMqTT21 nnlTRdxS 0MKqqTV21 nnlTRdxEI 0KiiiiQqVqTqTdtd iiiQqLqLdtd 或或VTL 分布力的虚功：分布力的虚功： niiliqdxxtxptW10)(),()(按照广义力的定义：按照广义力的定义： niiiqQtW1)(比较，得：比较，得： liidxxtxptQ0)(),()(矩阵形式：矩阵形式：121)(,),(),()( nTnRtQtQtQtQ连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法有激励存在的拉格朗日方程：有激励存在的拉格朗日方程：qMqTT21 nnlTRdxS 0MKqqTV21 nnl

12、TRdxEI 0KiiiiQqVqTqTdtd iiiQqLqLdtd 或或VTL T、V、Q 代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：121)(,),(),()( nTnRtQtQtQtQ广义力：广义力： liidxxtxptQ0)(),()(拉格朗日方程的矩阵形式：拉格朗日方程的矩阵形式：Qqqq VTTdtd)(tQKqqM 弹性体的受迫振动转换成了弹性体的受迫振动转换成了 n 自由度系统的强迫振动问题自由度系统的强迫振动问题连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法yxl0axm梁的近似解：梁的近似解：q niiitqxtxy1)()(),(动能：动能： ldxttxyST02

13、),(21qMqT21 nnlTRdxS 0M质量阵质量阵系统的动能：系统的动能：202),(21),(21 ttxymdxttxySTalqMMq)(2110 TnnlTRdxS 00M质量阵：质量阵：如果梁上有集中质量如果梁上有集中质量 m ，nnaTaRxxm )()(1M10MMM )()()()(0ajailjijiijxxmdxxxSmm 对称阵对称阵连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法系统的势能：系统的势能：如果梁上有卷簧如果梁上有卷簧 k1 和弹簧和弹簧 k2，势能：势能： ldxxtxyEIV0222),(21KqqT21 nnlTRdxEI 0K刚度阵刚度

14、阵梁的近似解：梁的近似解：q niiitqxtxy1)()(),(yxl0cx2kbx1k),(21),(21),(2122210222txykxtxykdxxtxyEIVcbl qKKKq)(21210 TnnlTRdxEI 00K刚度阵：刚度阵：nnbbTRxxk )()(11KnnccTRxxk )()(22K210KKKK )()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk 对称阵对称阵连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法例：等截面简支梁例：等截面简支梁梁中部有一集中质量梁中部有一集中质量 Ma，大小等于梁的质量大小等于梁的质量采

15、用假设模态法，求：采用假设模态法，求：（1）梁的前三阶固有频率）梁的前三阶固有频率（2）梁的稳态横向强迫振动）梁的稳态横向强迫振动yx2/ l2/ l0tPsin0Ma集中质量上有外力集中质量上有外力tPsin0450SlEI 假设模态取为：假设模态取为：), 2 , 1(,sin)( ilxixi连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法解：解：nnlTRdxS 00MnnaTaRxxm )()(1M 3020102032SlM若对第三阶固有频率的精若对第三阶固有频率的精度要求不高，取度要求不高，取 n3质量阵：质量阵：yx2/ l2/ l0tPsin0Ma模态函数阵：模态函数阵

16、：3sin,2sin,sin)(),(),(321lxlxlxxxx nnlTRdxEI 00K 81000160001234lEIK刚度阵：刚度阵：连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 3020102032SlM 81000160001234lEIK0MK )(2416825. 5SlEI 424784.39SlEI 439944.68SlEI 特征值问题：特征值问题： 0048. 005742. 02)1(Sl 0102)2(Sl 7746. 005199. 02)3(Sl固有频率：固有频率：正则化特征向量：正则化特征向量：连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设

17、模态法梁的稳态响应：梁的稳态响应： 3131sin)( )()(),(iiiiilxitqtqxtxy外力写成分布力形式：外力写成分布力形式：yx2/ l2/ l0tPsin0Ma强迫振动方程：强迫振动方程：)2()sin(),(0lxtPtxp 广义力：广义力： liidxxtxptQ0)(),()()3 , 2 , 1(,2sinsinsin)2(sin)(000 iitPdxlxilxtPtQli)(tQKqqM TtPt 1, 0, 1 sin)(0 Q广义力列阵：广义力列阵：连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法离散化强迫振动方程：离散化强迫振动方程：)(tQKqqM

18、 101sin)(0tPtQ 3020102032SlM 81000160001234lEIK 0048. 005742. 02)1(Sl 0102)2(Sl 7746. 005199. 02)3(Sl416825. 5SlEI 424784.39SlEI 439944.68SlEI 令：令：),(321diag ,)3()2()1( 坐标变换：坐标变换：q )(tTQ 梁的稳态响应：梁的稳态响应： 31sin)( ),(iilxitqtxy求得求得得得q代入梁的稳态响应方程中得解代入梁的稳态响应方程中得解连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 假设模态法假设模态法 动力学方程

19、动力学方程 瑞利法瑞利法 里兹法里兹法连续系统的瑞利法是基于能量法的假设模态法，是多自由度系连续系统的瑞利法是基于能量法的假设模态法，是多自由度系统的瑞利法的推广统的瑞利法的推广以梁的弯曲振动为例以梁的弯曲振动为例假设梁以某阶模态函数作频率为假设梁以某阶模态函数作频率为 的自由振动：的自由振动：txtxysin)(),( 设系统为保守系统，机械能守恒设系统为保守系统，机械能守恒maxmaxVT 即即 ldxttxyST02),(21 ldxxST022max)(21 ldxxtxyEIV0222),(21 ldxxEIV02max)(21引入系统的参考动能：引入系统的参考动能： ldxxSTT

20、022max*)(21连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法定义定义瑞利商瑞利商：maxmaxVT ldxxST022max)(21 ldxxEIV02max)(21参考动能：参考动能： ldxxSTT022max*)(212*max)( TVR当当 为准确的第为准确的第 i 阶模态函数时，瑞利商即为相应的特征值，阶模态函数时，瑞利商即为相应的特征值，即第即第 i 阶固有频率阶固有频率)(x2i若若 是试函数，它满足梁的几何边界条件，但不满足动力学是试函数，它满足梁的几何边界条件，但不满足动力学方程，则瑞利商是一个依赖于方程，则瑞利商是一个依赖于 的标量的标量)(x)(x20)

21、( R试函数试函数 越接近某阶真实模态，瑞利商越接近该阶固有频率越接近某阶真实模态，瑞利商越接近该阶固有频率)(x与多自由度系统相同，瑞利商大于基频与多自由度系统相同，瑞利商大于基频实际计算时可选择梁的静变形函数，或选择条件相近的梁的实际计算时可选择梁的静变形函数，或选择条件相近的梁的精确解作为试函数精确解作为试函数连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法maxmaxVT ldxxST022max)(21 ldxxEIV02max)(21 ldxxSTT022max*)(21*max)(TVR yxl0cx2kbx1kaxm若梁上存在集中质量和弹性支撑若梁上存在集中质量和弹性支撑

22、222102max)()()(21cblxkxkdxxEIV )()(21 2022max*alxmdxxSTT则最大势能和参考动能相应改为：则最大势能和参考动能相应改为：连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法例：等截面悬臂梁例：等截面悬臂梁yx0lm)64()(22341xllxxAx 端部有一集中质量端部有一集中质量Slm2 用瑞利法估计基频用瑞利法估计基频解：解：选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数：选择等截面悬臂梁在均布载荷下的静挠度曲线作为试函数： )()(21202*alxmdxxST*max)(TVR 411908. 1SlEI 选择端部集中质量作用

23、下的静挠度曲线作为试函数：选择端部集中质量作用下的静挠度曲线作为试函数：)3()(322xlxAx 411584. 1SlEI 因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好因集中质量大于梁的分布质量，选用后一种试函数好连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 假设模态法假设模态法 动力学方程动力学方程 瑞利法瑞利法 里兹法里兹法里兹法是瑞利法的改进里兹法是瑞利法的改进瑞利法使用单个试函数，而里兹法使用若干个独立的试函数瑞利法使用单个试函数，而里兹法使用若干个独立的试函数的线性组合：的线性组合： niiixax1)( )(满足几何边界条件满足几何边界条件)1(nii 里兹基函数里

24、兹基函数 ldxxST022max)(21 ldxxEIV02max)(21 ldxxSTT022max*)(21*max)(TVR )1(niai 待定系数待定系数),(21maxnaaaT),(21maxnaaaVRTVT、*maxmax都是都是ai 的函数的函数瑞利商：瑞利商：),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 ldxxST02*)(21 lnjjjniiidxxaxaS011)()(21瑞利商：瑞利商：),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR 选择系数选择系数 ai （i1,2,n），使得瑞利商取

25、驻值：），使得瑞利商取驻值：), 2 , 1(, 0)(niaRi 得到得到 ai 的齐次代数方程组，其非零解条件可用来计算系统的的齐次代数方程组，其非零解条件可用来计算系统的固有频率固有频率 ninjjiijaam1121考虑梁的弯曲振动，其参考动能为：考虑梁的弯曲振动，其参考动能为：), 2 , 1,(,)()(210njidxxxSmljiij 定义：定义：nnijRm M1 niRaaaMa21T 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 ldxxST02*)(21梁的弯曲振动的参考动能：梁的弯曲振动的参考动能：), 2 , 1,(,)()(210njidxxxSmlji

26、ij nnijRm M1 niRaaaMa21T yxl0cx2kbx1kaxm若梁上存在集中质量若梁上存在集中质量 )()(21202*alxmdxxSTaMMa)(2110 TaMa21T ), 2 , 1,(),()()()(210njixxmdxxxSmmajailjijiij 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR ), 2 , 1(, 0)(niaRi ninjjiijaamT11*21梁的弯曲振动，其最大势能：梁的弯曲振动，其最大势能：), 2 , 1,(,)()(210njidxxxSmljiij ldxxE

27、IV02max)(21 lnjjjniiidxxaxaEI011)()(21 ninjjiijaak1121), 2 , 1,(,)()(210njidxxxEIkljiij 定义：定义：nnijRk KaKa21T 固有频率的近似值固有频率的近似值aMaaKa)(TTR 2 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法梁的弯曲振动最大势能：梁的弯曲振动最大势能： ldxxEIV02max)(21), 2 , 1,(,)()(210njidxxxEIkljiij nnijRk KaKa21T yxl0cx2kbx1kaxm若梁上存在弹性支撑若梁上存在弹性支撑222102max)()(

28、 )(21cblxkxkdxxEIV aKKKa)(21210 TaKa21T )()()()()()(210cjcibjbiljijiijxxkxxkdxxxEIkk 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法aMaaKa)(TTR 2 ),(),()(21*21maxnnaaaTaaaVR ), 2 , 1(, 0)(niaRi 得特征值问题：得特征值问题：0aMK )(2可求得可求得n个特征值个特征值 和和n特征向量特征向量 2i)(ia 里兹法改善了瑞利法对基频的估计，还可计算高阶固有频率里兹法改善了瑞利法对基频的估计，还可计算高阶固有频率 n 愈大，计算精度愈高愈大，计算

29、精度愈高 计算精度也与基函数计算精度也与基函数 的选择有关，通常采用幂函的选择有关，通常采用幂函数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确解的梁数、三角函数、贝塞尔函数或条件相近的有精确解的梁的模态函数作为基函数的模态函数作为基函数), 2 , 1(nii Tiniiiaaa,)()(2)(1)( a njjijixax1)()()( )(第第 i 阶模态函数：阶模态函数：连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法例：等截面简支梁例：等截面简支梁梁中部有一集中质量梁中部有一集中质量 Ma，大小等于梁的质量大小等于梁的质量采用里兹法，求：梁的模态采用里兹法，求：梁的模态函数近似解函数

30、近似解yx2/ l2/ l0Ma选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数：选取无集中质量时的梁的模态函数作为里兹基函数：), 2 , 1(,sin)( ilxixi解：解：基函数满足自然边界条件（两端挠度和弯矩为零）基函数满足自然边界条件（两端挠度和弯矩为零）)0(0)(, 0)(lorxxxii 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法离散化强迫振动方程：离散化强迫振动方程：)(tQKqqM 101sin)(0tPtQ 3020102032SlM 81000160001234lEIK 0048. 005742. 02)1(Sla 0102)2(Sla 7746. 00519

31、9. 02)3(Sla416825. 5SlEI 424784.39SlEI 439944.68SlEI 模态试函数：模态试函数：3131sin)( )(iiiiilxiatax若对第三阶固有频率的精度要求不高，取若对第三阶固有频率的精度要求不高，取 n3连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 0048. 005742. 02)1(Sla 0102)2(Sla 7746. 005199. 02)3(Sla模态试函数：模态试函数：3131sin)( )(iiiiilxiatax梁的模态函数近似解：梁的模态函数近似解：)3sin0048. 0sin5742. 0(2 )()1(lx

32、lxSlx lxSlx2sin2 )()2( )3sin7746. 0sin5199. 0(2 )()3(lxlxSlx 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法例：楔形悬臂梁例：楔形悬臂梁单位厚度单位厚度截面变化截面变化lxAxA0)( bA20 为根部截面积为根部截面积用里兹法求基频用里兹法求基频lxbby0解：解：截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩：3303)2(121)(lxIlbxxI 30)2(121bI 根部截面对中性轴的惯性矩根部截面对中性轴的惯性矩取基函数：取基函数：), 2 , 1(,)()1 ()(12nilxlxxii 可以验证，基函数满足所有位移

33、边界条件和力边界条件可以验证，基函数满足所有位移边界条件和力边界条件连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法单位厚度单位厚度截面变化截面变化lxAxA0)( bA20 为根部截面积为根部截面积lxbby0截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩：3303)2(121)(lxIlbxxI 30)2(121bI 根部截面对中性轴的惯性矩根部截面对中性轴的惯性矩基函数：基函数：), 2 , 1(,)()1 ()(12nilxlxxii ljiijdxxxEIk0)()(21 ljiijdxxxSm0)()(21取取 n2 2801105110513010lAM 52525210lAK

34、质量阵：质量阵：刚度阵：刚度阵：连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 2801105110513010lAM 52525210lAK由：由：02 MK4001319. 5lAEI 若取若取 n1：4001477. 5lAEI 精确解精确解：4001315. 5lAEI 连续系统的振动连续系统的振动 / 假设模态法假设模态法 模态综合法模态综合法 对于由多个构件组成的复杂系统，很难找到适合于整个系统对于由多个构件组成的复杂系统，很难找到适合于整个系统的假设模态的假设模态 子结构的划分应使得子结构易于分析，并且对接面尽量缩小子结构的划分应使得子结构易于分析，并且对接面尽量缩小，以

35、减少子结构之间的耦合，以减少子结构之间的耦合 实际工程问题中低阶模态占主要成分，因此对每个子结构只实际工程问题中低阶模态占主要成分，因此对每个子结构只需要计算少量低阶模态，然后加以综合需要计算少量低阶模态，然后加以综合对策：对策：将复杂结构分解成若干个较简单的子结构，对每个子将复杂结构分解成若干个较简单的子结构，对每个子结构选定假设模态，然后根据对接面上的位移和力的协调条结构选定假设模态，然后根据对接面上的位移和力的协调条件，将各个子结构的假设模态综合成总体系统的模态函数件，将各个子结构的假设模态综合成总体系统的模态函数模态综合法模态综合法连续系统的振动连续系统的振动 / 模态综合法模态综合法

36、等截面直角梁的弯曲振动问题等截面直角梁的弯曲振动问题1o2o1x2x1y2y3o两根梁，长度两根梁，长度 l，截面抗弯刚度，截面抗弯刚度 EI梁材料密度梁材料密度 ，截面积，截面积 A3o处固接处固接将直角梁分为两个子结构将直角梁分为两个子结构坐标：坐标：111yxo 222yxo 子结构模态的选取：子结构模态的选取：固定界面法固定界面法，自由界面法自由界面法固定界面法：将两子结构的界面固定界面法：将两子结构的界面 o3 加以固定，使两子结构成为加以固定，使两子结构成为两端固定的直梁两端固定的直梁满足几何边界条件的模态函数：满足几何边界条件的模态函数：2211)( lxlxxiii不计梁的纵向

37、振动，界面无横向位移，但界面可自由转动不计梁的纵向振动，界面无横向位移，但界面可自由转动连续系统的振动连续系统的振动 / 模态综合法模态综合法1o2o1x2x1y2y3o当界面当界面 o3 产生单位角位移时，产生单位角位移时，各子结构满足几何边界条件的各子结构满足几何边界条件的模态称为模态称为约束模态约束模态，取为：，取为：满足几何边界条件的模态函数：满足几何边界条件的模态函数：2211)( lxlxxiii lxlxxiii1)(22梁的横向位移的模态表达式：梁的横向位移的模态表达式：)()()()(),(21211111txtxtxy )()()()(),(42232122txtxtxy

38、界面应满足：界面应满足：2211),(),(xtlyxtly 22222112),(),(xtlyEIxtlyEI 位移协调条件位移协调条件弯矩协调条件弯矩协调条件代入，得约束方程：代入，得约束方程：4231， 连续系统的振动连续系统的振动 / 模态综合法模态综合法1o2o1x2x1y2y3o)()()()(),(21211111txtxtxy )()()()(),(42232122txtxtxy 记：记：2211),(),(xtlyxtly 22222112),(),(xtlyEIxtlyEI 4231， 令系统广义坐标：令系统广义坐标：2211， qq Tqq)(21 qT)(4321 得

39、：得：系统动能：系统动能：q 10100101 ldxttxyttxyAT0222211),(),(21系统势能：系统势能： ldxxtxyxtxyEIV0222222221112),(),(21连续系统的振动连续系统的振动 / 模态综合法模态综合法1o2o1x2x1y2y3o)()()()(),(21211111txtxtxy )()()()(),(42232122txtxtxy 2211， qq Tqq)(21 qT)(4321 q 10100101 ldxttxyttxyAT0222211),(),(212211)( lxlxxiii lxlxxiii1)(22M21T qMqT21 M

40、MT ldxxtxyxtxyEIV0222222221112),(),(21K21T KqqT21 105/1280/1280/1630/12 AKKT 1005/183lEI系统得动力学方程：系统得动力学方程：0KqqM 连续系统的振动连续系统的振动 / 模态综合法模态综合法 有限元法有限元法20世纪五六十年代发展起来的方法世纪五六十年代发展起来的方法 吸取了集中质量法与假设模态法的优点吸取了集中质量法与假设模态法的优点 有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值每个单元作为弹性体，单元内各

41、点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）函数表示（单元的假设模态）由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同将复杂结构分割成有限个将复杂结构分割成有限个单元单元，单元端点称为，单元端点称为节点节点，将节点，将节点的位移作为的位移作为广义坐标广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上，并将单元的质量和刚度集中到节点上以以杆的纵向振动杆的纵向振动和和梁的弯曲振动梁的弯曲振动为例进行介绍为例进行介绍连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元

42、法杆的纵向振动杆的纵向振动单元质量矩阵和刚度矩阵的求解单元质量矩阵和刚度矩阵的求解将杆划分为多个单元将杆划分为多个单元取出其中一个单元进行分析取出其中一个单元进行分析单元长单元长 l，两端节点位移，两端节点位移 u1(t)、u2(t)x 位置截面的位移：位置截面的位移： 21)()(),(iiituxNtxu)()(21xNxN、：单元假设模态：单元假设模态（形函数）（形函数）),(txflx0),(txu)(1tu)(2tux1)(1xN1)(2xN取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数元的静变形函数lxxN

43、 1)(1lxxN )(2例如：例如：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法x 位置截面的位移：位置截面的位移： 21)()(),(iiituxNtxu代入，得：代入，得：),(txflx0),(txu)(1tu)(2tuxlxxN 1)(1lxxN )(2eTtxuuN ),(Tlxlx 1NTetutu )()(21 u单元动能：单元动能：dxttxuATle20),(21 eeTeumu21 dxATleNNm 0单元质量矩阵单元质量矩阵 21126AlA为常数时为常数时：材料密度：材料密度A：截面积：截面积连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法),(txflx0

44、),(txu)(1tu)(2tuxeTtxuuN ),(Tlxlx 1NTetutu )()(21 u单元势能：单元势能：dxxtxuEAVle20),(21 eeTeuku21 dxEATleNNk 0单元刚度矩阵单元刚度矩阵 1111lEAEA为常数时为常数时E：弹性模量：弹性模量Tll 11Nf(x,t)对虚位移对虚位移 的虚功：的虚功：),(txudxtxutxfWl 0),(),(21eTeuF eF：与节点坐标：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵对应的单元广义力列阵dxtxfle 0),(NF若轴向力若轴向力 f (x,t) 为常力为常力Tfl) 11 (2 连续系统的振动连续系

45、统的振动 / 有限元法有限元法全系统的动力学方程全系统的动力学方程以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构lllEAA 22，EAA，1231q2q3q以一个例子进行说明以一个例子进行说明11u2u23u4u35u6u杆划分为三个单元杆划分为三个单元单元质量矩阵：单元质量矩阵： 2112321Aleemm 211263Alem 1111221lEAeekk单元刚度矩阵：单元刚度矩阵： 11113lEAekTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 u单元坐标单元坐标连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法

46、lllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 u全部节点坐标列阵：全部节点坐标列阵：TTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuU节点坐标约束条件：节点坐标约束条件：543210uuuuu ，只有三个独立只有三个独立定义独立的广义坐标：定义独立的广义坐标：63542321,uquuquuq ，广义坐标列阵：广义坐标列阵：Tqqq)(321 q节点坐标与广义坐标之间的关系：节点坐标与广义坐标之间的关系：qU T 100000011000000110连续系统的振动连续系统的振动 / 有限

47、元法有限元法lllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 uTTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuU全系统的动能：全系统的动能：qU T 100000011000000110 31ieiTT 3121ieieiTeiumuUMU21T 66321 Reeem000m000mMqMqT21 33 RTMMTqqq)(321 q连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法eeTeeTumu21 质量矩阵质量矩阵 M 也可直接利用单元质量矩阵组集而成也可直接利用单元质量矩阵组集

48、而成方法：方法：将单元质量矩阵将单元质量矩阵 me1、me2 和和 me3 的各个元素统一按的各个元素统一按 qi (i=1,2,3) 的下标重新编号，放入的下标重新编号，放入 M 中与编号相对应的行和列中中与编号相对应的行和列中 222112111mmmmemlllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 uTTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuUTqqq)(321 q63542321,uquuquuq ， 444334332mmmmem 666556553mmmmem 110

49、00m 22211211mmmm 33322322mmmm连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法 222112111mmmmem 444334332mmmmem 666556553mmmmem 11000m 22211211mmmm 33322322mmmm单元质量矩阵：单元质量矩阵： 2112321Aleemm 211263Alem和广义坐标和广义坐标 相对应的质量矩阵：相对应的质量矩阵：Tqqq)(321 q 333231232221131211mmmmmmmmmM 210124202446Al 20003Al 21123Al 21126Al连续系统的振动连续系统的振动 / 有

50、限元法有限元法lllEAA 22，EAA，1231q2q3q11u2u23u4u35u6uTeuu)(211 uTeuu)(432 uTeuu)(653 uTTTeTeTeuuuuuu)()(654321321 uuuU全系统的势能：全系统的势能：qU T 100000011000000110 31ieiVV 3121ieieiTeiukuUKU21T 66321 Reeek000k000kKKqqT21 KKT Tqqq)(321 q 11011220222lEAK也可组集也可组集得到：得到：连续系统的振动连续系统的振动 / 有限元法有限元法eeTeeVuku21 qQUFTTW 当杆上有常