不等式的证明-综合法.docx

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1、不等式的证明-综合法 第一篇：不等式的证明-综合法 主备人：审核：包科领导：年级组长：运用时间： 不等式的证明-综合法 1.驾驭综合法证明不等式的方法和步骤。 2.能够利用综合法证明不等式。 重点：综合法证明不等式。 难点：综合法证明不等式。 1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2.红笔勾出疑难点，提交小组探讨； 3.预习p18, 1，综合法：从动身，利用不等式的性质或已知证明过的不等式，推出了所要证明 的结论，即“的方法，这种证明不等式的方法称为综合法。 2，综合法证明不等式就是揭示已知和结论之间的因果关系，为此要着力分析已知和结论之间，求证不等式左右两边之间的联系和差异，恰

2、当选择基本不等式，合理的进行恒等变形，正确的把握切入点，这是证明的关键。 3，综合法证明不等式常用的不等式： 221a20(aR)2a+b2aba,bR (3) a+b2aba,bR (4)当a0,b0时, 22ab(a+b2) 2 5当a0,b0 证明以下不等式 1 已知0, b0，c0求证 ： 2已知0 b+cc+aa+b+6abc 1，已知abc,求证: 2，2008年江苏卷已知a,b c为正实数,求证: 已知 a,b,c R求证: 114+ a-bb-ca-c111+abc a3b3c3a+b+c) 本节小结：分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者由果索因，利于思索，后者由因导果，易

3、于表达，但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探究方式，而不是一种好的书写形式，因为它表达繁琐，假如把“只需证明不写，就成了错误，所以用分析法分析综合法书写，另外用分析法证明的不等式确定能用综合法证明。 其次篇：不等式的证明比较法、综合法、分析法 不等式的证明比较法，综合法，分析法 典型问题: 一比较法证明不等式 ama+mam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且b+,求证：abm+n+bm+n1a2ab+ab1+b2mnnm 21a20,求证:()21b2+()a 3322a+b0a+bab+ab4.已知，求证： 二综合法证明不等式 +a,b,cR1.设, 3332222222(a+

4、b+c)ab+ac+ba+bc+ca+cb6abc. 求证: +a,b,cR2.已知,且a+b+c=1,求证: 111+9 (1)abc 124+18(2)abc 1-b)(1-c)(3)(1-a)(8abc111(-1)(-1)(-1)8(4)abc 三分析法证明不等式 1.证明：3+22b0a-ba-b 3.设,求证: 4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logac+logbc4lgc 41a+b0,b0,ab,且a-b=a-b，求证：33322 6.实数a,b,c满意abc,且a+b+c=0,求证: +a,bR,2ca+b,求证: 7.已知b-acab c-aba0,b0,

5、P= a+b 2,Q=a+b，则P与Q的大小关系是 A、PQB、PQC、PQD、PyB、x0时，f(x)=ax2+bx+c0(或0).0)。当a0(或0(或a，n(n+1)n，a+a+ 242 2 22 将分子或分母放大或缩小如： 1n 2 1n(n+1) 真分数的性质：“若0a0,，则 a+mb+m=(lg 利用基本不等式，如：lg3lg5( n(n+1) lg3+lg 52 2 )lg4； n+(n+1) 2 .利用函数的单调性 利用函数的有界性：如：sinA1,AR；2x0,xR . 利用常用结论： 、 1K1K= 2K+2K+1k(k-1)1k K 2K+ 2K+1k K-1K+ 1=

6、2(K+1-K)(kN,k1) * = K 1) * 、 1k 1k(k+1) 1k+1 = 1k - 1k+1 程度大 、 1k 2(n+1)(n4) 3构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.二、 例1.设不等式2x+11的解集为M. I求集合M；II若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小 解：I由2x+11解得0x1.所以M=x0x1II由I可知aMbM，故0a1,0b0故ab+1a+b 例2.已知a、b、cR+，且a+b+c=1求证：(1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c).剖析：在条件“a+b+c=1的作用下，将不等式的“真面目隐含了，给证

7、明不等式带来困难，若用“a+b+c换成“1，则还原出原不等式的“真面目，从而抓住实质，解决问题. 证 明 ： a,b,cR且a+b+c= 1+ 要证原不等式成立，即证 (a+b+c)+a(a+b+c)+b(a+b+c)+c8(a+b+c)-a(a+b+c)-b(a+b+c)-c 也就是证 (a+b)+(c+a)(a+b)+(c+b)(a+c)+(b+c)8(b+c)(c+a)(a+b)(1) (a+b)+(b+c)2(a+b)(b+c)0，(a+c)+(b+c)2(a+c)(b+c)0 (a+b)+(a+c)2(a+b)(a+c)0， 三式相乘得式成立.故原不等式得证. 例3证明不等式1+ 1

8、2+13+L+ 1n * 2n(nN) 证：对随便nN*，都有： 1k= 2k+12+k13 2k+L+ k-11n =2(k-k-1), 2)+L+2(n- n-1)=2n. 因此1+ 2n+12n-1 75L 2n+12n-1 2n+1 3 2n+1 2证明方法 一、Q1+ (1+ 13)(1+ 1 512n- 1= 2n2n-1 )= 43 65 (2n-1)(2n+1)2n-12n-1 L 2n2n-1 = 53 )L(1+ 5476 2n-176 证明方法 二、设B=则AB=又因为所以A 435465 L2n2n- 12n+1 L 2n 2n+12n ， =2n+1 32n2n-1

9、2n+12n 2n+1 4,A 2n+1 2AB= 2n+13 例5. 已知：a,b,c都是小于1的正数；求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1-a)b 14 ,(1-b)c 14 ,(1-c)a 1232, 14 ，则有 12, (1-c)a 12 a，b，c都是小于1的正数，(1-a)b从而有(1-a)b+ (1-b)c+ (1-c)a (1-b)c + 1-b+c + 1-c+a =32 但是(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a 1-a+b 故与上式冲突，假设不成立，原命题正确 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的反证法必需排列各

10、种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少、“至多、“唯一等字句的命题常用反证法 三、 1.综合法就是“由因导果，从已知不等式动身，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因，从所证不等式动身，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式. 3.探求不等式的证法一般用分析法，表达证明过程用综合法较简，在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分别的，假如运用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探究证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常运用分析综合法，实现两头往中间靠

11、以到达证题目的. 4.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法特别是三角换元、放缩法以及数学归纳法等，在放缩法中确定要留意放缩的尺度问题不能过大也不能过小. 四、 必做题： 1.不等式x+3-x-1a-3a对随便实数x恒成立，则实数a的取值范围为 A(-,-14,+)2.设an= sin1 2+sin22 B(-,-25,+)C1,2D(-,-12,+) sinn2 n +K+, 则对随便正整数m,n(mn), 都成立的是 m-n2 Aan-am mn2

12、Ban-am Can-am 12 n 3.(陕西长安二中2008届高三第一学期其次次月考)设 1ba ()()1，那么() 222 A.aaabbaB. aabaabC。abaabaD. abbaaa 4(2022,四川文)设a,b为正实数,现有以下命题: 若a2-b2=1,则; a-b1 若若 1b-1a =1,则a-b1; a-b=1,则a-b1; 若a3-b3=1,则a-b1.其中的真命题有_写出全部正确的题号 必做题答案: 1. A解析:因为x+3-x-1a-3a对随便x恒成立，又因为x+3-x-1最大值为4所以 a-3a4解得a4或a- sinn+12 n+ 12. C an-am=

13、 + sinn+22 n+2 +K+ sinm21 m sin(n+1)2 n+1 + sin(n+2)2 n+2 +K+ sinm2 m n+1 + 12 n+2 +K+ 12 m = 12 n=1 + 12 n+2 +K+ 12 m 1=2 n+1 - 12 12 m+1 = 12 n - 12 m 0，证明：当0xf( 1a -x)； III若函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0,所以f(x)在0，单调增加.ii若a0则由f(x)=0得x= 1a 且当x(0,)时，f(x)0,当x a 11a 时，f(x)0 ,1单调增加，在(,+)

14、单调削减.所以f(x)在0a a II设函数g(x)=f( a1+ax 1x 1a +x)-f( 1a -x)则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax 1a g(x)=+ a1-ax -2a= 1a 2ax 1-ax 1a ,当0x0,而g(0)=0,所以g(x)0. 故当0xf( -x) III由I可得，当a0函数y=f(x),的图像与x轴至多有一个交点， 11 ,且f0不妨设aa 1a0，从而f(x)的最大值为f A(x1,0)B(x20),0x1x2,则0x1f(x1)=0从而x2 2a -x1,于是x0= x1+x2 1a 由I知，f(x)0 五、 1.本节内容在整个中学阶段是属于比较困难的问题，本节教学案我们用了以后学生普遍感觉特殊困难，题目数量不是太多，但是用的时间很长，另外还有很多的思想方法不是很清晰. 2.再利用放缩法证明不等式的时候很多学生对于方法的利用太死板,不灵敏,对方法的驾驭还有待于进一步加强. 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第32页 共32页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页第 32 页 共 32 页