三年级上册数学试题-奥数.杂题.数表规律（A级）沪教版（2015）(含答案）.docx

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1、数表规律知识框架一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n个数称为第n项。根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。 2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要

2、仔细进行分析，才能找到规律； 3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题二、等差数列的定义 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

3、首项：一个数列的第一项，通常用表示末项：一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。项数：一个数列全部项的个数，通常用来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用来表示；和 ：一个数列的前项的和，常用来表示 三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项首项(项数)公差，递减数列：末项首项(项数)公差，回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个有用的公式：， 项数公式：项数(末项首项)公差+1 由通项公式可以得到： (若)

4、； (若)找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有项，每组3个数，所以共组，原数列有15组 当然还可以有其他的配组方法 求和公式：和=(首项末项)项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) (思路2)这道题目，还可以这样理解： 即，和(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间

5、一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数譬如： ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于； ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！例题精讲一、 简单数列规律【例 1】 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。【答案】20 ， 24【巩固】 用数字摆成下面的三

6、角形，请你仔细观察后回答下面的问题： 这个三角阵的排列有何规律？ 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。 推断第20行的各数之和是多少？【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=33。根据由得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。要求

7、第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用【答案】三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和； 第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1；219。【例 2】 将自然数中的偶数2，4，6，8，10按下表排成5列，问2000出现在哪一列？【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所

8、在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而10008125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。方法2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是16的倍数，B列中数除以16余2或者14，C列中的数除以16余4或12，D列的数除以16余6或10，E列中的数除以16余8.这就是说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以了，因为200016=125，所以 2000位于A列。学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是

9、要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么这样学习才能举一反三，不断进步。【答案】2000位于数表中的第250行的A列。【巩固】 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？ 1993呢？【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】方法1：同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数。 （1500-9）81863（19939）8248所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第249组的最后一个数，即1500位于第列，1993位于第列。方法2：考虑除以8所得的余数.

10、第列除以8余1，第列除以8余2或是8的倍数，第列除以8余3或7，第列除以8余4或6，第列除以8余5；而15008=1874，19938=2491，则1993位于第列，1500位于第列。【答案】1500位于第列，1993位于第列【例 3】 下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？【考点】等差数列的基本认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】1993 =1992 + 1，其中1992 是6的倍数，所以1993与1相同，位于B列【答案】1993位于B列。【巩固】 从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少？【考点】等差数列的基本认识 【难度】3星 【题型】计算【解析】第2

11、行的第7个数为30. 参看下表：【答案】30【例 4】 把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图则在以开头的行中，第2008个数是多少 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：2008行第一个数字为2008行最后一个数字为所以，2008行中间的数字为方法二：观察以1开头的行的数列：1，3，7，13得出规律，后一个数比前一个数多2，4，6所以，第2008个数为【答案】【巩固】 将自然数按下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几

12、？【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 将图中数字按顺时针方向转，成为下图的样子： 那么在第10行的第1个数之前共有9行数，计算出这9行共有多少数字，就可以知道第10行的第一个数是多少前9行共有数字（个），所以第10行的第1数是46【答案】【例 5】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 从两个方面考虑： 先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，这是一个公差为2的等差数列第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解而这个项数就是排列第60行第

13、5个数时所用去数的个数 从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数59行所排数的个数就是1，3，5，7，中的第59项所以，第59行所用数的个数为： (个)，从第一行排到第59行所用数的总个数为： (个)，到第60行第5数共用去数的个数为： (个)，第60行第5个数是数列1，3，5，7，中第3486项，为：【答案】【例 6】 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197排在第几行的第几个数？ 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49 【考点】

14、数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数第几行有2行数-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+（2行数-1）=1+（2行数-1）行数2=行数行数因为99991010.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数。【答案】第10行第18个数【巩固】 将自然数按下面的形式排列问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 第10行最左边的数是82，最右边的数是100，

15、第10行所有数的和【答案】【例 7】 对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换如对18和42可作这样的连续变换：18，4218,2418,612,66,6直到两数相同为止问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空【解析】 操作如下：1234，43211234，30871234，18531234，619615，619615，43，43，12，11，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数即1234与4321的最大公约数为1此法也称为辗转相减法求最大公约数【答案】1【巩固】 将两个不同的

16、自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，4218，2418，612，66，直到两数相同为止试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15这两个四位数是 与 【考点】操作找规律 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律例如：136，631，1 36，279，9 84，3612，12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020【答案】1005和1020【例 8】 如

17、下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加（比较慢，这里不写具体过程）方法二：先算出1到65的自然数和，再减去数列6，12，18，60的和：方法三：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数 第6列作为中间项，求和再乘以项数： 第3行为中间数列，求和再乘以项数：方法四：因为数表中数关于中心对称，所以，和中间数个数【答案】【巩固】 下面方阵中所有数的和是多少？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】

18、我们不难看出，每一行、每一列都是一个等差数列，通过观察，每一列的相邻两个数都相差1，由于每一行都有50个数字，所以每行的和构成公差为50的等差数列第一行的和我们可以求出，为：一共有行，每行的和构成首项为96275，公差为50，项数为49的等差数列，那么最后一行的和为：，所以，方阵中所有数的总和为【答案】【例 9】 观察下面的序号和等式，填括号 序号 等式1 3 5 7 【考点】找规律计算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯【解析】 可以这样想： 表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列) 表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了

19、其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数第一个括号：，；第二个括号：；第三个括号：根据等差数列通项公式： 或 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：或 【答案】；【例 10】 将正整数从开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中在第个拐角处，在第个拐角处，在第个拐角处，在第个拐角处，那么在第个拐角处的数是 【考点】数阵中的等差数列 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 我们可列表观察拐角处的数有什么特征第个拐角：第个拐角：第个拐角：第个拐角：第个拐角：第个拐角：第个拐角：第个拐角：第个拐角：由此可知，第个拐角处的数等于（为奇数时）（为偶数时）所以第100个拐角处的数为.【

20、答案】【巩固】 一列自然数：，第一个数是，从第二个数开始，每一个都比它前一个大，最后一个是现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则在数表中位于第_行第_列。【考点】数阵中的等差数列 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 观察可知第行的第个数是，第列的第个数是由于，所以第行的第个数是，第列的第个数是由于，所以在第行第列【答案】第行第列【例 11】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如格应填的数是，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空

21、 【解析】 第二行上除去第一列的数的和为第三行上除去第一列的数的和为，最后一行除去第一列后所有数的和为将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数的和为：【答案】【例 12】 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于1993；1143；1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由.【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】我们先来看这九个数的和有什么规律.仔细观察，容易发现：12+28220，13+27=220，14+26=220，19+21 2 20，即： 20是框中九个数的平均数.因此，框中

22、九个数的和等于20与9的乘积.事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。 因为1993不是9的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的和等于1993。11439127，1278157.这就是说，如果1143是符合条件的九个数的和，则正中间的数一定是127，而127位于数表中从右边数的第2列.但从题中的图容易看出，平行四边形正中间的数不能位于第1行，也不能位于从左数的第1列、第2列、第7列和第8列，因此，不可能构成以127为中心的平行四边形。 19899=221，2218=275，即1989

23、是9的倍数，且数221位于数表中从左起的第5列，故可以找到九个数之和为1989的平行四边形，如图：其中最大的数是229，最小的数是213.【答案】最大的数是229，最小的数是213.【巩固】 如图的数阵是由个偶数排成的，其中，这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是 ？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 由于平行四边形的形状不改变，所以它移动后框住的6个数与原来的6个数相比，每个数都增加了同样的大小由于六个数一共增加了，所以每个数增加了，

24、那么第一个数就变为。【答案】课堂检测【随练1】 观察下面已给出的数表，并按规律填空：【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】第5行的括号中填25；第6行的括号中填37。【答案】第5行的括号中填25；第6行的括号中填37【随练2】 下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算【解析】这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与第一行的数的差的2倍.即：8=2（62），102（105），4=2（97），18=2（2011）.因此，括号内填12。【答案】12.【随练3】 有一堆粗细均匀的圆木，

25、堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层问最下面一层有多少根? 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28求的是第28项我们可以用通项公式直接计算解： (根)故最下面的一层有32根【答案】【随练4】 从1999这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253，再加上244；这样一直算下去，当减去第_次时，得数恰好第一次等于0 。【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，迎春杯，中年级，初赛【解析】

26、（次）。【答案】家庭作业【作业1】 下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（1） （2） 【考点】找规律计算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】（1）除1以外的数字都是等于它左上方和右上方的两个数字之和，故上、下空缺的数分别为5和20；（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。【答案】（1）5，20 （2）20，14【作业2】 在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几？【考点】找规律计算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 提示：前 9行共有 1+2+9=45（个）数。【答案】（1）48；（2）53。15.提示：（1）除1以外的

27、数字都是等于它左上方和右上方的两个数字之和，故上、下空缺的数分别为5和20；（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。【作业3】 观察下面的序号和等式，填括号 序号 等式1 3 5 7 【考点】找规律计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 可以这样想： 表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列) 表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数第一个括号：，；第二个括号：；第三个括号：根据等差数列通项公式： 或 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：或

28、 【答案】；【作业4】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 项数=（2106-2）4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）2=1054，数列和=中间项项数=1054527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。【答案】【作业5】 下列数阵中有100个数，它们的和是多少？ 【考点】数阵中的等差数列 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加（比较慢，这里不再写具体过程）方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数先看行，因为是偶数行没有中间项，首项，末项或者这100个数之和按列算同上方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和【答案】【作业6】 有许多等式: ； ； ；那么第10个等式是_【考点】找规律计算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 前九个等式左边的数共有（个）数，那么第十个等式左边第一个数是，所以第十个等式的和是【答案】