概率论_抽样分布.pptx
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1、第二节第二节 统计量与抽样分布统计量与抽样分布一、基本概念一、基本概念二、常见分布二、常见分布三、小结三、小结总体总体选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值 (数据数据)数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论推断总体性质推断总体性质 统计统计量量统计的一般步骤统计的一般步骤 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为统不含任何未知参数的样本的函数称为统计量计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.一、一、统计量统计量1. 统计量的定义统计量的定义),(21nXXXg),(21nxxxg?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断
2、下列各式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是实例实例12. 几个常用统计量几个常用统计量.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX(2)(修正修正)样本方差样本方差 niiXXnS122)(11.11122 niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值(3)(修正修正)样本
3、标准差样本标准差 ;11122 niiXXnSS其观察值其观察值.)(1112 niixxns其观察值其观察值 niixxns122)(11.11122 niixnxn(4) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值., 2, 1,11 kxnnikik (5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik证明证明 niiniiXEnXnEXE11)(1)1()( 21211)(1)1()( nXDnXnDXDniinii ,)(,)(2nXDXE 22
4、)( SE212)(11)(niiXXnESEniiXnXnE122)()(11)()(11221XnEXEnniiniiXXnE12)()(112221)(11 )()(11nnnnXnDXDnnii., 2, 1,)( kAnXEkXkPkkk 时时则当则当存在存在记成记成阶矩阶矩的的若总体若总体证明证明, , 21同分布同分布独立且与独立且与因为因为XXXXn , , 21同分布同分布独立且与独立且与所以所以kknkkXXXX.)()()(21kknkkXEXEXE 故有故有辛钦定理辛钦定理再根据第五章再根据第五章辛钦定理辛钦定理知知定理定理6.2:由第五章关于依概率收敛的序列的性质知由
5、第五章关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g;, 2, 1,11 kXnkPniki 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据的理论根据.有关二维总体的统计量自己看。有关二维总体的统计量自己看。1.1.标准正态分布及其上侧分位数标准正态分布及其上侧分位数若若P(Xz)=,则称则称z为标准正态分布为标准正态分布的的上侧上侧分位数分位数. 1)(zz X(x)其中其中定义定义 设设XN(0,1), 对任意对任意01,二、常见抽样分布二、常见抽样分布注注: zz 1 1z z., 可通过查表完成可通过查
6、表完成的值的值求求 z05. 0z附表附表2-12-1025. 0z,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2定义定义)0()(10 xdttexxt性质性质);0()() 1(xxxx; 1) 1 ()2(; !) 1(nn);1(212102 xxdttext.2212102dtet重要积分重要积分).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称统计量则称统计量的样本的样本是来自总体是来自总体设设 .:222212变变量量的的个个数数中中右右端端包包含含独独立立指指自自由由度度nXXX 分布分布2 2. 分布的概率
7、密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其他其他yynyfynn),1, 0( NXi又因为又因为),1(22 iX由定义由定义 的密度曲线的密度曲线)(2n Xf(x)n=1n=4n=10随着随着n n的增大的增大, ,密度曲线逐渐趋于平缓密度曲线逐渐趋于平缓, ,对称对称. .例例1、设随机变量、设随机变量X1，X，X，X独立且都服独立且都服从从N(0，1/2),则则(X1+X2)2+(X3+X4)2服从服从_分分布布;若要使若要使aX12+b(X2+X3+X4)2 a=_ ,a=_ , b=_.)2(2 232 例例2 设设 是取自总体是取自总体N N(0,4)(
8、0,4)的的简单简单随机样本随机样本 当当a a= = , , b b= = 时时, , ).2(2 X243221)43()2(XXbXXaX 4321,XXXX解解由题意得由题意得 )1 ,0()43()1 ,0()2(4321NXXbNXXa 1)43(1)2(4321XXbDXXaDa =1/20b=1/100分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 ( 此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形. ).(,), 2, 1(),(21212222
9、mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1, 0( NXi因为因为, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 123 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn
10、.,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 nXf(x)(2n分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(22nnZ2( ),P Zn.,)(2可可通通过过查查表表完完成成的的值值求求n )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表附表附表3只详列到只详列到 n=45 为止为止.,535.17 ,247. 3 附表附表.382.34 附表附表例例3.)12(21)(,22分位点分位点是标准正态分布的上是标准正态分布的上其中其中充分大时充分大时当当 znznn 例如例如2205. 0)99645. 1(21)50( .221.
11、67 利用上面公式利用上面公式,而查详表可得而查详表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分分位位点点的的近近似似值值上上时时可可以以求求得得 n费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记记为为分分布布的的服服从从自自由由度度为为则则称称随随机机变变量量独独立立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t3.t t分布的密度曲线分布的密度曲线: :Xf(x) 特点特点 关于关于y轴对称轴对
12、称;随着自由度的逐随着自由度的逐渐增大渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线曲线.例例4：设设X1,X2,X3,X4是来自正态总体是来自正态总体N(0,22)的简的简单随机样本，单随机样本，则服从则服从_分布分布 ； 24232213XXXX )3( t)3()2()2()2(, )1 , 0(222423221 XXXNX )3(3/ )2()2()2(22423221tXXXX .)()(d)()(, 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttPnt .分位点的值分位点的值得上得上可以通
13、过查表求可以通过查表求 .)(,45 zntn 时时当当分布的分位点分布的分位点 t)n(tXf(x)xO)(xf)(2/nt2/)(2/1nt2/双侧双侧/2分位点分位点:)(),(2/2/1ntnt显然显然,)()(2/2/1ntnt由分布的对称性知：由分布的对称性知：分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(ntntT,d);()()( ntynytntTP .,)(可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nt )10(05. 0t附表附表3-13-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-23-2例例5).,(,),(/,),(),(2121212212
14、nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量则称则称独立独立且且设设 分分布布F4.).,(,),(/,),(),(1212122212nnFFFnnnUnVFVUnVnU记为记为布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量则称则称独立独立且且设设 同理同理),(1),(1221nnFXnnFX则则若若即：即：分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn F分布的的密度函数的示意图分布的的密度函数的示意图(n1,n2)=(10,4
15、0)(n1,n2)=(11,3)O例例6：设设X1,X2,X3,X4是来自正态总体是来自正态总体N(0,22)的简的简单随机样本，则单随机样本，则（）（）（）服从）服从 _分布。分布。)2 , 2(F)2()2()2()2()2()2(2242322221 XXXX )2 , 2(2/ )2()2(2/ )2()2(24232221FXXXX )(),1 , 0(2nZNY.nZYX )(),1 (222nZY), 1 (22nFnZYX 再由再由F-分布定义得分布定义得: 选择题选择题7)(ntX), 1 (2nFX分布的分位点分布的分位点F.),(),(d)(),(, 10,2121),(
16、2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFyynnFFPnnF Xf(x)n ,n(F21分位点满足分位点满足分布的上分布的上设设 ),(21nnF.,),(21可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nnF )8 , 7(025. 0F)14,30(05. 0F附表附表5-15-1,d)(),(),(2121 nnFyynnFFP 53. 4 .31. 2 附表附表5-25-2例例7xO)(xf),(21nnF:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F11( ,).( , )Fn mFm n),(mnFFP357.
17、080. 21)12, 9(1)9 ,12(05. 095. 0FF查查附表附表6P.301:1),(1mnFFP1),(111mnFFP1),(11mnFFP1),(11nmFFP11( , )( , )Fn mF m n5. 正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布nXXX,21);1() 1(222nSn).,(2nNX2,SX);1(/ntnSX),1(221nXXnii).(221nXnii即即2卡方分布定义卡方分布定义证明证明),1 , 0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()
18、1(/22 nSnnX ).1( nt解解 )9(4)110(22 S 222999(2.622)2.6225.8995 ,444P SPSPS查表得查表得 899. 5)9(275. 0 x则有则有 75. 0)622. 2(2 SP由于由于则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本总体总体具有相同方差的两正态具有相同方差的两正态分别是分别是与与设设,)(11,)(11,1,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnY
19、YnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理定理6.4, (2);1, 1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中 证明证明 (1) 由定理由定理6.3),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn , , 2221独立独立由假设由假设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F1), 1()1()1()1()1(21222222211211 nnFnSnnSn . )1, 1(/ 2122212221 nnFSS 即即 22
20、1221, nnNYX 因为因为212111)()( nnYXU 所以所以),1 , 0( N(2),1()1( 122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 2211)1( SnV2222)1( Sn ),2(212 nn .,分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt三、小结三、小结两个最重要的统计量两个最重要的统计量:样本均值样本均值 niiXnX11样本方差样本方差 niiXXnS122)(11三个来自正态分布
21、的抽样分布及其分位点三个来自正态分布的抽样分布及其分位点: . , , 2分布分布分布分布分布分布Ft 解解因为因为XiP(),所以所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),niiXnEXE11)(niiXEn1)(1nin112,SX).(),(),(2SEXDXEniiXnDXD11)()(112niiXDnnnni121niiXXnESE122)(11)(niiXnXEn12211ninnn122)()(11)()(1122nnnn例例3-13-1niiXXnESE122)(11)(niiXnXEn12211niiXnEXEn122)()(11niiiXEXDnXEXDn122)(
22、)()()(11解解卡方分布及其数字特征卡方分布及其数字特征 。)15(15222S) 1(2) 1(22nSnD于是于是,由卡方分布数字特征知：由卡方分布数字特征知：由定理由定理1知知: 【练习练习】 设在总体设在总体 中抽取一容量为中抽取一容量为16的的 样本，其中样本，其中 均为未知。均为未知。),(2N2,（1）求概率）求概率 ； 041. 2/22SP（2）求方差）求方差 。 )(2SD) 1(2)() 1() 1(24222nSDnSnD.12)(42nSD (2)因为因为所以所以,例例4-4-续续 (1) 041. 222SP615.301522SP99. 001. 01615.
23、30)15(12PP150 5设总体设总体XN（0，0.32）, n =10,求求 44. 11012iiXP解：解： X/0.3N（0，1），），)10()3.0(21012 iiX 44.11012iiXP 1 .016)10(3 .044.1)3 .0(222101 PXPii（1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；的概率；（2）;15)(max51iiXP （3）.10)(min51iiXP 解解正态总体样本均值的分布正态总体样本均值的分布 (1) 因为因为 所以所以 ),5 , 4 , 3 , 2 , 1)(4 ,12(kNXk) 8 .
24、 0 ,12( NX112XP 于是于是, 1121XP13111XP8 . 012118 . 0121318686. 01 2 .2628. 0 (2). 15)(max51kkXP51212151k (3). 10)(min51kkXP51151kkXP15)(max151kkXP55 . 1159332. 01.292260149. 010)(min151kkXP51101kkXP51101 1kkXP5212101 1511 1 51158413. 01.578542862. 0辛钦定理辛钦定理), 2 , 1()(,21 kXEXXXkn 望望一一分分布布，且且具具有有数数学学期期相
25、相互互独独立立，服服从从同同设设随随机机变变量量. 11lim,1 nkknXnP有有则对于任意正数则对于任意正数附表2-1标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.8186
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