极限证明(精选多篇).doc

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1、极限证明(精选多篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(?,?)上无穷次可微，且f(x)?(xn)(n?)，求证当k?n?1时，?x， limf(k)(x)?0 x?2.设f(x)?0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和 xf(n)(x)?0?xn?3.设f(x)在(?,?)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0sin(f(x)?1求证limf(x)存在 4.设f(x)在(a,?)上连续，且xlim?x?5.设a?0,x1?2

2、?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn?xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n?xn?n7.用肯定语气叙述：limx?f?x?.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x?a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn?an?a,证明：lima1?2a2?nana?. n?2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若?af?x?dx收敛且

3、limx?f?x?，则?0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c?n，其中c是与n无关的常数，limn?n?0.15.设f?x?在a,?)上可微且有界。证明存在一个数列?xn?a,?),使得limn?xn?且limn?f?xn?0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu?f?u?a?0,d?x,y?|x2?y2?r2,x,y?0?r?0?.i?1?证明：limu?f?u?;?2?求ir?f?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r?dr17.设f?x?于a,?)可导，且

4、f?x?c?0?c为常数?,证明：?1?limx?f?x?;?2?f?x?于a,?)必有最小值。18.设limn?an?a,limn?bn?b,其中b?0,用?n语言证明limana?.n?bbn?sn?x?19.设函数列?sn?x?的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，在u?x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn?sn?x0?,证明：lims?x?.x?x020.叙述并证明limx?f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理?a23.设?f(x)= 0. 证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,?上一致连续，?24.设a1 0，an?1an，证明1 na

5、n25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：1）limn?m?hn?与limn?m?hn?都存在；2)limn?0m?h?limn?m?hn?,limn?0m?h?limn?m?hn?;3)f?x?在x?(本文来源公文素材库)a处连续的充要条件是llimn?m?hn?imn?m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn|xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。27.设an?a,用定义证明:limn?an?a28.设x1?0，xn?1?31?

6、xn,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。n?3?xn?29.用“?语言”证明lim30.设f(x)?(x?2)(x?1)?0x?1x?3x?2，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1n?1，2，?)，求证：limxn?2。31.设fn(x)?cosx?cos2x?cosnx，求证：（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在0,?/3)内有且仅有一个正根；（b）设xn?0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn?/3。n?32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b)使limf(xn)?a(n?

7、)及limf(yn)?b(n?)，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limf(zn)?33.设函数f在a,b上连续，且f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?expb?a，试证明：n1blnf(x)dx(n?)并利用上述等式证明下?ab?a式2?2?ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)f(b)?f(a)?kb?a34.设f(0)?k,试证明lima?0?b?0?35.设f(x)连续，?(x)?0f(xt)dt，且limx?0论?(x)在x?0处的连续性。f(x)，求?(x)，并讨?a（常数）x36 给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的

8、范围使下列极限收敛i1lim?()s。 n?ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x?x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,?上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rn?f?xn?0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f?2x?f?x?a,求证：f?0?存在且等于a.x1n40.无穷数列?an?,bn?满足limn?an?a,limn?bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n?ni?141.设f是?0,?上具有二阶

9、连续导数的正函数，且f?x?0,f有界，则limt?f?t?042.用?分析定义证明limt?1x?31? x2?9243.证明下列各题?1?设an?0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；n?1?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n202*an收敛，试证明limn202*an?0;n?n?1?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn?,yn?都有limn?f?xn?f?yn?0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛，试证明limn?n?n?1?a

10、?1。 45.设an?0，n=1,2， an?a?0,(n?),证 limnn?46.设f为上实值函数，且f（1）1，f?（x）1，?limf（x）存在且小于1。x?4，证明x?1）2x2f（x）?47.已知数列an收敛于a，且a?a?asn?，用定义证明sn也收敛于an48.若f?x?在?0,?上可微，limn?f(x)?0，求证?0,?内存在一个单x?x调数列?n，使得lim?n?且limf?(?n)?0n?x?e?sinx?cosx?,x?049.设f?x?2,确定常数a,b,c,使得f?x?在?,?处处存在。?ax?bx?c,x?0第二篇：极限的证明极限的证明利用极限存在准则证明：(1

11、)当x趋近于正无穷时，(inx/x2)的极限为0;(2)证明数列xn，其中a 0，xo 0,xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx 0,x2 0,故lnx/x2 0且lnx1),lnx/x2 (x-1)/x2.而(x-1)/x2极限为0故(inx/x2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=a时,显然极限为ax0 a时,xn-x(n-1)=/2 0,单调递减且xn=/2 a,a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=a同理可求x0 a时,极限亦为a综上,数列极限存在,且为(一)

12、时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=2函数极限的性质(3学

13、时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

14、(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第三篇：数列极限的证明数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会|xn+1-a| |xn-a|/a以此类推，改变数列下标可得|xn-a| |xn-1-a|/a;|xn-1-a| |xn-2

15、-a|/a;|x2-a| |x1-a|/a;向上迭代，可以得到|xn+1-a| |xn-a|/(an)2只要证明x(n)单调增加有上界就可以了。用数学归纳法：证明x(n)单调增加。x(2)=5 x(1);设x(k+1) x(k)，则x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化)=/【+】 0。证明x(n)有上界。x(1)=1 4，设x(k) 4，则x(k+1)= (2+3*4) 4。3当0当0构造函数f(x)=x*ax(0令t=1/a，则：t 1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t 1)则：lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx=lim(x+)(分子分母分别求导)=l

16、im(x+)1/(tx*lnt)=1/(+)=0所以，对于数列n*an，其极限为04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：(1)lim=0n(2)lim=3/2n(3)lim=0n(4)lim0.9999=1nn个95几道数列极限的证明题，帮个忙。lim就省略不打了。n/(n2+1)=0(n2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(

17、1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0lim(n2+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=1limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0第四篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”

18、定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织

19、教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过

20、有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第五篇：函数极限证明函数极限证明记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。不妨设f1(x)趋于a;作b a =0,m 那么存在n1,当x n1,有a/m =f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x n2时，0 =f2(x)同理，存在ni，当x ni时，0 =fi(x)取n=maxn1,n2.nm;那么当x n,有(a/m)n =f1(x)n =f1(x)n+.fm(x)n所以a/m =(1/n) 第 10 页 共 10 页