初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现.doc

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1、初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训第十八讲归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法下面举几个例题，以见一般例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第

2、一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解(1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表181(2)这n个圆共有多少个交点？(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数S2-S1=2，第一层有点数：1；S3-S23，第二层有点数：16；S4-S34，第三层有点数：26；S5-S45，第四层有点数：36；由此，不难推测第n层有点数：(n

3、-1)6.Sn-Sn-1n因此，这个点阵的第n层有点(n-1)6个n层共有点数为由表181易知把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到Sn-S1234n，因为S1=2，所以例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第1页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承：以人为本，质量第一，突出特色，服务家长下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1n的正确性略作说明分析与解我们先来研究一些

4、特殊情况：因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1n(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决为此，可列出表182(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表183(1)设b=n=1，这时b=1，因为abc，所以a=1，c可取1，2，3，若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c2，由于ab=2，那么ab不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个例3设a，b，c表示三角形

5、三边的长，它们都是自然数，其中abc，如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？由表182容易发现这时满足条件的三角形总数为：1+2=3a11，(3)设b=n=3，类似地可得表184a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，这时满足条件的三角形总数为：123=6通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n个式子相加这个猜想是正确的因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k个(n，n1，n2，nk-1)所以，当b=n时，

6、满足条件的三角形总数为：总数为：例4设123n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：注意请读者说明an=an-1(n-1)的正确性1！12！23！3n！n.分析与解先观察特殊情况：以鲜明的教育理念启发人以浓厚的学习氛围影响人第2页以不倦的育人精神感染人以优良的学风学纪严律人鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练(1)当n=1时，原式=1=(11)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(21)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(31)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(41)！-1由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证

7、明这个猜想的正确性1+原式=1+(1！12！23！3+n！n)=1！22！23！3+n！n=2！+2！23！3+n！n=2！3+3！3+n！n=3！+3！3+n！n=n！+n！n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5设x0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路为此，设x=0，显然有x3x2+x+2设x=10，则有x3=1000，x2+x2=112，所以xx+x+2设x=100，则有xx+x+2观察、比较，两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3x2+x+2；当x值

8、较大时，x3x2+x+2那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”为此，设x3=x2x2，则x-x-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2D第3页咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师）323232(x-2)(x2+x+1)=0因为x0，所以x+x+10，所以x-2=0，所以x=2这样(1)当x=2时，x=x+x+2；(2)当0x2时，因为x-20，x2+x+20，所以(x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以x3x2x2.(3)当x2

9、时，因为x-20，x2+x+20，所以(x-2)(x2+x+2)0，即x3-(x2x2)0，所以x3x2x2综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答322分析先由特例入手，注意到例7已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA边上(如图2101)鼎吉教育遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承：以人为本，质量第一，突出特色，服务家长练习十八1试证明例7中：2平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点试求：(1)这n条直线共有多少个交点？(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？(2)当上述条件中比值为

10、3，4，n时(n为自然数)，那S么S四边形EFGH与S四边形ABCD之比是多少？引GMAC交DA于M点由平行截割定理易知G(2)设然后做出证明.)当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表185.4求适合x5=656356768的整数x(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505656356768605，所以502x602观察表185中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有以上推测是完全正确的，证明留给读者以鲜明的教育理念启发人以浓厚的学习氛围影响人第4页以不倦的育人精神感染人以优良的学风学纪严律人扩展阅读：初中数学竞赛专题培训数

11、学思维的教育第一讲：因式分解(一).1第二讲：因式分解(二).4第三讲实数的若干性质和应用.7第四讲分式的化简与求值.10第五讲恒等式的证明.13第六讲代数式的求值.16第七讲根式及其运算.18第八讲非负数.22第九讲一元二次方程.26第十讲三角形的全等及其应用.29第十一讲勾股定理与应用.33第十二讲平行四边形.36第十三讲梯形.39第十四讲中位线及其应用.42第十五讲相似三角形(一).45第十六讲相似三角形(二).48多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分

12、解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

13、(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；第十七讲*集合与简易逻辑.51第十八讲归纳与发现.56第十九讲特殊化与一般化.59第二十讲类比与联想.63第二十一讲分类与讨论.67第二十二讲面积问题与面积方法.70第二十三讲几何不等式.73第二十四讲*整数的整除性.77第二十五讲*同余式.80第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题.83第二十七

14、讲列方程解应用问题中的量.86第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题.90第二十九讲生活中的数学(三)镜子中的世界.94第三十讲生活中的数学(四)买鱼的学问.99第一讲：因式分解(一)(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解(1)原式=-2xn-1

15、yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a

16、5(a2-b2)+b5(a2-b2)数学思维的教育=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)

17、(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论例3分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x

18、的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4分解因式：x3-9x+8分

19、析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4添加两项-x2+x2

20、原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)2数学思维的教育说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解(1)将-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6

21、+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)2

22、2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强

23、技巧所在，同学们需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得

24、到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2

25、解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)3数学思维的教育=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)

26、-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体解法21双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y

27、的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式解原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy

28、令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2第二讲：因式分解(二)再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；4数学思维的教育(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3

29、这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字22222原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解(1)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)

30、说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似2求根法我们把形如ann-1nx+an-1x+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根

31、对于任意多项式f(x)，原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解例2分解因式：x3-4x2+6x-4分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有f(2)

32、=23-422+62-4=0，5数学思维的教育即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，223222可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了3待定系数法所以原式=(x-2)(x2-2

33、x+2)说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析因为9的约数有1，3，9；-2的约数有1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式待定系数法是数学中的一种重要的解题方法

34、，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和xyn的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解

35、决解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7数学思维的教育分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是1，7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解设原式=(x2+ax+b)(x2+c

36、x+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有实数是高等数学特别是微积分的重要基础在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念这一概念对中学生而言，有一定难度但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用用于解决许多问题，例如，不难证明：

37、任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的性质1任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然例1所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地第三讲实数的若干性质和应用分析要说明一个数是有理数，

38、其关键要看它能否写成两个整数比的形式证设两边同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质性质2设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；数学思维的教育有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数任意两个实数，可以比较大小全体实数和数轴上的所有点是一一对应的在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果

39、仍是实数例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法证用反证法所以p一定是偶数设p=2m(m是自然数)，代入得4m22q2，q22m2，例4若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1若b1b2，则反之，显然成立说明本例的结论是一个常用的重要运算性质是无理数，并说明理由整理得：由例4知aAb，1=A，8数

40、学思维的教育说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础例6已知a，b是两个任意有理数，且ab，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明证因为ab，所以2aa+b2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法例7已知a，b是两个任意有理数，且ab，问是否存在无理数，使得ab成立？即由，有存在无理数，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确

41、定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9求满足条件的自然数a，x，y解将原式两边平方得由式变形为两边平方得数学思维的教育例10设a2222n是1+2+3+n的个位数字，n=1，2，3，求证：0.a1a2a3an是有理数分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数所以，要证0.a1a2a3an是有

42、理数，只要证它为循环小数因此本题我们从寻找它的循环节入手证计算an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值除此之外

43、，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答本讲主要介绍分式的化简与求值例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)0.a1a2an是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n2+42n)+(12+22+202)由前面计算的若干值可知：12+22+202是10的倍数

44、，故a12k+20=ak成立，所以0.aaan是一个有理数第四讲分式的化简与求值说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式例2求分式当a=2时的值分析与解先化简再求值直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项10数学思维的教育例3若abc=1，求互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂下面介绍几种简单的解法解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：解法2因为abc=1，所以a0，b0，c0例4化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简