高中数学必修五知识点归纳.doc

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1、高中数学必修五知识点归纳高中数学必修五知识点归纳第十九周集体备课年级备课组长参加人员缺席人员主讲人高二学科数学时间12月30日地点高二数学组张福成、庄欠龙明宪政、王言成、张守娟、尤长恒、陈祥武、陈玲、臧宝平，王效飞、卞京宝无韩广坤、吴航高中数学必修5知识点1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外abc2RsinsinsinC2、正弦定理的变形公式：a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；abcsin，sin，sinC；2R2R2Ra:b:csin:sin:sinC；abcabcsinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面积公式：SCbcsinabsinC

2、acsin222接圆的半径，则有4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，222222c2a2b22abcosCb2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC2bc2ab2ac6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若abc，则C90；若abc，则C90；若abc，则C907、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列an1an022222222212、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列

3、an1an013、常数列：各项相等的数列14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列15、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差18、由三个数a，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项若bac，则称b为a与c的等差中项219、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d20、通项公式的变形：anamnmd；a1

4、ann1d；dnana1；n1ana1aam1；dndnm21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaqna1annn1d22、等差数列的前n项和的公式：Sn；Snna122*23、等差数列的前n项和的性质：若项数为2nn，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇anS偶an1S奇nS偶n1*若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，（其中S奇nan，S偶n1an）24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比25、

5、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若Gab，则称G为a与b的等比中项注意：a与b的等比中项可能是G26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn127、通项公式的变形：anamqnm；a1anqn12；qn1ananm；qna1am28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；2若an是等比数列，且2npq（n、p、q*），则anapaqna1q129、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq1nq11q1q*30、等比数列的前n项和的性质：若项数为2nn，则S偶S奇qSnmSnqnSmSn，S2nSn

6、，S3nS2n成等比数列31、ab0ab；ab0ab；ab0ab32、不等式的性质：abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；nnab0,cd0acbd；ab0abn,n1；ab0nanbn,n133、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式b4ac202*二次函数yax2bxca0的图象一元二次方程axbx2有两个相异实数根有两个相等实数根c0a0的根bx1,2x1x22ax1x2b2a没有实数根ax2bxc0一元二次不等式的解集a0

7、ax2bxc0xxx1或xx2xxxx2bxx2aRa0135、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0C若0，则xy0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下方的区域

8、C若0，则xy0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解x,y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设a、b是两个正数，则几何平均数42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即22ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的2abab2a2b243

9、、常用的基本不等式：ab2aba,bR；aba,bR；2a2b2abababa0,b0；a,bR22244、极值定理：设x、y都为正数，则有22s2若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值4若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)必修5知识点总结1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2RsinsinsinC2、正弦定理的变形公式：a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；abc，sin，sinC；a:b:csin:sin:sinC；2R2R2RabcabcsinsinsinCsin

10、sinsinCsin（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，

11、求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1anamana11；dnnmd21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则aman差数列，且2npq（n、p、q

12、*），则2anapaq；若an是等apaqna1anSn2；22、等差数列的前n项和的公式：Snna1nn1d2sna1a2an*23、等差数列的前n项和的性质：若项数为2nn，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇anS偶an1*若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇n（其中S奇nan，S偶n1S偶n1an）24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示：an1q（注：等比数列中不会出现值为0的项；同号位上an的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：2anan1q(n2,q为常

13、数,且0)anan1an1(n2，anan1an10)ancqn(c,q为非零常数).正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x1）成等比数列.25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项若Gab，则称G为a与b的等比中项（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1n1nmaaqaaq27、通项公式的变形：n；1；qn1mn222annmanq；ama1*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数列，且2npq（n、p、q*），则a

14、n2apaqna1q129、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaqsn1nq11q1qs1a1(n1)30、对任意的数列an的前n项和Sn与通项an的关系：anss(n2)n1na1a2an注：ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为0，则是等差数列充分条件）.等差an前n项和SnAn2Bnn2a1d2ddn可以为零也可不为零为等差的充要条件若22d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：等差数列的前

15、n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列等比数列我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为d2dn(a1)n利用二次函数的性质求n的值.22通项公式对应函数（时为一次函数）（指数型函数）前n项和公式对应函数（时为二次函数）（指数型函数）中，则.是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(

16、m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列中，前n项和为，若，n为何值时最大？分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，则因为欲求最大。最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，例题：3递增数列，对任意正整数n，递增得到：恒成立，设恒成立，求恒成立，即，则只需求出。，因为是递的最大值即分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然有最大值对一切对于一切，所以看成函数的取值范围是：构造二次函数，它的定义域是

17、增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧在也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，得如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前111n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,.(2n1)n,.242两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证anan1

18、(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。3.在等差数列an中,有关Sn的最值问题：(1)当a10,dsn=121222323n2n把式两边同乘2后得2sn=122223324n2n1用-，即：sn=121222323n2n2sn=122223324n2n1得sn1222232nn2n12(12n)n2n1122n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n124.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论n(n1)121）:1+2+3+.+n=2）1+3+5+.+(2n-1)=n3）1323n3n

19、(n1)224）123n222221111n(n1)(2n1)5）6n(n1)nn11111()n(n2)2nn26）31、ab0ab；ab0ab；ab0ab32、不等式的性质：abba；ab,bcac；abacbc；ab,c0acbc，ab,c0acbc；ab,cdacbd；nnab0,cd0acbd；ab0abn,n1；1111()(pq)pqqppqab0nanbn,n133、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0

20、(0)(a00)解法：将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“由图可看出不等式x3x6x80的解集为：22x|2x1,或x4例题：求解不等式解：略一元二次不等式的求解：特例一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax+bx+c0(a0)解的讨论.二次函数0002(x1)(x2)(x5)0的解集。(x6)(x4)yax2bxc（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根Raxbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)x1x2b2abxxx1或xx2xx2axx1xx

21、2对于a0(或（2）转化为整式不等式（组）f(x)f(x)f(x)g(x)00f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)例题：求解不等式：解：略例题：求不等式11xx1的解集。x13.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a(a0)的不等式的解集为：x|axa型如：|x|a(a0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：x2x292x92(x2)(x3)10x2由得原不等式的解集为：x|函数图像法：令f(x)|x2|x3|119x（注：是把的解集并在一起）22yf(x)=1052x1(x3)则

22、有：f(x)5(3x2)2x1(x2)在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图1132o292x由图像可知原不等式的解集为：x|2119x224.一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax+bx+c,那么：220若两根都大于0，即0,0，则有00o对称轴x=xb2a0b若两根都小于0，即0,0，则有02af(0)011y对称轴x=b2aox若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0若两根在两实数m,n之间，即mn，yoxy0bnm则有2af(m)0omf(n)0若两个根在三个实数之间，即mtn

23、，yX=nb2axf(m)0则有f(t)0f(n)0常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数例如：若方程x22(m1)xm22m30有两个正实数根，求m的取值范围。omX=tnxb2a4(m1)24(m22m3)00m1解：由型得02(m1)0m1m30m1,或m3m22m30所以方程有两个正实数根时，m3。又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。225522(1)4(m1)00m解：因为有两个不同的根，所以由2221m12f(1)011m101m135、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的

24、不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0（一）由B确定：0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线若0，则xyCxyC0下方的区域0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线若0，则xyCxyC0上方的区域（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“”号，则xy

25、C0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解x,y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数2abab42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即241、设a、b是两个正数，则43、常用的基本不等式：ab2aba,bR22a2b2；aba,bR；2ababa0,b0；2a2b2aba,bR2244、极值定理：设x、y都为正数，则有：22s2若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值若xyp（积为定值），则当xy4时，和xy取得最小值2p例题：已知x解：x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x55，4x504由原式可以化为：f(x)4x552当54x1111(54x)3(54x)3(54x)31324x554x54x54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）时取到“=”号54x2也就是说当x1时有f(x)max2第 12 页 共 12 页