九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料).doc

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1、九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a0），则称y为x的二次函数。二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0），对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：x1x22

2、bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质1抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。当x=-时，y最值=，当a02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a5常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点（0，c）。6抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交点个数与方程ax2+bx

3、+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）六、常用的计算方法：1、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c（a0），分别将三点

4、坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式；若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k（a0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式；若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标；3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式；4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直

5、接套用最值的公式（同顶点坐标）。5、当需要判定函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的0。对的判定方法仍然是用配方的方法。一元二次方程1.一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2.一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法利用提取公因式和十字相乘法把方程化为几个乘积的形式去解。(3)公式法bb24acbb24ac方程的根x1，x2。2a2a3韦达定理x1x2bc,x1x2aa24.一元一次方程根的情况（其中=b4ac）I当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II

6、当=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当x210若x3x10，则4的值为。2xx111211解方程：3(x2)5(x)40xx12求关于x的方程(k1)x2k1x10的解的个数。1213m为何值时，关于x的方程x(2k)xk0的两根是一个直角三角形的两个锐角的余弦值。214关于x的方程x2(k2)x5k0的两个根都大于2，则k的取值范围为。215关于x的方程x2(k5)x1k0的一根小于0，另一根大于3，则k的取值范围为。16关于x的方程(k2)x22(k1)xk10且k3，求证：方程总有实数根。17关于x的方程2x2x3m10有两个实数根x1、x2且满足围。18已知(x2y2)22

7、(x2y2)15，则x2y2=。19直角三角形斜边长为正整数，两直角边长是方程9x2（3k1)xk0的两个根，则k的值为。20已知m、n为有理数，并且方程xmx+n0有一根是52，那么m+n的值为。21如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为。22若方程xpx有两个不相等的根，则实数p的取值范围为。22x1x21，求m的取值范x1x242x2a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围为。23关于x的方程x124已知x1、x2为方程x23x10的两实根，则x128x220_25若n（n0）是关于x的方程xmx2n0的根，则m+n的值为_26设x1、x2是一

8、元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1(x22+5x23)+a=2，则a=27若关于x的一元二次方程x22(2k)xk2120有实数根、(1)求实数k的取值范围；(2)设t2k，求t的最小值2228实数a、b满足条件a7a20，b7b20，则2ab的值为_。ba29若一个三角形的三边都是方程x12x320的解，则此三角形的面积为_。30方程x(x1)(x2)x的解为_。31若x2x2(x4x3)，则x_。2232已知m,n是方程x2x10的两根，且(7m14ma)(3n6n7)8，则a的值等于_。2220扩展阅读：九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)二次函数知识点总结一、定义

9、与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a0），则称y为x的二次函数。二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0），对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像从图像可以看出，二

10、次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质1抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。当x=-时，y最值=，当a02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a6抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时，

11、抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）六、常用的计算方法：1、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c（a0），分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式；若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k（a0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式；若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)（a0），再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标；3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式；4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同顶点坐标）。5、当需要判定函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的0。对的判定方法仍然是用配方的方法。第 7 页 共 7 页