2022年抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题 .pdf

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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一. 概念 : 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满足的条件的函数, 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值, 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点, 也是大学高等数学函数部分的一个衔接点 , 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体, 因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于( )f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()( )f xTf x恒成立，则称函数( )fx具有周期性，T叫做( )f

2、x的一个周期， 则kT（,0kZ k） 也是( )f x的周期，所有周期中的最小正数叫( )f x的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0 ,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kT x)(ba, x)()(kTxfxfxf2、奇偶函数：设baabxbaxxfy,),(或若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点对称

3、；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。)(2,)(2(),(),(2222/BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关 于 直线成轴对称；0CByAx函数)(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

4、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 0CByAx成轴对称。0)(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()f xaf xb，则( )f x具有周期性； 若()()f axf bx，则( )f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论 1：)(

5、)(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论 1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二） 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy与)( xfy图象关于Y轴对称2、奇函数)(xfy

6、与)( xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与( )yf x图象关于 X轴对称4、互为反函数)(xfy与函数1( )yfx图象关于直线yx对称5. 函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论 1: 函数)(xafy与)(xafy图象关于直线x= a对称推论 2: 函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 推论 3: 函数)( xfy与)2(xafy图象关于直线ax对

7、称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x) 关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x) f(a x) （2）f(2a x) f(x) （3）f(2a x) f( x) 性质 2 若函数 yf(x) 关于点（ a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x) f(a x) （2）f(2a x) f(x) （3）f(2a x) f( x) 易知， yf(x) 为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量x，均有 fg( x) fg(x)，则复数函数 y

8、fg(x)为偶函数。定义 2、 若对于定义域内的任一变量x，均有 fg( x) fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg( x) fg(x)而不是 f g(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg( x) fg(x)而不是 f g(x) fg(x)。（2）两个特例： yf(x a) 为偶函数，则 f(x a) f( xa) ；yf(x a) 为奇函数，则 f( xa)f(a x) （3）yf(x a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(x) 关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质

9、3 复合函数 yf(a x) 与 yf(b x) 关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(a x) 与 yf(b x) 关于点（ ba）/2 ，0）中心对称推论 1、 复合函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于原点中心对称4、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数yf(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数yf(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。f(x a)f(x a) f(x a) f(x) f(x a)1/f(x) f(x a) 1/f(x) 5、函数的

10、对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T2|a b| 性质 6、若函数 yf(x) 同时关于点（ a，0）与点（ b，0）中心对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T2|a b| 性质 7、若函数 yf(x) 既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且T4|a b| 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 6

11、、函数对称性的应用（1）若kyyhxxkhxfy2,2),)(/对称，则关于点（, 即kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121（2）例题 1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（; 2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（ 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。 3、 若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的 图 像 关 于 直 线ax对称。设个不同的

12、实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121. ),212(111axxaxkn时，必有当（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、()( )f xTf x( 0T) )(xfy的周期为T，kT(kZ) 也是函数的周期2、()()f xaf xb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - -

13、- - - - - - 5、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT28、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、若.2, )2()(, 0pTppxfpxfp则11、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212 、)(xfy有 两 个 对 称 中 心)0 ,(a和)0 ,(b()ba)(xfy周 期)(2abT推论：

14、奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413 、)(xfy有 一 条 对 称 轴ax和 一 个 对 称 中 心)0,(b()ba( )f x的)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数 奇偶性、 周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值例 1. （1996 年高考题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10 x时，xxf)(，则)5.7(f等于（ -0.5 ）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例 2 （ 1

15、989 年北京市中学生数学竞赛题）已知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32)1 (f求)1989(f的值 .23)1989(f。2、比较函数值大小例3. 若)(Rxxf是以2 为周期的偶函数，当1 ,0 x时，,)(19981xxf试比较精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - )1998(f、)17101(f、)15104(f的大小 . 解：)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，又19981)(xxf

16、在1 , 0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例 4. （1989 年高考题）设)(xf是定义在区间),(上且以2 为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12, 12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式 . 解：设1211212),12, 12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以 2 为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf. 例 5设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函

17、数，且)(xf是偶函数，在区间3 ,2上，.4)3(2)(2xxf求2, 1x时，)(xf的解析式 . 解：当2,3x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf又)(xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2 ,1x，即243x时，).21( 4) 1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21 (4)1(2)(2xxxf4、判断函数奇偶性例 6. 已知)(xf的周期为 4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性 . 解：由)(xf的周期为 4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)

18、(xf为偶函数 . 5、确定函数图象与x轴交点的个数例 7. 设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零

19、且xffffff故)(xf图象与x轴至少有 2 个交点 . 而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有13 个交点. 6、在数列中的应用例8. 在数列na中，)2(11,3111naaaannn，求数列的通项公式，并计算.1997951aaaa分析：此题的思路与例2 思路类似 . 解：令,1tga则)4(1111112tgtgtgaaa4) 1(11,4)1()42()4(1)4(111111223ntgaaantgatgtgtgaaannnn于是不难用归纳法证明数列的通项为：)44(ntgan，且以 4 为周期 . 于是有 1，5，9 1997 是以 4

20、为公差的等差数列，1997951aaaa，由4)1(11997n得总项数为500 项，.350050011997951aaaaa7、在二项式中的应用例 9. 今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解：191919191)191(9291922909291192920929292CCCC1)137()137()137()137() 1137(9291922909291192920929292CCCC因为展开式中前92 项中均有 7 这个因子，最后一项为1，即为余数，故9292天为星期四 . 精品资料 - - - 欢

21、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题） 设)(2321是虚数单位iiz，则满足等式,zzn且大于 1 的正整数n中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C ）6 ；（D ） 7. 分析：运用iz2321方幂的周期性求值即可. 解：10)1(,11nnnzzzzz，)(.4)(,1).(13),(31,31, 1min3BnnkNkknNkknnz故选择最小时即的倍数必须是9、解“立几”题例 11.ABCD

22、 1111DCBA是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111DAAA黑蚁爬行的路线是.1BBAB它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线 （其中)Ni. 设黑白二蚁走完第1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2； （C）3；（ D）0. 解：依条件列出白蚁的路线CBCCCDDAAA111111,1AABA立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点 . 可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期. 1990=64331，因此原问题就转化为考虑黑

23、白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D点，白蚁在C点，故所求距离是.2例题与应用例 1：f(x) 是 R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0 ，2 时 f(x)=x，求 f(2007) 的值例 2： 已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2 ，求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2 例 3：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当0 ,2x时， f(x)= 2x+1，则当6,4x时求 f(x)的解析式例 4：已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足

24、f(x+999)=)(1xf，f(999+x)=f(999精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - x) ， 试判断函数f(x)的奇偶性 . 例 5：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当0,2x时， f(x)是减函数，求证当6,4x时 f(x)为增函数例 6：f(x) 满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5 ，9 且 f(x)在5 ，9 上单调

25、. 求 a 的值 . 例 7：已知 f(x)是定义在 R上的函数， f(x)= f(4x) ，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间 1000，1000 上 f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x) 关于 x=2，x=7 对称，类比命题2（2）可知 f(x)的一个周期是10 故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 即在区间 (0 ，10 上，方程 f(x)=0至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0在区间 1000，1000 上至少有1+1020002=401 个根 . 例 1、函数

26、 yf(x) 是定义在实数集 R上的函数，那么yf(x 4) 与 yf(6 x) 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5，0）对称 D关于点（ 1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数yf(x 4)与 yf(6 x) 之间关于点（ 64）/2 ，0）即（ 1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为 C）例 2、 设 f(x) 是定义在 R上的偶函数，其图象关于x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（ 2001 年理工类第 22 题）例 3、 设 f(x) 是（，）上的奇函数， f(x 2)f(x) ，当 0 x1时 f(x) x，则 f(7.5)等于（ -

27、0.5 ）（1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 f(x) 是定义在 R上的函数，且满足f(10 x) f(10 x) ，f(20 x) f(20 x) ，则 f(x) 是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数 yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么y f(x 4) 与 yf(6 x) 的图象（）。A关于直线x5 对称B关于直线x1 对称C关于点（ 5，0）对称D关于点（ 1，0）对称2、设 f(x) 是（，）上的奇函数，f(x 2) f(x) ，当 0 x1 时，f(x) x，则 f(7.5)=（

28、）。A0.5 B0.5 C1.5 D 1.5 3、设 f(x) 是定义在（，）上的函数，且满足f(10 x) f(10 x) ，f(20 x) f(20 x) ，则 f(x) 是（）。A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在 R上的偶函数，图象关于x1 对称，证明f(x)是周期函数。参考答案： D，B，C，T2。5、在数列12211(*)nnnnxxxxxxnN中，已知，求100 x=-1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

29、第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 一、选择题（每题5 分，共 40 分）1定义在 R上的函数( )fx 既是奇函数又是周期函数，若( )f x 的最小正周期是，且当02x，时，( )cosf xx ，则5()3f的值为A.32 B.32 C.12 D.122偶函数 yf(x) 满足条件f(x 1) f(x 1) ，且当 x 1,0 时， f(x)3x49，则 f(13log 5) 的值等于 ( )A 1 B. 2950 C. 10145 D13函数2ln1fxx的图像大致是（）4 设xf是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 且 当0 x时 ，2xxf. 若 对

30、 任 意 的2,aax,不等式xfaxf2恒成立 , 则实数a的取值范围是 ( )A0a B2a C2a D0a5函数 f（x）=)1(11xx的最大值是（）A.54B.45C. 34D. 436 已知( )fx是定义在R上且以 3 为周期的奇函数，当3(0,)2x时，2( )ln(1)f xxx，则函数( )f x在区间0,6上的零点个数是（）A3 B5 C7 D9( )f xx( )21f xxx5()2f121414128. 若函数xxaxxf|)1lg()(2是偶函数，则常数a的取值范围是 ( ) A.11aa或B.1aC.11aD.10a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

31、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 9已知a为参数，函数2283( )()3()3xaxaf xxaxa是偶函数，则a可取值的集合是（）A0,5 B-2,5 C-5,2 D1,200910已知( )yf x是偶函数，而(1)yf x是奇函数，且对任意01x，都有( )0f x，则51(2010),(),()42afbfcf的大小关系是( )AbcaBcbaCacbDabc二、填空题（每题6 分，共 36 分）11已知( )312f xaxa在 1，1 上存在00(1)xx，使

32、得0()f x=0，则a的取值范围是 _；12设( )f x是定义在 R上的奇函数，当x0 时，( )f x=22xx，则(1)f . 13函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，( 1)0f，且对任意实数x都有(1)(1)( )xfxx f x，则12011(0)( )(1)()22ffffL的值是14若axfx131)(是奇函数，则实数a15若函数2( )f xxxa为偶函数，则实数a16若)(12lg()(Raaxxxf是奇函数，则a= 17对于偶函数2,22)1()(2xxmmxxf，其值域为；三、解答题（ 15-18 题每题 11 分；19、20 各 15 分；共 74

33、 分）18已知1( )lg1xfxx（1）求函数( )f x的定义域；（2）判断并证明函数( )f x的奇偶性；（3）若1122a，试比较( )()f afa与(2 )( 2 )fafa的大小19 （本小题满分14 分）已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数求函数( )f x的解析式；判断并证明函数( )f x的单调性；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 若对于任意的tR，不等式22(2 )(1)0f mttft恒

34、成立，求m的取值范围 . 20 （本小题12 分）已知函数( )11xbfxa(0,1,)aabR是奇函数，且5(2)3f（1）求a，b的值；（2）用定义证明( )fx在区间(0,)上是减函数 . 21 已 知 : fx是 定 义 在 区 间1,1上 的 奇 函 数 , 且11f. 若 对 于 任 意 的,1,1 ,0m nmn时, 都有0fmfnmn（1）解不等式112fxfx（2）若221fxtat对所有1,1 ,1,1xa恒成立 , 求实数t的取值范围22( 本小题满分14 分)已知奇函数21( )qx rpxf x有最大值12, 且25(1)f, 其中实数0,ab是正整数 .求( )f

35、 x的解析式 ;令1( )nfna, 证明1nnaa(n是正整数 ).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 参考答案1C【解析】试题分析： 根据题意， 由于定义在R上的函数( )f x 既是奇函数又是周期函数，且可知( )f x 的最小正周期是，那么可知5()3f=2f+3（）=2f3（）=-22f-=-f-=-f()333（）（）=-1cos32，故可知答案为 C考点：函数的奇偶性以及周期性点评：主要是考查了函数的性质的运用，属于

36、基础题。2D【解析】试题分析：根据题意，由于偶函数yf(x) 满足条件f(x 1) f(x 1) ， ，说明函数的周期为2 ， f(-x)=f(x) 当x 1,0 时 ， f(x) 3x49， 则 对 于133log 5=-log5，f(13log 5)=f(2+13log 5)=f(2- 3log 5)=33log 549=1故可知答案为D.考点：函数的奇偶性点评：主要是考查了函数的奇偶性以及函数解析式的运用，属于基础题。3A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.4B 【解析】试题分析：利用“排除法”。

37、a=0 时，22()( ),(2 )2f xaf xxfxx，0, 2x不等式xfaxf2不恒成立；排除A,D。a=1时，22()(1)(1) ,(2 )2f xaf xxfxx， ，1,3x不等式xfaxf2不恒成立 ,排除 C，故选 B。考点：函数的奇偶性，二次函数的图象和性质。点评：中档题，本题综合考查函数的奇偶性，二次函数的图象和性质，利用“排除法”，简化了解题过程。5C【解析】因为函数f （x）=2111(1)1xxxx，利用二次函数的性质可知，分母的最小值为43，那么所求的最大值是34，选 C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

38、归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 6 D【 解 析 】 当 x（0，1.5 ）时 f （x）=ln （x2-x+1 ） ，令 f （ x）=0，则 x2-x+1=1 ，解得 x=1，又函数f （x）是定义域为R的奇函数，在区间 -1.5，1.5 上， f （-1 ）=-f （1）=0， f （0）=0f （1.5 ）=f （-1.5+3 ）=f （-1.5 ）=-f （1.5 ） ，f （-1 ）=f （1）=f （0）=f （1.5 ）=f （-1.5 ）=0又函数 f （x）是周期为3 的周期函数，则方程 f （

39、x）=0 在区间 0 ，6 上的解有 0，1，1.5 ，2，3，4，4.5 ，5，6，共 9 个.7 （ A）【解析】( )f xQ是周期为 2 的奇函数，5511()( )(2)( )2222ffff又，当 0 x1 时，( )21f xxx，51111()()2(1)22222ff故选（ A）8B【解析】9C【解析】10A【解析】11 （51，+） U（， 1）【解析】试题分析：根据题意，由于( )312f xaxa在 1， 1 上存在00(1)xx，使得0()f x=0， 那 么 可 知3ax+1-2a=0,x= 2a-13, 在 区 间 1 ， 1 上 ， 则 根 据 题 意 ，2a-

40、1113,a的取值范围是（51，+） U（， 1） 。考点：函数的零点点评：主要是考查了函数零点的运用，属于基础题。123【解析】试题分析：因为，( )f x是定义在R上的奇函数，( )fx是定义在R上的奇函数，所以，2(1)( 1)2(1)( 1)3ff考点：函数的奇偶性点评：简单题，奇函数应满足：定义域关于原点对称，f （-x ）=-f(x)。130精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 【解析】试题分析：根据题意，函数( )f

41、x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数从xf （x+1）=（1+x） f（x） 结构来看， 要用递推的方法， 先用赋值法求得f( 12 )=0 ， 再由 f(52 )=f(32+1)依此求解 即又(1)(1)( )xf xx fx，令 x=-12, 可知 f( 12 )=0 ， f( 12 )= f( -12 ) ，依 次 可 知 赋 值 得 到f(52 )=f(32+1)=0 ， 由 于f(1)=0-f(-1),那 么 可 知12011(0)( )(1)()22ffffL的值为 0.考点：函数奇偶性和递推关系式点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论

42、有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律1421【解析】试题分析： 因为 f(x)=0且定义域为R， 所以 f(0)=0 ， 所以 f(0)=21-, 01310aa所以。考点：本题考查奇函数的性质。点评：若)(xf是奇函数，且在x=0 时有定义，则)0(f一定为0. 做题时一定要灵活应用此性质。150【解析】因为函数2( )f xxxa为偶函数，那么利用定义可知a=0.16-1【解析】本题考查了函数的奇偶性。解：)(xf为奇函数)()(xfxf即：)12lg()12lg(axxaxx11)2(lg)1)2(lg(xxaaxxaaxaaxxxaa)2(11)2(即)2()2()1 ()1(x

43、aaxaaxx2222)2(1xaax1)2(122aa解得：311aaa或1a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 172, 2【解析】18 （1） （-1 ，1） （2）奇函数（ 3）当102a时，(2 )( 2 )fafa( )()f afa；当0a时，(2 )( 2 )fafa=( )()f afa；当102a时，(2 )( 2 )fafa( )f a，(2 )( 2 )fafa( )()f afa；当0a时，(2 )( 2

44、 )fafa=( )()f afa；当102a时，(2 )( 2 )fafa 0时，由211221( )xqxqqpxppxf x 以及215(1)qpf - 4分可得到22520qq, 122q, 只有1qp, 21( )xxf x; - 2分(2) 2111( )nnf nnnan, - 2分则由11111(1)(1)()10nnnnn naann(n是正整数 ),可得所求证结论. - 4分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -