2022年中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总.pdf
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1、思致超越知行合一Page 1 of 17 让每一个学生超越老师!一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道,学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题例 1恒
2、利商厦九月份的销售额为200 万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营, 使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6 万元,求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1 20%)(1+ x)2193.6 ,即(1+ x)21.21,解这个方程,得x10.1,x2 2.1(舍去) . 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+ x)2n 求解,其中mn.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1x)2n 即可
3、求解,其中mn. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 2 of 17 让每一个学生超越老师!二、商品定价例 2益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价 a 元,则可卖出(350 10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20% ,商店计划要盈利400 元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意,得(a21)(350 10a)400 ,整理,得a256 a+7
4、75 0,解这个方程,得a125,a231. 因为 21(1+20%) 25.2,所以 a2=31 不合题意,舍去. 所以 350 10a350 1025100 (件) . 答需要进货100 件,每件商品应定价25 元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点. 三、储蓄问题例 3王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500 元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90% ,这样到期后,可得本金和利息共 530 元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)
5、解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得1000(1+ x)500(1+0.9 x)530.整理,得90 x2+145 x30. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 3 of 17 让每一个学生超越老师!解这个方程,得x10.0204 2.04% ,x2 1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2 1.63 舍去 . 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税
6、. 四、趣味问题例 4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4 米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2 米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m ,上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得12(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8,整理,得x2+0.8x1.80. 解这个方程,得x11.8(舍去), x21. 所以 x+1.4+0.1 1+1.4+0.1 2.5. 答渠道的上口宽2.5m ,
7、渠深 1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 4 of 17 让每一个学生超越老师!五、古诗问题例 5读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄). 大江东去浪淘尽,千古风流数人物;而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符;哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位
8、数字为x,则十位数字为x3. 则根据题意,得x210( x3)+ x,即 x2-11x+30 0,解这个方程,得x5 或 x6. 当 x5 时,周瑜的年龄25 岁,非而立之年,不合题意,舍去;当 x6 时,周瑜年龄为36 岁,完全符合题意. 答周瑜去世的年龄为36 岁. 说明本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味 . 六、象棋比赛例 6象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2 分,输者记0 分.如果平局,两个选手各记1 分,领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数,分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
9、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 5 of 17 让每一个学生超越老师!别是 1979 ,1980 ,1984 ,1985. 经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加 . 解设共有 n 个选手参加比赛,每个选手都要与(n1)个选手比赛一局,共计n(n1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为12n(n1)局.由于每局共计2 分, 所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然 (n1)与 n 为相邻的自然数,容易验证,相邻两
10、自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979 ,1984 ,1985 ,因此总分只能是1980 ,于是由 n(n1)1980 ,得 n2n1980 0,解得 n145,n2 44(舍去) . 答参加比赛的选手共有45 人. 说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解 . 七、情景对话例 7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1 对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为 100
11、02525000 27000 ,所以员工人数一定超过25 人. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 6 of 17 让每一个学生超越老师!则根据题意,得1000 20( x25) x27000. 整理,得 x275 x+1350 0,解这个方程,得x145,x230. 当 x45 时, 1000 20( x25) 600 700,故舍去x1;当 x230 时, 1000 20( x25) 900 700 ,
12、符合题意 . 答:该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅游. 说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论. 八、等积变形图 1 如果人数超过25 人,每增加1人,人均旅游费用降低20 元,但人均旅游费用不得低于700如果人数不超过25 人,人均旅游费用为1000 元. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 7 of 17 让每一个学生超越老师!例 8将一块长
13、18 米,宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图 2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如图 3)花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2 中的小路的宽和图3 中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由. 解都能 .(1)设小路宽为x,则 18x+16xx223 18 15,即 x234 x+180 0,解这个方程,得x344362,即 x6.6. (2)设扇形半径为r,则 3.14r223 18 15,即 r257.32 ,所以 r7.6. 说明等积
14、变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式; 其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等. 图 2 QPCBA图 4 图 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 8 of 17 让每一个学生超越老师!九、动态几何问题例 9如图 4 所示,在 ABC中, C90 ,AC6cm,BC8cm,点 P 从点 A 出发沿边 AC向点 C以 1cm/s 的速度移动,点Q从 C 点出发沿CB边向点 B 以 2c
15、m/s 的速度移动. (1)如果 P、Q 同时出发,几秒钟后,可使PCQ的面积为8 平方厘米?(2)点 P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半 .若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由. 解因为 C90 ,所以 AB22ACBC226810 (cm). (1)设 xs 后,可使 PCQ的面积为8cm2,所以APxcm,PC(6x)cm ,CQ 2xcm. 则根据题意,得12 (6x) 2x8.整理,得x26x+80,解这个方程,得x12,x24. 所以 P、Q同时出发, 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为8cm2. (2)设点 P 出发 x 秒后,
16、 PCQ的面积等于 ABC面积的一半 . 则根据题意,得12(6x) 2x1212 6 8.整理,得x26x+120. 由于此方程没有实数根,所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 9 of 17 让每一个学生超越老师!说明本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程速度时间. 十、梯子问题例 10一个长为10m 的梯子斜靠在墙上,
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